Model Poissona w ujęciu bayesowskim

Prezentacja na temat: "Model Poissona w ujęciu bayesowskim"— Zapis prezentacji:

1 Model Poissona w ujęciu bayesowskim
Prezentacja na Ekonometrię Bayesowską semestr zimowy 2016/2017 Mikołaj Tchorzewski 53900

2 Plan Prezentacji Rozkład Poissona Klasyczny model regresji Poissona
Podejście Bayesowskie – model Poissona Funkcja MCMCpoisson z pakietu MCMCpack Przykład estymacji w R Podsumowanie

3 Rozkład Poissona Zmienna losowa Y jest opisana rozkładem Poissona z parametrem μ, jeśli: przyjmuje nieujemne wartości całkowite y=0,1,2,…. z prawdopodobieństwem Średnia i wariancja rozkładu mogą być zapisana wzorem

4 Rozkład Poissona Jeśli E(Y)=var(Y)…
Każdy czynnik mający wpływ na zmianę wartości średniej ma wpływ na wartość wariancji i vice versa Im większa wartość μ, tym bardziej dominanta oddala się od 0 i dystrybuanta rozkładu przypomina dystrybuantę rozkładu normalnego

5 Rozkład Poissona Zdarzenie będące przedmiotem badania występuje losowo w taki sposób, że: Prawdopodobieństwo wystąpienia co najmniej jednego zdarzenia w danym przedziale czasowym jest proporcjonalne do długości przedziału Prawdopodobieństwo wystąpienia dwóch i więcej zdarzeń w bardzo małym przedziale czasowym jest bardzo niskie Liczba wystąpień zdarzenia w sąsiadujących przedziałach czasowych jest wzajemnie niezależna Przykład: Feller (1957) Zaobserwowane liczby uderzeń zbliżone do rozkładu Poissona z μ=0,93

6 Klasyczny model regresji Poissona
Próba n obserwacji y1, y2….,yn traktowana jako próba niezależnych zmiennych losowych Poissona z rozkładem Stosujemy logarytm, ponieważ μ>0. Parametr jest log-liniową funkcją zmiennych objaśniających. Estymacja modelu odbywa się MNW. Funkcja wiarygodności n niezależnych obserwacji Poissona wynika ze wzoru Jej logarytm po przekształceniu to

7 Podejście bayesowskie – model Poissona
Dla jednoelementowej próby losowej z rozkładem Poissona, funkcja wiarygodności ma postać Z dokładnością do normalizującej stałej Dla n-elementowej próby losowej y1,…yn pobranej z rozkładu Poissona otrzymujemy Ostatnie wyrażenie przypomina rozkład gamma z parametrami kształtu k’ i skali s’

8 Podejście bayesowskie – model Poissona
F.gęstości rozkładu gamma Zauważmy, że dla f.wiarygodności rozkładu Poissona Parametr kształtu rozkładu gamma Parametr skali rozkładu gamma s’=n Sprzężonym rozkładem a priori dla rozkładu Poissona z parametrem μ jest rozkład gamma Gdzie To funkcja gamma

9 Podejście bayesowskie – model Poissona
Dla jednoelementowej próby losowej pobranej z rozkładu Poissona otrzymujemy z dokładnością do normalizującej stałej rozkład a posteriori: Dla n-elementowej próby losowej y1,y2,…,yn pobranej z rozkładu Poissona otrzymujemy rozkład z parametrami oraz s’=s+n gdzie k’=k+y oraz s’=s+1

10 Podejście bayesowskie – model Poissona
Dla zmiennej losowej yi, i=1,2,…,n o rozkładzie Poissona z parametrem μi Obliczamy funkcję wiarygodności danych y=(y1,..,yn) oraz wektora B Wyliczamy łączną gęstość a priori dla niezależnych parametrów B1,..,Bk Następnie wyznaczamy rozkład a posteriori xij – zmienne objaśniające B=(B1,..,Bk) – wektor nieznanych parametrów

11 Podejście bayesowskie – model Poissona
Dla parametrów regresji modeli typu GLM zazwyczaj ustala się rozkłady normalne a priori ze średnią 0 i pewną wariancją Dla rozkładów mało informacyjnych dla średniej przyjmujemy 0 a dla wariancji pewną dużą liczbę Dla niezależnych B1,…,Bk przyjmujemy rozkłady normalne a priori ze średnią i wariancją Wnioskowanie o dowolnym elemencie wektora B odbywa się z brzegowego rozkładu a posteriori Do estymacji modeli wykorzystuje się metodę Monte Carlo opartą na łańcuchach Markowa

12 Funkcja MCMCpoisson z pakietu MCMCpack
Funkcja dostępna w pakiecie MCMCpack Funkcja generuje próbkę z rozkładu a posteriori modelu regresji Poissona przy użyciu algorytmu Metropolisa Algorytm ten służy do generacji liczb losowych zgodnych z zadanym rozkładem Idea algorytmu opiera się na błądzeniu losowym Funkcja generuje próbkę w postaci obiektu mcmc. Do jego analizy można użyć pakietu Coda

13 Funkcja MCMCpoisson z pakietu MCMCpack
Seed – ziarno dla generatora liczb losowych. Dla „NA” używany jest seed=12345 Beta.start – wartość początkowa wektora Beta. Skalar lub wektor kolumnowy. Jeśli skalar to wartość służy jako wartość początkowa wszystkich Bet. „NA” używa Bety oszacowanej MNW jako wartość początkowa b0 – parametr a priori średniej dla Bety. Skalar lub wektor kolumnowy. Jeśli skalar to wartość służy jako wartość początkowa wszystkich Bet. B0 – precyzja a priori dla Bety. Domyślne 0 oznacza skrajnie nieinformacyjny rozkład a priori wektora Beta Marginal.likelihood – „none” – krańcowa wiarygodność nie będzie obliczona. „Laplace” stosuje aproksymację Laplace’a Formula – równanie modelu Data – dane Burnin – numer obciętych iteracji w próbce Mcmc – liczba iteracji algorytmu Metropolis w próbce Thin – wskazuje, co która obserwacja używana w symulacji. Mcmc/thin musi dać liczbę całkowitą Tune – Parametr Metropolisa. Dodatni skalar lub k- wektor, gdzie k to długość wektora Bet. Należy się upewnić, że wskaźnik akceptacji Metropolisa w przedziale <0,2;0,5> przed wnioskowaniem Verbose – jeśli większe niż 0 to, numer iteracji współczynnik akceptacji Metropolisa oraz obecny wektor Bet są printowane dla każdej iteracji

14 Przykłady zastosowania w R
Dane w pliku help.csv pochodzące ze strony Jest to strona zawierająca zbiory danych z książki „Using R for Data Management, Statistical Analysis, and Graphics” autorstwa Nicholas J. Horton and Ken Kleinman Przykład 2 pochodzi z

15 DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ!

16 Bibliografia Frątczak E., Zaawansowane metody analiz statystycznych red. Ewa Frątczak, Oficyna Wydawnicza SGH 2013,Warszawa P.Allison, Logistic Regression Using SAS, Theory and Application, SAS Institue Inc.2012, Cary er%208%20Bayesian%20Analysis%20of%20Count%20Data.pdf Grzenda W., Analiza płodności kobiet w Polsce z wykorzystaniem bayesowskiego modelu regresji Poissona, Przegląd Statystyczny 2012 Poisson Model for Count Data, Zbiór danych do Przykładu 1 - Przykład II -