Prowadzący: dr Krzysztof Polko

Prezentacja na temat: "Prowadzący: dr Krzysztof Polko"— Zapis prezentacji:

1 Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA 2 Prowadzący: dr Krzysztof Polko

2 PLAN WYKŁADÓW Podstawy kinematyki Ruch postępowy i obrotowy bryły
Ruch płaski bryły Ruch złożony i ruch względny Ruch kulisty i ruch ogólny bryły Podstawy dynamiki Dynamiczne równania ruchu Drgania punktu materialnego Dynamika układu punktów materialnych Momenty bezwładności Praca, moc, sprawność, zasady zachowania Zasady pracy i energii Dynamika ruchu płaskiego ciała sztywnego Teoria uderzenia

3 LITERATURA 1. SIUTA WŁADYSŁAW, Mechanika Techniczna, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1985. 2. ZAWADZKI JERZY, SIUTA WŁADYSŁAW, Mechanika Ogólna, PWN 1970, Warszawa 3. MISIAK JAN, Mechanika Ogólna, WNT, Warszawa 4. HUBER M. T. Mechanika Ogólna i Techniczna. PAN Warszawa 1956.

4 Wykład 1 Podstawy kinematyki

5 WPROWADZENIE KINEMATYKA – (kineo z greckiego poruszam) jest to dział mechaniki opisujący ruch punktu lub bryły, bez uwzględniania masy i przyczyn wywołujących zmianę ruchu (geometria ruchu). RUCH – określamy jako zmianę położenia ciała materialnego względem układu odniesienia (tj. względem innego ciała lub zbioru ciał uważanych za pozostające w spoczynku) w jednostce czasu.

6 · Kinematykę ciała sztywnego.
WPROWADZENIE W związku z tym że ciała rzeczywiste zastępujemy pojęciem punkt materialny lub ciało doskonale sztywne, kinematykę możemy podzielić na: ·       Kinematykę punktu materialnego ·       Kinematykę ciała sztywnego.

7 Tor punktu Jest to linia ciągła l utworzona przez kolejne położenia poruszającego się punktu. Tor punktu może być linią prostą lub dowolną krzywą. y x l Tor krzywoliniowy l Tor prostoliniowy Rys. 1

8 W mechanice przez drogę rozumiemy odcinek toru.
Droga, odległość W mechanice przez drogę rozumiemy odcinek toru. Odległość – długość odcinka łączącego dwa punkty.

9 Podział ruchu Ruch prostoliniowy jednostajny
Ruch prostoliniowy zmienny Ruch krzywoliniowy jednostajny Ruch krzywoliniowy zmienny

10 OPIS PORUSZAJĄCEGO SIĘ PUNKTU
Położenie poruszającego się punktu P w przyjętym układzie współrzędnych można określić przez x, y, z. Ponieważ współrzędne te są funkcjami zmiennej t (czasu), to otrzymujemy: Kinematyczne równania ruchu punktu x = f1(t), y = f2(t), z = f3(t). Rys. 2

11 Równania ruchu w postaci wektorowej
Jeżeli początek promienia r pokrywa się z początkiem układu współrzędnych to składowe wektora są równe współrzędnym punktu P rx = x(t), ry = y(t), rz = z(t) Rys. 3 Po uwzględnieniu powyższej zależności promień wektora r możemy zapisać w postaci sumy geometrycznej:

12 Prędkość punktu materialnego
Rozpatrzmy ruch punktu P w przedziale czasu t = t2 - t1, w którym punkt przebył drogę s = P1P2 . Przyrost wektora promienia wynosi r zatem” Rys. 4

13 Prędkość średnia Prędkość średnia punktu jest ilorazem przyrostu wektora r do czasu t w którym ten przyrost nastąpił.

14 Prędkość chwilową określa granica przy t dążącym do zera
Prędkość chwilowa Prędkość chwilową określa granica przy t dążącym do zera Przyrost r ma składowe x, y, z stąd

15 Prędkość chwilowa Wektor prędkości można zapisać w postaci:
którego moduł wynosi:

16 Przyspieszenie punktu materialnego
W czasie t = t2 - t1, wektor prędkości zmienia się z v1 na v2 . Przyrost wektora prędkości wynosi v, zatem Przyspieszenie średnie punktu Przyspieszenie średnie punktu wyraża się jako iloraz przyrostu prędkości v przez przyrost czasu t.

17 Przyspieszenie chwilowe punktu
Wiedząc, że przyrost prędkości v ma składowe vx, vy, vz, stąd składowe wektora przyśpieszenia mają postać

18 Przyspieszenie chwilowe punktu
Wektor przyśpieszenia można zapisać w postaci : a jego moduł

19 Ruch prostoliniowy jednostajny
Ruchem prostoliniowym jednostajnym jest ruch punktu po torze prostoliniowym, który odbywa się w taki sposób, że w jednakowych przedziałach czasu t punkt przebywa takie same odcinki drogi.

20 Równania ruchu prostoliniowego jednostajnego
Droga s jest liniową funkcją czasu, zatem czyli Stąd po scałkowaniu otrzymujemy

21 Wykres ruchu prostoliniowego jednostajnego
Rys. 6 czyli

22 Ruch prostoliniowy zmienny Ruch prostoliniowy jednostajnie zmienny
Jest to ruch punktu po torze prostoliniowym, który odbywa się w taki sposób, że w jednakowych przedziałach czasu t punkt przebywa różne odcinki drogi. Ruch prostoliniowy jednostajnie zmienny Jeżeli prędkość jest liniową funkcją czasu, to ruch punktu jest jednostajnie zmienny.

23 Równania ruchu prostoliniowego jednostajnie zmiennego
Przyśpieszenie Prędkość Droga a > 0 ruch jednostajnie przyspieszony a < 0 ruch jednostajnie opóźniony

24 Ruch krzywoliniowy jednostajny
Jest ruch punktu po torze krzywoliniowym l, w którym wektor prędkości w każdej chwili jest styczny do toru, a jego wartość nie zmienia się z czasem (zmienia się tylko jego kierunek).

25 Ruch krzywoliniowy zmienny
Jest to ruch punktu po torze krzywoliniowym, w którym wektor prędkości ruchomego punktu zmienia wartość i kierunek. W ruchu krzywoliniowym zmiennym wektor przyspieszenia punktu tworzy z wektorem prędkości tego punktu pewien kąt  (ostry lub rozwarty).

26 Przyśpieszenie normalne
Z rysunku wynika, że wartość przyspieszenia składowego an prostopadłego do prędkości ma postać: Składowa ta nosi nazwę przyspieszenia normalnego, a związana jest ze zmianą kierunku wektora prędkości.

27 Przyśpieszenie styczne Wartość at jest określona w postaci:
Składowa przyspieszenia w kierunku wektora prędkości nazywana jest przyspieszeniem stycznym i związana jest ze zmianą wartości wektora prędkości. Wartość at jest określona w postaci:

28 Wektor przyśpieszenia
jest sumą przyspieszenia normalnego i stycznego a wartość tego wektora obliczamy z zależności

29 Na podstawie tych wiadomości można ustalić z jakim ruchem punktu materialnego mamy do czynienia:
an0, at 0 - Przyspieszenie całkowite jest nachylone pod pewnym kątem (ostrym lub rozwartym) do prędkości. Rozważany ruch jest ruchem krzywoliniowym zmiennym, zmienia się wartość i kierunek prędkości. an=0, at 0 - Całkowite przyspieszenie jest styczne do toru. Prędkość w takim ruchu może zmienić swoją wartość ale jej kierunek pozostaje bez zmian. Jest to ruch prostoliniowy zmienny.

30 an0, at =0 - Całkowite przyspieszenie ma kierunek prostopadły do toru
an0, at =0 - Całkowite przyspieszenie ma kierunek prostopadły do toru. Prędkość w tym ruchu może zmieniać jedynie swój kierunek, a wartość pozostaje stała. Rozważany ruch będzie ruchem jednostajnym krzywoliniowym. an=0, at =0 - Całkowite przyspieszenie jest równe zeru. Wektor prędkości w takim ruchu nie może zmienić ani swojego kierunku ani wartości. Jest to więc ruch jednostajnie prostoliniowy.

31 Ruch jednostajny po okręgu
W ruchu jednostajnym punkt materialny porusza się ruchem jednostajnym po okręgu o promieniu r, przebywając w równych odstępach czasu t równe odcinki drogi (łuki P1P2, P2P3, P3P4,).  r v P1 P2 an P1 Prędkość średnia punktu wyraża się jako P2 v P3 P3 Jednak w tym przypadku droga jest łukiem, więc jak wiadomo z geometrii v P4 P4 v czyli Rys. 13

32 Prędkość kątowa Stosunek kąta  wyrażonego w radianach do czasu t, w którym ten kąt został zatoczony, nazywamy prędkością kątową. Tak więc wartość prędkości liniowej otrzymamy z wyrażenia

33 Prędkość obrotowa Prędkością obrotową punktu po okręgu nazywamy liczbę pełnych obiegów w ciągu jednej minuty Pomiędzy prędkością kątową [rad/s] i prędkością obrotową [obr/min] zachodzi zależność

34 Ruch zmienny po okręgu – przyśpieszenie kątowe
Przyśpieszenie kątowe (składowa styczna at oznaczana przez e ) określa zmianę wektora prędkości kątowej. W przypadku ruchu jednostajnego po okręgu składowa styczna przyśpieszenia kątowego jest równa zeru. Występuje tylko składowa normalna, której wartość określona jest wzorem:

35 Przykład 1. Tarcza o średnicy d=2r=20cm zaczyna obracać się ruchem jednostajnie przyspieszonym z przyspieszeniem kątowym =5 rad/s2. Obliczyć przyspieszenie styczne i normalne punktów leżących na obwodzie tarczy w dziesiątej sekundzie ruchu. Rozwiązanie: Dane: =5 rad/s2; r=0,1m Obliczyć : at i an po 10 sek. ruchu w a at r v an Prędkość kątowa po 10 s ruchu wynosi: Przyśpieszenie normalne i styczne

36 Przykład 2. Ruch punktu po płaszczyźnie określony jest równaniami: x=40t, y=5t2. Obliczyć wartości przyspieszenia stycznego i normalnego w chwili t=3s. Rozwiązanie: Składowe prędkości: Składowe przyśpieszenia Moduł wektora prędkości wynosi: dla t=3s Moduł wektora przyśpieszenia:

37 Pierwsza pochodna prędkości określa przyspieszenie styczne
dla t=3s Przyspieszenie normalne obliczamy z zależności dla t=3s

38 Przykład 3 Narysować wykres s(t), v(t) oraz a(t) ilustrujący ruch ciała rzuconego pionowo w górę z prędkością początkową v0. v0 Dane: v0, h0. h0

39 Rozwiązanie Wychodzimy z podstawowego równania:
– przez cały czas trwania ruchu. Ruch jednostajnie opóźniony. v0 y x

40 Rozwiązanie 2tw t tw –g a(t) tw 2tw v(t) t v0 –v0

41 Rozwiązanie tw 2tw t s(t) h0 hmax

42 Rozwiązanie Obliczymy ponadto czas wznoszenia: Wyjdziemy z równania: y
v0 y x

43 Rozwiązanie Wysokość rzutu obliczymy z zależności: Zatem: v0 hmax y x

44 Przykład 4 Ruch ciała po gładkiej równi pochyłej, a następnie po gładkim torze poziomym. a(t) = 0 a(t) = g s(t) prosta parabola gładkie przejście (funkcja różniczkowalna)!!! t

45 Jak odczytywać z wykresu?
1. Ruch jednostajny prostoliniowy: v(t) t v0 > 0 t0 v(t) t v0 < 0 t0 prędkość dodatnia – punkt oddala się od obserwatora. prędkość ujemna – punkt zbliża się do obserwatora.

46 Jak odczytywać z wykresu?
1. Ruch jednostajny prostoliniowy: s(t) t t0 α tgα > 0 s(t) t t0 α tgα < 0 funkcja drogi rosnąca – punkt oddala się od obserwatora. funkcja drogi malejąca – punkt zbliża się do obserwatora.

47 Jak odczytywać z wykresu?
1. Ruch jednostajny prostoliniowy: s(t) t t0 α s(t) > 0 s(t) t t0 s(t) < 0 wartości funkcji drogi dodatnie – punkt porusza się po jednej stronie obserwatora. wartości funkcji drogi ujemne – punkt porusza się po przeciwnej stronie obserwatora.

48 Jak odczytywać z wykresu?
2. Ruch jednostajnie przyspieszony (opóźniony): v(t) t tg α > 0 t0 α v(t) t tg α < 0 t0 α funkcja prędkości rosnąca – punkt przyspiesza. funkcja prędkości malejąca – punkt zwalnia.

49 Jak odczytywać z wykresu?
2. Ruch jednostajnie przyspieszony (opóźniony): v(t) t v(t) > 0 t0 v(t) t v(t) < 0 t0 wartość prędkości dodatnia – punkt oddala się od obserwatora. wartość prędkości ujemna – punkt zbliża się od obserwatora.

50 Jak odczytywać z wykresu?
2. Ruch jednostajnie przyspieszony (opóźniony): Reguły są analogiczne jak dla ruchu jednostajnego prostoliniowego. Dodatkowo: α1 α2 α2 α1 parabola wypukła – punkt przyspiesza. parabola wklęsła – punkt zwalnia.

51 Przykład 5 Mając dany wykres prędkości od czasu, narysować wykres a(t) oraz s(t). Wyznaczyć: wartość przyspieszenia w każdym z przedziałów; przebytą drogę na końcu każdego przedziału. Dane dodatkowe: s(0) = v1t1/2.

52 Rozwiązanie 0 < t < t1
Obliczymy najpierw wartość przyspieszenia i przebytej drogi w każdym z przedziałów: 0 < t < t1 Prędkość ujemna, zatem punkt zbliża się do obserwatora. α1

53 Rozwiązanie Obliczymy najpierw wartość przyspieszenia i przebytej drogi w każdym z przedziałów: t1 < t < 2t1 α1 α2

54 Rozwiązanie Dla t1: Wartość położenia na końcu każdego z przedziałów:
prędkość malejąca – parabola wklęsła prędkość rosnąca – parabola wypukła α1 α2

55 Rozwiązanie Wykres drogi od czasu: t1 2t1 t s(t) s1(t) s2(t)

56 Rozwiązanie Wykres przyspieszenia od czasu: t1 2t1 t a(t)