Teoria sterowania Materiał wykładowy /2017

Prezentacja na temat: "Teoria sterowania Materiał wykładowy /2017"— Zapis prezentacji:

1 Teoria sterowania Materiał wykładowy 8 - 2016/2017
Automatyka i Robotyka - studia stacjonarne II stopnia Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż., prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Materiał wykładowy /2017 Sterowanie systemem dynamicznym – metoda alokacji biegunów – działanie całkujące

2 Zastosowanie macierzy kompensacji M pozwala zapewnić wzmocnienie w torze wartość zadana – wartość aktualna wyjścia równą jeden, inaczej mówiąc równość tych dwóch wielkości Wada: rozwiązanie takie nie gwarantuje zerowej wartości uchybu ustalonego, np. w sytuacjach, kiedy model systemu nie jest dokładnie znany Alternatywa: dodanie jednego lub kilku integratorów (elementów całkujących) w pętli sterowania

3 Rozwiązanie Przypadek ciągły: Dla zlikwidowania uchybu ustalonego, - wprowadzamy integratory w liczbie na wyjściu komparatora (elementu porównującego) wartości zadanej (referencyjnej) i aktualnej wielkości wyjściowej systemu – po jednym dla każdej składowej wektora wielkości referencyjnej - poprzez macierz zamykamy sprzężenie zwrotne od wyjścia (ujemne) - sprzężenie zwrotne od wektora stanu realizowane jest jak poprzednio za pomocą macierzy oznaczonej

4 Pojawiają się nowe zmienne stanu będące skutkiem wprowadzenia integratorów
Niech system (obiekt) jest dany jako Nowe zmienne stanu Łącząc zmienne stanu otrzymujemy system rozszerzony Równania stanu systemu rozszerzonego

5 Pełny opis systemu rozszerzonego (otwartego)
Macierze wzmocnień dla działania regulacyjnego (prawo sterowania) wprowadzamy jak poprzednio

6 Równania stanu systemu po zamknięciu sprzężenia – równania stanu systemu zamkniętego
Pełny opis systemu po zamknięciu sprzężenia – systemu zamkniętego

7 Projektowanie sterowania ze sprzężeniem od stanu
Opis systemu rozszerzonego (otwartego) może być zapisany też: gdzie Rozszerzona macierz wzmocnień sprzężenia zwrotnego od stanu Prawo sterowania dla sprzężenia zwrotnego od stanu i od wyjścia

8 Opis systemu rozszerzonego systemu zamkniętego z połączenia
Otrzymamy gdzie,

9 Problem polega teraz na określeniu rozszerzonej macierzy wzmocnień sprzężenia zwrotnego od stanu
tak, aby system zamknięty realizujący prawo sterowania i mający macierz systemu posiadał wymagane własności dynamiczne

10 Rozwiązanie problemu – jedna z przedstawionych uprzednio metod
Warunek: system określony parą macierzy jest sterowalny Warunek ten jest równoważny trzem następującym 1. 2. Para jest sterowalna , to znaczy liczba wejść sterujących musi być co najmniej równa liczbie wyjść sterowanych

11 Likwidacja uchybu ustalonego w odniesieniu do wartości zadanej w stanie równowagi
W stanie ustalonym rozszerzonego systemu Drugie równanie oznacza zatem

12 Zaburzenie obciążenia
Eliminacja stałych zakłóceń w stanie równowagi Dodanie integratorów w pętli sterowania powinno również powodować likwidację uchybu ustalonego wynikającego z istnienia stałych zakłóceń pomiarowych lub występowania stałych zaburzeń obciążenia, ponieważ integratory są ulokowane w pętli pomiędzy wyjściem komparatora (uchyb sterowania) a punktami przyłożenia tych zakłóceń Zakłócenia pomiaru Zaburzenie obciążenia

13 Uzupełniony w ten sposób (dodanie sygnałów zaburzeń i zakłóceń) system rozszerzony (otwarty) spełnia równania stanu i wyjścia postaci Równanie stanu systemu zamkniętego przyjmie postać

14 W stanie równowagi jak poprzednio
czyli dwa warunki Stałe zakłócenia są eliminowane w stanie równowagi

15 Przykład 1. Kontynuacja Przykładu 2 z poprzedniego wykładu System trzeciego rzędu Zatem system (otwarty) rozszerzony

16 Otrzymamy System rozszerzony jest sterowalny – sprawdzić! Jak poprzednio, będziemy wymagali wartości własnych

17 Wykorzystamy wzór Ackermann’a do obliczenia macierzy wzmocnień – dla obliczeń numerycznych można skorzystać z funkcji acker przybornika Control System środowiska MATLAB Otrzymamy Wyniki symulacji: Wartość zadana sygnał skokowy Zakłócenia: brak

18 Wyniki symulacji: t [s]

19 Wyniki symulacji: t [s]

20 Przykład 2. Dany jest system opisany macierzami Opis – postać kanoniczna sterowalności Wielomian charakterystyczny systemu otwartego Wartości własne wielomianu charakterystycznego systemu otwartego Stabilny asymptotyczne, słabo tłumiony system rzędu trzeciego

21 Chcemy poprawić jakość charakterystyki dynamicznej systemu
Wyniki symulacji System otwarty: Czas [s] y [m] Otwarty Zamknięty Odpowiedź wyjścia na skok jednostkowy System zamknięty: Chcemy poprawić jakość charakterystyki dynamicznej systemu

22 System zamknięty Chcemy:  Dominujące wartości własne (człon drugiego rzędu oscylacyjny) - Przeregulowanie procentowe: 6% - Czas ustalania się 2%: 3 [s] W oparciu o Pomocnik możemy dla tak sformułowanych warunków wybrać: Postulowane wartości własne odpowiadające tym parametrom  Trzecia wartość własna (człon pierwszego rzędu) - ujemna, dziesięć razy większa od części rzeczywistej dominujących wartości własnych

23 Wielomian charakterystyczny (pożądany) systemu zamkniętego
Macierz wzmocnień sprzężenia zwrotnego od stanu (! System wdany w postaci kanonicznej sterowalności) Prawo sterowania – działanie regulacyjne i śledzące (M = 1)

24 Macierze systemu zamkniętego
Macierz stanu Macierz sterowania Macierz wyj scia

25 Odpowiedź wyjścia na skok jednostkowy
Wyniki symulacji Czas [s] y [m] Otwarty Zamknięty System zamkniety: Odpowiedź wyjścia na skok jednostkowy System zamknięty: - Przeregulowanie procentowe: 5.9% - Czas ustalenia 2%: 3.09 [s] Ale: Odpowiedź na skok jednostkowy nie osiąga wartości 1.0 Dla systemu zamkniętego oznacza to, że stan ustalony nie osiąga poziomu zadanego (referencyjnego)

26 Sprawdzenie uzyskanego wyniku z wykorzystaniem wzoru Ackermann’a
Dla systemu danego w postaci kanonicznej sterowalności, macierz odwrotna sterowalności dana jest (patrz: Dodatek 1 do Zadań laboratoryjnych) Zatem:

27 Dla pożądanego wielomianu charakterystycznego systemu zamkniętego
policzymy Macierz wzmocnień Wynik jak poprzednio

28 Uzupełnimy prawo sterowania wprowadzając macierz kompensacji wzmocnienia statycznego M
Transmitancja systemu otwartego System w postaci kanonicznej sterowalności

29 Odpowiadająca mu transmitancja systemu otwartego
Zatem dla przykładu transmitancja ta wynosi

30 Wzmocnienie statyczne
System zamknięty opisany macierzami Odpowiadająca mu transmitancja

31 Wzmocnienie statyczne systemu zamkniętego
Wzmocnienie kompensacji wzmocnienia statycznego Dla dogodności graficznej oceny dobroci rozwiązania symulację przeprowadzimy dla wzmocnienia kompensującego skorygowanego tak, aby poziom odpowiedzi ustalonej był równy poziomowi odpowiedzi ustalonej układu otwartego Wzmocnienie statyczne systemu zamkniętego będzie równe wzmocnieniu systemu otwartego jeżeli wzmocnienie kompensacji wyniesie Dla takiego wzmocnienia kompensacji prowadzimy symulację

32 Wyniki symulacji y [m] Czas [s] Otwarty Zamknięty

33 Zastosujemy teraz rozwiązanie z działaniem całkującym
Warunki stosowalności 1. 2. Para jest sterowalna , to znaczy liczba wejść sterujących jest co najmniej równa liczbie wyjść sterowanych Sprawdzimy warunek sterowalności 1

34 Wprowadzamy jeden integrator
Macierze systemu rozszerzonego Wybierzemy wartości pożądane wartości własne w oparciu o kryterium ITAE (Integral of Time multipying the Absolute value of Error)

35 Tablica wielomianów charakterystycznych optymalnych w sensie ITAE
Rząd systemu Wielomian charakterystyczny Pierwszy Drugi Trzeci Czwarty Piąty Szósty - pożądana wartość pulsacji drgań nietłumionych; im większa, tym szybsza odpowiedź

36 Odpowiedzi systemów ITAE opisanych transmitancją:
- wielomian odpowiedniego rzędu z tablicy - czas znormalizowany (względny)

37 Wybieramy Pożądany wielomian charakterystyczny systemu zamkniętego Wartości własne tego wielomianu System rozszerzony o integrator nie jest już postaci kanonicznej sterowalności

38 Korzystając np. z wzoru Ackermann’a policzymy macierz wzmocnień sprzężenia zwrotnego od stanu
Prawo sterowania Pełny opis systemu po zamknięciu sprzężenia

39 Pełny opis systemu po zamknięciu sprzężenia

40 Pokażemy krzepkość rozwiązania sterowania z działaniem całkującym
Niech zaburzona macierz stanu

41 Wielomian charakterystyczny systemu otwartego dla macierzy zaburzonej
Wartości własne wielomianu charakterystycznego systemu otwartego Stabilny (krytycznie), system rzędu trzeciego Stosując prawo sterowania znalezione dla modelu nominalnego

42 Pełny opis systemu po zamknięciu sprzężenia

43 Wartości własne wielomianu charakterystycznego systemu zamknietego
Stabilny asymptotycznie, system rzędu czwartego

44 Wyniki symulacji (odpowiedzi wyjścia na skok jednostkowy wielkości referencyjnej)
Czas [s] Nominalny Zaburzony

45 Rozwiązanie Przypadek dyskretny: Opóźnienie

46 Wejście integratora (dyskretnego)
gdzie, zmienne reprezentują dodatkowych zmiennych stanu Równania systemu rozszerzonego Pełny opis systemu rozszerzonego (otwartego)

47 Sterowanie przez sprzężenie zwrotne od stanu i sprzężenie zwrotne od wyjścia
Prawo sterowania System z zamkniętą pętlą sterowania Uchyb sterowania w stanie równowagi Stan równowagi

48 Przykład 3. Weźmy system z Przykładu 1 System trzeciego rzędu Zdyskretyzujemy system stosując metodę niezmienniczości skokowej (z odpowiedzi) gdzie,

49 Wykorzystując np. funkcję c2d MATLAB’a znajdziemy, przyjmując
System dyskretny System trzeciego rzędu, jednowymiarowy

50 Przyjmiemy takie same pożądane położenie wartości własnych systemu zamknietego
Stąd pożądane położenie wartości własnych systemu zamkniętego dyskretnego Pożądany wielomian charakterystyczny systemu zamkniętego Wielomian charakterystyczny macierzy stanu (zastosujemy wzór Ackermann’a)

51 Sprawdzamy sterowalność systemu otwartego (możemy skorzystać z funkcji ctrb MATLAB’a)
Wyznacznik macierzy sterowalności Złe uwarunkowanie numeryczne! Zastosujemy (jednak) wzór Ackermann’a do obliczenia macierzy wzmocnień sprzężenia zwrotnego od stanu (możemy wykorzystać np. funkcję acker MATLAB’a)

52 Sprawdzimy wartości własne systemu zamkniętego (sprawdzenie wpływu uwarunkowania numerycznego na wynik obliczenia macierzy wzmocnień) Uzyskany wynik wskazuje, że odwracanie macierzy (wzór Ackermann’a) odbyło się beż numerycznych problemów z powodu złego uwarunkowania Problemy mogą jednak pojawić się, jeżeli wyznacznik będzie zbyt mały Np. dla Powtarzając powyższą procedurę dostaniemy macierz sterowalności o wyznaczniku

53 Macierz wzmocnień dla tego przypadku
Wzmocnienia do kilku tysięcy razy większe niż poprzednio! Problemy … Symulacja Zerowe warunki początkowe

54 Wyniki symulacji Numer próbki Amplituda odpowiedzi!

55 Dla uzyskania odpowiedniej amplitudy odpowiedzi wyjścia zastosujemy rozwiązanie z działaniem całkującym System rozszerzony

56 Rozważymy dwa przypadki
Przypadek 1. Zastosujemy wybór wartości własnych jak poprzednio i wyznaczymy macierze wzmocnień za pomocą wzoru Ackermann’a Przypadek 2. Aby zmniejszyć wartości wzmocnień przesuwamy dyskretne wartości własne dalej od początku układu współrzędnych i wyznaczymy macierze wzmocnień za pomocą wzoru Ackermann’a Np.

57 Wyniki symulacji (wymuszenie: skok o amplitudzie 0.1)
Numer próbki Przypadek 2 Przypadek 1

58 Wyniki symulacji (wymuszenie: skok o amplitudzie 0.1)
Numer próbki Przypadek 1 Przypadek 2

59 Koniec slajdów wykorzystanych podczas wykładu
Dziękuję za uczestnictwo w wykładzie i uwagę