wyk. Barbara Stępkowska i Maciej Panek

Prezentacja na temat: "wyk. Barbara Stępkowska i Maciej Panek"— Zapis prezentacji:

1 wyk. Barbara Stępkowska i Maciej Panek
Model Kleina wyk. Barbara Stępkowska i Maciej Panek

2 Nikołaj Łobaczewski Nikołaj Łobaczewski urodził się w 1792, a zmarł w
1856 roku. Studiował na uniwersytecie w Kazaniu, następnie był tam wykładowcą i profesorem. Został twórcą geometrii nieeuklidesowej, zwanej również geometrią Łobaczewskiego i geometrią hiperboliczną. Usiłował on udowodnić piąty aksjomat Euklidesa (próba dowodu znajduje się w rękopisie jego wykładów uniwersyteckich z roku), doszedł jednak do wniosku, że nie można go logicznie udowodnić na podstawie znanych aksjomatów. Jego osiągnięcia (w tym wydana przez niego książka Pangeometrie...) nie spotkały się z powszechnym uznaniem. Dopiero kilkanaście lat po jego śmierci zostały docenione jego starania. Przyczynił się do tego głównie niemiecki matematyk C. F. Gauss.

3 Geometria Łobaczewskiego
Geometria Łobaczewskiego jest pierwszą z geometrii nieeuklidesowych. Została opracowana w 1829 roku przez Nikołaja Łobaczewskiego (i niezależnie od niego w 1832 przez węgierskiego matematyka J. Bolyaia). Cztery pierwsze aksjomaty geometrii Łobaczewskiego są identyczne z aksjomatami Euklidesa, różny jest piąty, w geometrii Łobaczewskiego brzmi on: przez punkt płaszczyzny nie należący do danej prostej przechodzą co najmniej dwie różne proste nie posiadające punktów wspólnych z daną prostą. Modelem płaszczyzny zgodnej z geometrią Łobaczewskiego jest wnętrze koła (F. Klein, 1871).

4 Model Kleina Model Kleina to wnętrze koła jako płaszczyzna.
Prostymi w tym modelu są odcinki zawarte w tym kole. Model Kleina jest ściśle powiązany z geometrią Łobaczewskiego. Przedstawia on wszystkie pięć aksjomatów tej geometrii.

5 Model Kleina 1. Dowolne dwa punkty można połączyć odcinkiem.
2. Dowolny odcinek można przedłużyć nieograniczenie.

6 można zaznaczyć okrąg o
Model Kleina 3. Dla danego odcinka można zaznaczyć okrąg o środku w dowolnym punkcie i promieniu równym odcinkowi. 4. Wszystkie kąty proste są równe.

7 Model Kleina Zaprzeczenie 5. aksjomatu Euklidesa:
Dwie proste, które przecinają trzecią w taki sposób, że suma kątów wewnętrznych po jednej stronie jest mniejsza od dwu kątów prostych, przetną się z tej właśnie strony.

8 Model Kleina 5. aksjomat Łobaczewskiego (zamiennik 5. aksjomatu
Euklidesa): Przez punkt płaszczyzny nie należący do danej prostej przechodzą co najmniej dwie różne proste nie posiadające punktów wspólnych z daną prostą.

9 Źródła http://pl.wikipedia.org/wiki/Geometria_hiperboliczna