4. Praca i energia 4.1. Praca Praca wykonywana przez stałą siłę jest iloczynem skalarnym tej siły i wektora przemieszczenia (4.1) Ft – rzut siły na kierunek.

Prezentacja na temat: "4. Praca i energia 4.1. Praca Praca wykonywana przez stałą siłę jest iloczynem skalarnym tej siły i wektora przemieszczenia (4.1) Ft – rzut siły na kierunek."— Zapis prezentacji:

1 4. Praca i energia 4.1. Praca Praca wykonywana przez stałą siłę jest iloczynem skalarnym tej siły i wektora przemieszczenia (4.1) Ft – rzut siły na kierunek przemieszczenia Jeżeli siła zmienia się wzdłuż przemiesczenia, to dla infinitezymalnie małego przemieszczenia dr można zapisać (4.2) Dla skończonego przemieszczenia między A i B pracę wylicza się jako całkę oznaczoną (4.3) Biorąc pod uwagę, że oraz , całka (4.3) może być zapisana w kartezjańskim układzie współrzędnych następująco (4.4)

2 Praca, cd. Przypadki szczególne
1. Praca wykonana przez siłę stałą prostopadłą do przemieszczenia jest równa zero 2. Tylko równoległa lub antyrównoległa do prędkości składowa siły zmienia jej wartość. Składowe te wykonują pracę dodatnią lub ujemną. 3. Dla stałej siły praca zależy tylko od przemieszczenia i nie zależy od kształtu toru. 4. Gdy działa wiele sił można obliczyć pracę dla każdej z nich ale całkowita praca wykonana zależy w istocie od siły wypadkowej. Praca jest wartością skalarną.

3 4.2. Moc Szybkość z jaką jest wykonywana praca nazywana jest mocą
(4.5) Średnia moc w przedziale czsu Δt jest definiowana następująco (4.6) gdzie P(t) – moc chwilowa W układzie SI jednostką mocy jest wat. W powszechnym użyciu jest jednostka koń mechaniczny (hp), równy 746 W.

4 Moc – przykładowe zadanie
Siła 5 N działa na ciało o masie 15 kg znajdujące się początkowo w spoczynku. Wyznaczyć pracę wykonaną przez tę siłę w (a) pierwszej sekundzie, (b) trzeciej sekundzie (c) moc chwilową na skutek działania tej siły na końcu trzeciej sekundy. a) b) c)

5 4.3. Energia kinetyczna Praca siły wypadkowej może być obliczona następująco (4.7) Dla stałej masy równanie (4.7) można przekształcić do postaci (4.8) gdzie jest energią kinetyczną Z (4.8) wynika, że (4.9) Równanie (4.9) ilustruje tzw. twierdzenie o pracy i energii: Zmiana energii kinetycznej cząstki równa jest pracy siły wypadkowej działającej na tę cząstkę.

6 Energia kinetyczna, cd. Przykład
Cząstka o masie m przyczepiona do sprężyny o stałej sprężystości k jest wychylona o x z początkowego położenia spoczynkowego pod wpływem siły zewnętrznej a następnie puszczona swobodnie poruszając się pod wpływem siły sprężystości sprężyny. Jaka jest prędkość cząstki w miejscu odpowiadającym położeniu początkowemu. Siła sprężystości F = - kx wykonuje pracę Praca ta jest równa zmianie energii kinetycznej zgodnie z tw. o pracy i energii:

7 4.4. Siły zachowawcze, energia potencjalna
Praca siły zachowawczej na cząstce poruszającej się między punktami A i B nie zależy od kształtu toru a jedynie od położenia punktu początkowego i końcowego. (4.10) Na torze zamkniętym, gdy A ≡ B, praca siły zachowawczej jest równa zero (4.11) Przykłady sił zachowawczych: grawitacyjna, sprężystości (elastyczna), elektrostatyczna. Inne przykłady sił zachowawczych: siła centralna , siła stała. Typową siłą niezachowawczą jest siła tarcia.

8 Siły zachowawcze, cd. Przykład
Obliczyć pracę wykonaną przez siłę grawitacji blisko powierzchni Ziemi ( ) podczas ześlizgiwania się cząstki bez tarcia wzdłuż toru z punktu A do B (rys. poniżej). Z równania (4.4) otrzymuje się: C (4.12) Ten sam wynik otrzymalibyśmy obliczając pracę wzdłuż toru ACB. Wzdłuż AC otrzymuje się: mg (h1-h2) cos0 = mg (h1-h2). Wzduż CB mamy: mgd cos(π/2)=0. Ostatecznie zatem WACB= mg(h1-h2) co jest w zgodności z (4.12). Siła jest więc zachowawcza.

9 Energia potencjalna W ogólności siła zachowawcza jest funkcją położenia cząstki i w takim polu sił zachowawczych wprowadza się nową wielkość jaką jest energia potencjalna U. Zmagazynowana energia potencjalna może być odzyskana i zamieniona w energię kinetyczną. Praca siły zachowawczej jest równa ujemnej zmianie energii potencjalnej (4.13) Całkując (4.13) otrzymuje się: (4.14) Praca siły zachowawczej jest równa różnicy energii potencjalnych w punkcie początkowym A i końcowym B. Biorąc punkt początkowy A jako odniesienie, można wyznaczyć energię potencjalną dla każdego innego punktu (4.15)

10 Energia potencjalna, cd.
W jednym wymiarze równanie (5.5) może być zapisane następująco (4.16) Różniczkując obustronnie (4.16) otrzymuje się (4.17) Ujemna pochodna energii potencjalnej jest równa sile pola. Równanie (4.17) w trzech wymiarach w postaci wektorowej można zapisać jako (4.18) lub w bardziej zwartej postaci (4.19) gdzie operator gradientu definiowany jest następująco Znak nazywany jest „nabla” , oznacza pochodną cząstkową

11 Grawitacyjna energia potencjalna
. yi y yf mg m Cząstka o masie m porusza się wzdłuż osi y z punktu yi do yf. Siła grawitacji –mg wykonuje pracę, która zmienia energię potencjalną układu cząstka - Ziemia. Zakładając, że yi = 0 i Ui = 0 otrzymuje się wyrażenie na energię potencjalną cząstki w pobliżu powierzchni Ziemi

12 4.5. Zachowanie energii mechanicznej
Z własności siły zachowawczej wynika, że dEk = - dU (4.20) lub (5.20a) d(Ek + U) = 0 Równanie (4.20a) stwierdza, że różniczka energii jest równa zero. Po scałkowaniu równanie to przyjmuje postać (4.21) Ek + U = const = Em Suma energii kinetycznej i potencjalnej, zwana energią mechaniczną, jest stała gdy działają jedynie siły zachowawcze. Jest to zasada zachowania energii mechanicznej. Równanie (4.21) można przedstawić również w postaci ΔEk + Δ U = 0 lub ΔEk = - Δ U

13 Ruch cząstki pod wpływem siły sprężystej
Przykład Ruch cząstki pod wpływem siły sprężystej Siła sprężystości F = - kx jest siłą zachowawczą. Energia potencjalna związana z kompresją lub wydłużeniem obiektu elastycznego jest równa Energia mechaniczna (kinetyczna + potencjalna) układu masa + sprężyna jest stała, ponieważ działa tylko siła zachowawcza U(x)+ Ek(x )= E = const Dla danej energii E ruch czastki następuje między punktami zwrotnymi – x0 i x0, dla których Ek(-x0) = Ek(x0) = 0 (między tymi punktami Ek>0). Siła działająca na cząstkę jest ujemną pochodną energii potencjalnej (F = - dU(x)/dx). W położeniu x = 0 siła jest również zerowa i dodatkowo położenie to jest ciągle przywracane. Jest to stan równowagi trwałej