Rozwiązywanie układów równań Radosław Hołówko Konsultant: Agnieszka Pożyczka.

Prezentacja na temat: "Rozwiązywanie układów równań Radosław Hołówko Konsultant: Agnieszka Pożyczka."— Zapis prezentacji:

1 Rozwiązywanie układów równań Radosław Hołówko Konsultant: Agnieszka Pożyczka

2 Rozwiązywanie układów równań Układ równań Rozwiązania układu równań Algebraiczne metody rozwiązywania układów równań Metoda podstawiania Metoda przeciwnych współczynników

3 Układ równań Układ równań to zapis dwóch lub więcej równań (jedno pod drugim połączonych klamrą), w których występuje więcej niż jedna niewiadoma. Przykłady: 2x+3y=7 3x+y=8 a+b=3 b-c=4 c+2a=5

4 Układ równań Jeżeli układ tworzą dwa równania z dwiema niewiadomymi to parę (pary) liczb, która spełnia oba te równania jednocześnie, nazywamy rozwiązaniem układu równań. Przykład: 4x=20 y=x+2 Rozwiązaniem układu równań jest para liczb: x=5 i y=7

5 Rozwiązania układu równań Układ równań może być: a) układem oznaczonym – gdy układ równań ma jedną parę rozwiązań Przykład: 2x+y=4 4x+4y=8 Rozwiązaniem jest para liczb x=2 i y=0

6 Rozwiązania układu równań b) układem sprzecznym – gdy układ równań nie ma rozwiązania Przykład: 5x+y=4 5x+y=7 stąd: 0=3 co jest fałszem Zatem żadna para liczb nie spełnia tego układu równań.

7 Rozwiązania układu równań c) układem nieoznaczonym – gdy układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań Przykład: 2x+y=2/-2x 4x+2y=4 y=2-2x 4x+2y=4 4x+2(2-2x)=4 4x+4-4x=4 0∙x=0 Ponieważ x może być dowolną liczbą, zatem układ jest spełniony przez pary liczb spełniających równanie: 2x+y=2

8 Algebraiczne metody rozwiązywania układów równań Układy równań możemy rozwiązać za pomocą następujących metod: metodą podstawiania metodą przeciwnych współczynników

9 Metoda podstawiania Metoda podstawiania polega na wyznaczeniu jednej niewiadomej w jednym z równań, a następnie podstawienia wyniku do drugiego równania.

10 Metoda podstawiania Przykład: 2x+4y=16/:2 3x-2y=8 x+2y=8/-2y 3x-2y=8 x=8-2y 3(8-2y)-2y=8 x=8-2y 24-6y-2y=8/-24 x=8-2y -8y=-16/:(-8) Z pierwszego równania wyznaczamy x W drugim równaniu w miejsce x podstawiamy: 8-2y

11 Metoda podstawiania Przykład c.d. x=8-2y y=2 x=8-2∙2 y=2 x=4 y=2 Odpowiedź: Rozwiązaniem układu równań jest para liczb x=4 i y=2 W pierwszym równaniu w miejsce y podstawiamy 2

12 Metoda przeciwnych współczynników Polega na doprowadzeniu jednego z równań do postaci w której współczynnik przy jednej ze zmiennych (x lub y) będzie liczbą przeciwną do współczynnika tej samej zmiennej w drugim równaniu. Następnie równania należy do siebie dodać, pozbywając się jednej z niewiadomych. Uwaga: Czasami należy wykonać odpowiednie działania na obu równaniach.

13 Metoda przeciwnych współczynników Przykład 1: 3x+2y=2/∙(-2) 5x+4y=6 -6x-4y=-4 + 5x+4y=6. -x=2/∙(-1) x=-2 3(-2)+2y=2/+6 Mnożąc pierwsze równanie przez (-2) otrzymamy przeciwne współczynniki przy zmiennych y, w obu równaniach Dodajemy równania stronami i otrzymujemy równanie I-go stopnia z jedną niewiadomą Obliczamy x Wstawiamy x=-2 do jednego z równań

14 Metoda przeciwnych współczynników Przykład c.d. x=-2 2y=8/:2 x=-2 y=4 Odpowiedź: Rozwiązaniem układu równań jest para liczb x=-2 i y=4

15 Metoda przeciwnych współczynników Przykład 2 3x+4y=2/∙5 5x+7y=1/∙(-3) 15x+20y=10 + -15x-21y=-3 -y=7 y=-7 5x+7∙(-7)=1 y=-7 5x=50 y=-7 x=10 Odpowiedź: Rozwiązaniem jest para liczb x=10 i y=-7 W tym przykładzie należy wykonać odpowiednie działania na obu równaniach

16 Dziękuję za uwagę. Proszę o rozwiązanie zadań umieszczonych w karcie pracy.