Pobierz prezentację
Pobieranie prezentacji. Proszę czekać
1
Obserwowalność i odtwarzalność
System ciągły System dyskretny Obserwowalność/odtwarzalność określa możliwość jednoznacznego określenia stanu systemu w oparciu pomiary przez skończony przedział czasu sygnałów wejścia i wyjścia Znaczenie: znajomość stanu początkowego i wejścia systemu pozwala zrekonstruować całą trajektorię stanu w oparciu o równania stanu
2
Systemy ciągłe Obserwowalność stanu Stan obserwowalny Stan systemu liniowego jest obserwowalny jeżeli można go określić znając wyjście dla chwil ze skończonego przedziału, Jeżeli każdy stan jest obserwowalny, mówimy, że system jest całkowicie obserwowalny lub krócej obserwowalny
3
Obserwowalność systemu ciągłego liniowego stacjonarnego
Twierdzenie OSC LS1 System liniowy stacjonarny jest obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz obserwowalności, nazywana macierzą obserwowalności Kalmana ma rząd n, tzn. rząd systemu
4
Wymiar macierzy obserwowalnośći: nqxn; n – wymiar stanu, q – wymiar wyjścia
Dla q=1 macierz obserwowalności jest macierzą kwadratową i dla sprawdzenia obserwowalności wystarczy sprawdzić nieosobliwość macierzy obserwowalności
5
Inne testy obserwowalności systemów ciągłych
Dodatek A
6
Obserwowalność a przekształcenia podobieństwa
Obserwowalność zostaje zachowana podczas transformacji podobieństwa
7
Odtwarzalność stanu Stan odtwarzalny Stan systemu liniowego jest odtwarzalny jeżeli można go określić znając wyjście dla chwil ze skończonego przedziału, Jeżeli każdy stan jest odtwarzalny, mówimy, że system jest całkowicie odtwarzalny lub krócej odtwarzalny
8
Dla systemów ciągłych obserwowalność i odtwarzalność są równoważne
Odtwarzalność systemu ciągłego liniowego stacjonarnego Twierdzenie OtSC LS1 System liniowy stacjonarny jest odtwarzalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz odtwarzalnośći, nazywana macierzą odtwarzalności Kalmana ma rząd n, tzn. rząd systemu
9
Systemy dyskretne Obserwowalność stanu Stan obserwowalny Stan systemu liniowego jest obserwowalny jeżeli można go określić znając wyjście dla chwil ze skończonego przedziału, Jeżeli każdy stan jest obserwowalny, mówimy, że system jest całkowicie obserwowalny lub krócej obserwowalny
10
Obserwowalność systemu dyskretnego liniowego stacjonarnego
Twierdzenie OSD LS1 System liniowy stacjonarny jest obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz obserwowalności, nazywana macierzą obserwowalności Kalmana ma rząd n, tzn. rząd systemu
11
Inne testy obserwowalności systemów dyskretnych
Dodatek B
12
Dla systemów dyskretnych obserwowalność i odtwarzalność nie są równoważne
Odtwarzalność systemu dyskretnego liniowego stacjonarnego Twierdzenie OtSD LS1 System liniowy stacjonarny jest odtwarzalny wtedy, gdy macierz odtwarzalności, nazywana macierzą odtwarzalności Kalmana ma rząd n, tzn. rząd systemu
13
Dekompozycja Kalmana systemów niesterowalnych i nieobserwowalnych
Przykład 1 Mamy system Liniowy, stacjonarny, 1 – wejście, 1 - wyjście
14
Transmitancja Zera i bieguny transmitancji Transmitancja po redukcji
15
Schemat blokowy modelu przestrzeni stanu
16
Schemat blokowy modelu w nowej przestrzeni stanu
Transformacja do postaci diagonalnej Schemat blokowy modelu w nowej przestrzeni stanu
17
Cztery różne statusy zmiennych stanu:
- v1 można na niego wpływać sterowaniem u i można go obserwować z wyjścia y - v2 nie można na niego wpływać sterowaniem u, ale można go obserwować z wyjścia y - v3 można na niego wpływać sterowaniem u, ale nie można go obserwować z wyjścia y - v4 nie można na niego wpływać sterowaniem u, ani nie można go obserwować z wyjścia y
18
Można wyróżnić cztery podsystemy:
- związany ze zmienną stanu v1 sterowalny i obserwowalny - związany ze zmienną stanu v2 niesterowalny, ale obserwowalny - związany ze zmienną stanu v3 sterowalny, ale nieobserwowalny - związany ze zmienną stanu v4 niesterowalny i nieobserwowalny Stany niesterowalne i nieobserwowalne mogą być alb stabilne, albo niestabilne System, którego wszystkie stany niesterowalne są stabilne jest nazywany stabilizowalnym System, którego wszystkie stany nieobserwowalne są stabilne jest nazywany wykrywalnym
19
Dekompozycja na podprzestrzenie sterowalne/osiągalne
Jeżeli system jest niesterowalny/nieosiągalny można go zdekomponować na część sterowalną i niesterowalną Twierdzenie o dekompozycji na podprzestrzenie sterowalne Jeżeli system liniowy stacjonarny o macierzach A, B i C nie jest sterowalny (tzn. A jest wymiaru nxn i rank(Mc = p < n) wówczas może być znalezione przekształcenie podobieństwa takie, że macierze systemu po transformacji mają postać gdzie, , a para macierzy {AC, BC} jest sterowalna, oraz
20
Dodatek C – Sposób znajdowania macierzy przekształcenia podobieństwa i przykład
21
Dekompozycja na podprzestrzenie obserwowalne/odtwarzalne
Jeżeli system jest nieobserwowalny można go zdekomponować na część obserwowalną i nieobserwowalną Twierdzenie o dekompozycji na podprzestrzenie obserwowalna Jeżeli system liniowy stacjonarny o macierzach A, B i C nie jest obserwowalny (tzn. A jest wymiaru nxn i rank(Mo = p < n) wówczas może być znalezione przekształcenie podobieństwa takie, że macierze systemu po transformacji mają postać gdzie, , , a para macierzy {Ao, Bo} jest obserwowalna, oraz
22
Dodatek D – Sposób znajdowania macierzy przekształcenia podobieństwa i przykład
23
Dziękuję za uczestnictwo w wykładzie i uwagę
24
Inne testy sterowalności systemów ciągłych
Dodatek A Inne testy sterowalności systemów ciągłych
25
Twierdzenie OSC LS2 System liniowy stacjonarny jest obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje żadem prawostronny wektor własny macierz A, taki że co oznacza, że żaden wektor własny macierz A nie jest ortogonalny do wszystkich kolumn macierz C
26
Twierdzenie OSC LS3 System liniowy stacjonarny jest obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz o wymiarze (r+n)xn ma rząd n dla dowolnego zespolonego skalara s Test obserwowalności w oparciu o twierdzenia 2 i 3 nosi nazwę testu Popov’a – Belevitch’a-Hautus’a
27
Twierdzenie OSC LS4 Diagonalny system liniowy stacjonarny z jednokrotnymi wartościami własnymi jest obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz C nie ma kolumn zerowych
28
Inne testy obserwowalności systemów dyskretnych
Dodatek B Inne testy obserwowalności systemów dyskretnych
29
Twierdzenie OSD LS2 System liniowy stacjonarny jest obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje żadem prawostronny wektor własny macierz AD , taki że co oznacza, że żaden wektor własny macierz AD nie jest ortogonalny do wszystkich kolumn macierz CD
30
Twierdzenie OSD LS3 System liniowy stacjonarny jest obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz o wymiarze (r+n)xn ma rząd n dla dowolnego zespolonego skalara z Test sterowalności w oparciu o twierdzenia 2 i 3 nosi nazwę testu Popov’a – Belevitch’a-Hautus’a
31
Twierdzenie OSD LS4 Diagonalny system liniowy stacjonarny z jednokrotnymi wartościami własnymi jest obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz CD nie ma kolumn zerowych
32
Sposób znajdowania macierzy przekształcenia podobieństwa i przykład
Dodatek C
33
Macierz transformacji Q może być utworzona w następujący sposób:
Macierz MC ma wymiar n x nm, a ponieważ jest rządu p, można spośród jej kolumn wybrać p kolumn liniowo niezależnych Załóżmy, że będą to kolumny Następnie wybieramy n – p wektorów tak, aby macierz była nieosobliwa
34
Przykład 1. Rozważamy system dwuwymiarowy ( dwa wejścia, dwa wyjścia) Macierz sterowalności Kalmana Rząd macierzy Kalmana System jest niesterowalny
35
Dwie pierwsze kolumny macierzy sterowalności są liniowo niezależne, dobierzemy wektor
Wówczas oraz Macierze systemu po transformacji podobieństwa
36
Macierze podsystemu sterowalnego
Niesterowalna część systemu opisana równaniem stanu Macierz transmitancji systemu przed i po transformacji
37
Związki pomiędzy zmiennymi stanu
Wartość własna części niesterowalne wynosi System jest stabilizowalny
38
Sposób znajdowania macierzy przekształcenia podobieństwa i przykład
Dodatek D
39
Macierz transformacji P może być utworzona w następujący sposób:
Macierz Mo ma wymiar nr x n, a ponieważ jest rządu p, można spośród jej wierszy wybrać p wierszy liniowo niezależnych Załóżmy, że będą to kolumny Następnie wybieramy n – p wektorów tak, aby macierz n x n była nieosobliwa
40
Przykład 2. Rozważamy system dwuwymiarowy ( 2 wejścia, dwa wyjścia) System jest sterowalny lecz nieobserwowalny – macierz obserwowalności Kalmana Rząd macierzy Kalmana System jest nieobserwowalny
41
Dwa pierwsze wiersze macierzy obserwowalności są liniowo niezależne, dobierzemy wektor
Wówczas oraz Macierze systemu po transformacji podobieństwa
42
Macierze podsystemu obserwowalnego
Macierz transmitancji systemu przed i po transformacji
43
Wartości własne systemu oryginalnego
Podsystemu obserwowalnego Wartość własna części nieobserwowalnej wynosi System jest niewykrywalny
Podobne prezentacje
© 2024 SlidePlayer.pl Inc.
All rights reserved.