© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej MATEMATYCZNE MODELOWANIE PROCESÓW BIOTECHNOLOGICZNYCH - 1 Wprowadzenie – Istota i klasyfikacja.

Prezentacja na temat: "© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej MATEMATYCZNE MODELOWANIE PROCESÓW BIOTECHNOLOGICZNYCH - 1 Wprowadzenie – Istota i klasyfikacja."— Zapis prezentacji:

1 © Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej MATEMATYCZNE MODELOWANIE PROCESÓW BIOTECHNOLOGICZNYCH - 1 Wprowadzenie – Istota i klasyfikacja modelowania matematycznego Proste przykłady

2 © Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 2 Zakres zajęć Tematyka naszych zajęć będzie zawierać następujące elementy: Powtórzenie niektórych podstaw matematyki, które są niezbędne w praktyce modelowania matematycznego. Przypomnienie i rozszerzenie wiadomości dotyczących analitycznego i numerycznego rozwiązywania równań liczbowych. Podstawowe wiadomości o równaniach różniczkowych. Analityczne i numeryczne rozwiązywanie równań różniczkowych. Zastosowanie metod modelowania matematycznego w kinetyce chemicznej.

3 © Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 3 Co to jest modelowanie ? Modelowaniem nazywamy odwzorowanie (opis) pewnego fragmentu rzeczywistości za pomocą za pomocą obiektu nazywanego modelem. Fragment rzeczywistości Model Modelowanie

4 © Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 4 Rodzaje modelowania W zależności od tworzonego modelu możemy rozróżniać wiele rodzajów modelowania. I tak mamy: Modelowanie fizyczne, gdy model jest obiektem fizycznym. Modelowanie opisowe, gdy model jest słownym lub pisemnym opisem modelowanej rzeczywistości. Modelowanie obrazowe, gdy model jest graficzną ilustracją modelowanego obiektu. Modelowanie matematyczne, gdy model jest zbiorem formuł matematycznych.

5 © Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 5 Definicja modelowania matematycznego Modelowanie matematyczne jest to opis rzeczywistego zjawiska fizykochemicznego lub procesu inżynieryjnego za pomocą zestawu formuł matematycznych. Podstawą takiego opisu są podstawowe prawa fizyki i chemii. Celem modelowania jest uzyskanie pewnych ilościowych informacji dotyczących danego zjawiska lub procesu przy ograniczeniu eksperymentów do minimum.

6 © Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 6 Istota modelowania matematycznego Świat realny Świat matematyki Budowa modelu Proces inżynierii np. destylacja, ekstrakcja, suszenie,… a,b,c,… – znane lub założone parametry ilościowe opisujące proces, np. ilość surowca w destylacji, skład surowca, ilość destylatu, jego skład z 1,z 2,…,z n – niewiadome parametry niezbędne do projektowania i prowadzenia procesu, np. ilość cieczy wyczerpanej i jej skład Φ 1 (a,b,…,z 1,z 2,…,z n )=0 Φ 2 (a,b,…,z 1,z 2,…z n )=0 Φ n (a,b,…,z 1,z 2,…,z n )=0 Rozwiązanie modelu z 1,z 2,…,z n Interpretacja niewiadomych jako parametrów rzeczywistego procesu …………………………..

7 © Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej Proste przykłady modelowania matematycznego Bardzo prostym przykładem modelowania matematycznego procesu inżynieryjnego może być bilansowanie procesu destylacji ciągłej roztworu dwuskładnikowego. Załóżmy że należy ciecz dwuskładnikową w ilości S o zawartości x S składnika lotnego rozdzielić na destylat o składzie x D oraz ciecz wyczerpaną o składzie x W. Ilość destylatu D i cieczy wyczerpanej W jest niewiadoma. Przykład 1.

8 © Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 8 Proste przykłady modelowania matematycznego S, x S D, x D W, x W Modelowanie w tym przypadku polega na sformułowaniu dwu równań bilansowych opartych na prawie zachowania masy: Rozwiązując układ równań ze względu na niewiadome D i W otrzymujemy:

9 © Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej Funkcję powyższą można by wyznaczyć eksperymentalnie, ale wymagałoby to olbrzymiej liczby doświadczeń i byłoby niezmiernie kosztowne. Modelowanie matematyczne oparte na podstawowych prawach fizyki pozwoli na stosunkowo łatwe wyprowadzenie wzorów określających powyższą zależność i ograniczenie liczby niezbędnych eksperymentów. 9 Proste przykłady modelowania matematycznego Drugi przykład modelowania matematycznego dotyczy zjawiska opadania cząstek ciała stałego w płynach mającego istotne znaczenie w procesie sedymentacji. Dla prawidłowego opisu tego procesu niezbędna jest znajomość zależności prędkości swobodnego opadania cząstek w o od szeregu parametrów takich jak: średnica cząstki d, gęstość płynu ρ, gęstość ciała stałego ρ s, lepkość dynamiczna płynu η i przyspieszenie ziemskie g. Przykład 2.

10 © Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 10 Proste przykłady modelowania matematycznego R W G Konstruując model zastosujmy najpierw I zasadę dynamiki Newtona zgodnie z którą: Ruch cząstki jest ustalony  Siły działające na cząstkę są zrównoważone Siły działające na cząstkę: - siła grawitacji G - siła wyporu (Archimedesa) W - siła oporu R działająca przeciwnie do kierunku ruchu cząstki. Wartości powyższych sił możemy określić za pomocą wzorów:

11 © Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 11 Proste przykłady modelowania matematycznego Główne równanie modelu jest bilansem sił wynikającym z I zasady dynamiki Newtona: Upraszczając i uwzględniając, że współczynnik oporu ζ jest funkcją liczby Reynoldsa otrzymujemy model w postaci układu 3 równań:

12 © Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 12 Proste przykłady modelowania matematycznego W układzie tym mamy 3 niewiadome: główna – prędkość opadania w o i 2 pomocnicze – współczynnik oporu ζ oraz liczba Reynoldsa Re. W celu rozwiązania powyższego układu niezbędną jest znajomość funkcji określającej zależność współczynnika oporu od liczby Re. Dla cząstek kulistych postać funkcji f(Re) zależy od zakresu Re:

13 © Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 13 Proste przykłady modelowania matematycznego Rozwiązanie modelu będzie zależało od zakresu i w każdym zakresie będzie opisywane za pomocą innego wzoru. Podstawiając odpowiednie wzory i rozwiązując nieliniowy układ równań otrzymujemy zależności określające prędkość ustalonego opadania kulistych cząstek ciała stałego w płynach:

14 © Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 14 Proste przykłady modelowania matematycznego Dla przykładu oszacujmy za pomocą powyższego modelu prędkość swobodnego opadania człowieka ważącego 80 kg w powietrzu. Gęstość powietrza możemy przyjąć ρ=1.2 kg/m 3, gęstość ciała ρ s =1000 kg/m 3, średnicę jako średnicę kuli o tej samej objętości d=[6·80/(π · 1000)] 1/3 =0.535 m. Zakładając, że jesteśmy w obszarze Newtona otrzymujemy prędkość opadania: w o =[0.535(1000-1.2)·9.81 /(0.33·1.2)] 1/2 =115 m/s Re=115·0.535·1.2/18 · 10 -6 =4.1·10 6 Re>513.

15 © Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 15 Proste przykłady modelowania matematycznego Przy okazji rozważania przedstawionych tutaj przykładów omówmy zagadnienie uproszczeń dokonywanych przy formułowaniu równań modelowych. Uproszczenia są niezbędne gdyż na ogół modelowana rzeczywistość jest złożona i uwzględnienie wszystkich jej aspektów jest niemożliwe. Modelujący musi dokonywać wyboru tych aspektów, które są niezbędne i pomijać te aspekty, które w jego ocenie nie są istotne.

16 © Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 16 Proste przykłady modelowania matematycznego W przykładzie 1 założono, że proces destylacji jest ustalony oraz że podczas procesu nie odbywa się żadna reakcja chemiczna z udziałem rozważanych składników. W przykładzie 2 założono, że opadanie cząstki jest ustalone oraz że cząstka ma kształt kulisty. Nie zawsze wszystkie założenia upraszczające są zasadne. Przykładowo rozważmy zjawisko opadania cząstki w płynie, ale interesuje nas początkowy okres opadania. W taki przypadku oczywiście założenie, że proces jest ustalony jest nieuprawnione. Musimy zbudować model bez tego założenia. Model taki przedstawię Państwu jako kolejny przykład.

17 © Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 17 Proste przykłady modelowania matematycznego Przykład 3. Modelować będziemy swobodne opadanie cząstki ciała stałego w płynie. Ogólny opis zjawiska jest analogiczny jak w przykładzie 2. Na cząstkę działają 3 siły: grawitacji G, wyporu W i oporu R. Ponieważ nie zakładamy, że opadanie jest ustalone więc również te 3 działające siły w ogólnym przypadku nie są zrównoważone. Dla sformułowania głównego równania modelu użyjemy II prawa dynamiki Newtona zgodnie z którym, wypadkowa układu sił działającego na cząstkę jest równa iloczynowi masy cząstki i jej przyśpieszenia tzn. pochodnej prędkości po czasie: Podstawiając do powyższego równania wyrażenia określające poszczególne siły oraz zakładając że cząstka jest kulą o średnicy d otrzymujemy zasadnicze równanie modelu w postaci:

18 © Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 18 Proste przykłady modelowania matematycznego Jak widzimy, w głównym równaniu modelu występuje operacja różniczkowania zatem jest to równanie różniczkowe. Niewiadomą jest tutaj funkcja prędkości opadania cząstki od czasu w(t). Jest to równanie nieliniowe (człon w 2 ) I rzędu. Dla jednoznacznego rozwiązania równania konieczne jest jeszcze sformułowanie warunku początkowego, który w tym przypadku jest bardzo prosty. Załóżmy mianowicie że na początku procesu cząstka jest nieruchoma co można zapisać jako:

19 © Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 19 Proste przykłady modelowania matematycznego W celu rozwiązania naszego modelu musimy jeszcze rozważyć współczynnik oporu ζ. Jak pamiętamy jest on funkcją liczby Reynoldsa czyli prędkości. Jednak w obszarze Re>500 tzn. w obszarze Newtona współczynnik ten jest stały. Zatem stałe będą również wielkości w ∞ i h o występujące w równaniu różniczkowym. Równanie to możemy przekształcić rozdzielając zmienne a następnie scałkować uwzględniając warunek początkowy.

20 © Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej Otrzymana jako rozwiązanie modelu funkcja przedstawia szukaną zależność prędkości opadania cząstki ciała stałego od czasu. Zauważmy, że funkcja ta spełnia warunek początkowy, natomiast granicznie dla t=>∞ prędkość ustala się na poziomie w ∞. Tą samą wartość otrzymaliśmy w przykładzie 2 rozpatrując proces ustalony. Dla parametrów określonych w przykładzie 2 wykres funkcji w(t) jest następujący: 20 Proste przykłady modelowania matematycznego

21 © Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 21 Proste przykłady modelowania matematycznego t [s] w [m/s] w∞w∞

22 © Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 22 Klasyfikacja modelowania matematycznego Modelowanie matematyczne Modelowanie algebraiczne Równania liniowe Równania nieliniowe Modelowanie różniczkowe Równania zwyczajne Równania cząstkowe W zależności od rodzaju formuł matematycznych w opisie problemu modelowanie matematyczne możemy sklasyfikować zgodnie ze schematem:

23 © Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 23 Klasyfikacja modelowania matematycznego Modelowanie algebraiczne polega na opisie zjawiska lub procesu za pomocą układu równań algebraicznych z pewną liczbą niewiadomych. Aby model był rozwiązywalny na ogół liczba równań powinna być równa liczbie niewiadomych. Układ ten może być liniowy jak w naszym pierwszym przykładzie lub nieliniowy jak w przykładzie opisującym swobodne opadanie. Modelowanie algebraiczne występuje zazwyczaj w problemach bilansowych procesów ustalonych oraz przy wyznaczaniu stanów równowagi fazowej lub chemicznej.

24 © Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 24 Klasyfikacja modelowania matematycznego Modelowanie różniczkowe mamy wtedy gdy zasadnicze formuły modelu są równaniami różniczkowymi. Równania te mogą być zwyczajne gdy opisują funkcje zależne od jednej zmiennej lub cząstkowe gdy dotyczą funkcji wielu zmiennych. W zastosowaniach inżynieryjnych w równaniach zwyczajnych zmienną najczęściej jest czas, natomiast w równaniach cząstkowych zmiennymi są czas i parametry przestrzenne.

25 © Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 25 Klasyfikacja modelowania matematycznego Należy zwrócić uwagę, że w modelowaniu różniczkowym oprócz zasadniczych równań różniczkowych, dla zapewnienia jednoznaczności, konieczne jest zazwyczaj sformułowanie dodatkowych, tzw. warunków początkowych i brzegowych, które najczęściej mają charakter równań algebraicznych. Modelowanie różniczkowe stosujemy do: - opisu procesów ustalonych w aparatach przestrzennych, - opisu procesów nieustalonych w aparatach lub cząstkach. Modelowaniem różniczkowym jest bardzo często stosowane w kinetyce chemicznej gdzie rozpatruje się zagadnienie szybkości różnych reakcji chemicznych.

26 © Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej Przypomnienie elementarnych zagadnień z matematyki

27 © Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej Elementy algebry Jednym z podstawowych pojęć w matematyce jest pojęcie liczby. Liczby tworzą pewne systemy (zbiory) nazywane przestrzeniami algebraicznymi. W przestrzeniach algebraicznych kluczową rolę odgrywają różne operacje na elementach nazywane działaniami. Przypomnimy teraz najważniejsze rodzaje liczb i związanych z nimi przestrzeni algebraicznych. 1. Liczby naturalne, N={1,2,3,….}. W zbiorze liczb naturalnych możliwe jest tylko dodawanie i mnożenie.

28 © Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej Elementy algebry 2. Liczby całkowite, I={…-2,-1,0,1,2…}. W zbiorze liczb całkowitych możliwe jest dodawanie i odejmowanie oraz mnożenie. 3. Liczby wymierne, w€W w=i 1 /i 2, i 1, i 2 €I, i 2 ≠0. Każdą liczbę wymierną można przedstawić w postać ułamka dwu liczb całkowitych. W zbiorze liczb wymiernych możliwe jest dodawanie, odejmowanie oraz mnożenie i dzielenie.

29 © Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej Elementy algebry cd. 4. Liczby rzeczywiste, r€R. Zbiór liczb rzeczywistych odgrywa podstawową rolę zarówno w algebrze jak i analizie matematycznej. Dokładna definicja liczb rzeczywistych jest dosyć trudna i nie będę jej tutaj podawał. W zbiorze liczb rzeczywistych możliwe jest dodawanie i odejmowanie, mnożenie i dzielenie ( z wyjątkiem zera). Ze względu na te działania zbiór liczb rzeczywistych jest tzw. ciałem algebraicznym. Z pewnymi ograniczeniami w zbiorze liczb rzeczywistych można definiować inne operacje algebraiczne takie jak: potęgowanie i pierwiastkowanie. Za pomocą liczb rzeczywistych opisujemy wielkości fizyczne nazywane skalarami.

30 © Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej Elementy algebry cd. 5. Liczby zespolone, z€C z=(x,y) x,y€R, i=√(-1) jednostka urojona. Liczby zespolone odgrywają ważną rolę w różnych modelach matematycznych stosowanych w inżynierii. Zbiór liczb zespolonych, podobnie jak zbiór liczb rzeczywistych jest ciałem algebraicznym, w którym możliwe są dodawanie i odejmowanie oraz mnożenie i dzielenie. Liczby zespolone mają tradycyjną interpretację algebraiczną, w której zapisywane są one jako suma dwu części: rzeczywistej i urojonej

31 © Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej Elementy algebry cd. Oprócz algebraicznej istnieje też geometryczna interpretacja liczb zespolonych, w której liczby te są utożsamiane z punktami na płaszczyźnie: x y z=x+iy

32 © Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej Funkcje elementarne Zbiór Y nazywamy zbiorem wartości funkcji, natomiast zbiór D jest to tzw. dziedzina funkcji. Zbiory X i Y mogą być równe zbiorowi R liczb rzeczywistych lub też mogą być podzbiorami tego zbioru. Elementy zbioru X nazywamy zmienną niezależną x. Funkcją nazywamy jednoznaczne przyporządkowanie pewnej liczby y€Y liczbie x€D. Przyporządkowanie to zapisujemy w postaci:

33 © Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej Funkcje elementarne Z pośród wielu funkcji wyróżniamy tzw. funkcje elementarne, do których należą: 1.Funkcje algebraiczne. Są to funkcje zapisane za pomocą wzoru, w którym występują tylko operatory algebraiczne tzn. dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie oraz potęgowanie całkowite. Przykłady funkcji algebraicznych:

34 © Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej Funkcje elementarne cd. 2.Funkcje potęgowe. Są to funkcje, w których zmienna niezależna x występuje jako podstawa podniesiona do potęgi α (α dowolna liczba naturalna, całkowita, wymierna lub rzeczywista).

35 © Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej Funkcje elementarne cd. 3.Funkcje wykładnicze. Są to funkcje, w których zmienna niezależna x występuje w wykładniku potęgi jakiegoś wyrażenia. Dosyć często podstawą takiej funkcji jest niewymierna liczba e. W takim przypadku funkcję nazywamy ekspotencjalną i oznaczamy ją za pomocą symbolu:

36 © Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej Funkcje elementarne cd. 4.Funkcje logarytmiczne. Są to funkcje odwrotne do funkcji wykładniczych. Zmienna niezależna x występuje tutaj pod znakiem logarytmu, najczęściej o podstawie e. W takim przypadku mamy do czynienia z tzw. logarytmem naturalnym. Najprostsza funkcja logarytmiczna ma zapis:

37 © Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej Funkcje elementarne cd. 5.Funkcje trygonometryczne. Są to funkcje zdefiniowane za pomocą odpowiednich stosunków długości boków trójkąta prostokątnego. Zmienną niezależną w tych funkcjach jest kąt w trójkącie wyrażony w mierze łukowej. Najczęściej stosowane są podstawowe 4 funkcje trygonometryczne:

38 © Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej Funkcje elementarne cd. 6.Funkcje hiperboliczne. Są to funkcje zdefiniowane za pomocą pewnych kombinacji funkcji ekspotencjalnych.

39 © Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej Funkcje elementarne cd. Wykresy funkcji hiperbolicznych:

40 © Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej Wybrane własności funkcji Niektóre funkcje spełniają pewne szczególne własności pomocne w ich zastosowaniu. Najważniejsze są następujące własności: 1.Parzystość. Funkcja f(x) jest parzysta jeżeli spełnia warunek: Parzyste są np. funkcje: x 2, cos(x), cosh(x). Wykresy funcji parzystych są symetryczne względem osi y. 2.Nieparzystość. Funkcja f(x) jest nieparzysta jeżeli spełnia warunek: Nieparzyste są np. funkcje: x 3, sin(x), tan(x). Wykresy funkcji nieparzystych są symetryczne względem początku układu współrzędnych. Uwaga. Większość funkcji nie jest ani parzysta ani nieparzysta.

41 © Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej Wybrane własności funkcji cd. 3.Okresowość. Funkcja f(x) jest okresowa jeżeli spełnia warunek: Stałą wartość x 0 nazywamy okresem funkcji. Okresowe są wszystkie funkcje trygonometryczne. Okres funkcji sinus i kosinus wynosi 2π a funkcji tanges i kotanges π. 4.Monotoniczność. Mówimy że funkcja jest monotoniczna jeżeli jest ona w całym rozważanym przedziale albo rosnąca albo malejąca. Funkcje które posiadają ekstrema tzn. maksima lub minima nie są monotoniczne. Monotoniczne są np. funkcje 2x, x 3, e x. Funkcje trygonometryczne są monotoniczne tylko w ograniczonych przedziałach.

42 © Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej RÓWNANIA Olbrzymią rolę w modelowaniu odgrywają wszelkiego rodzaju równania. Równaniem nazywamy formułę, w której po dwu stronach równości występują różne wyrażenia. W wyrażeniach tych występują pewne nieznane obiekty które oznaczymy ogólnie {x} oraz znane parametry które oznaczymy jako {a}. Ogólną postać równania możemy zapisać następująco: lub prościej po przeniesieniu jednego z wyrażeń na drugą stronę: W zależności od rodzaju obiektów {x} i {a} mamy różne rodzaje równań. Najprostsze są równania liczbowe, w których niewiadoma jest jedna lub kilka liczb zwanych pierwiastkami równania. Parametry {a} stanowią w takim przypadku układ znanych liczb. W wyrażeniu W występują operatory algebraiczne (działania) oraz na ogół funkcje elementarne.

43 © Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej RÓWNANIA LICZBOWE Równania liczbowe mogą mieć jedną lub więcej niewiadomych. Ogólną postać równania liczbowego z jedną niewiadomą możemy zapisać w postaci: W zależności od funkcji występujących w równaniu, równania dzielimy na algebraiczne, wymierne i przestępne. Równanie algebraiczne ma postać: Mówimy, że równanie takie jest stopnia n. Najprostsze są równania algebraiczne stopnia 1 – liniowe i 2 – kwadratowe. Parametry równania algebraicznego nazywamy współczynnikami. Najczęściej współczynniki są liczbami rzeczywistymi. Ogólnie równanie algebraiczne ze współczynnikami rzeczywistymi stopnia n może mieć co najwyżej n pierwiastków rzeczywistych. Równanie stopnia nieparzystego ma zawsze co najmniej 1 pierwiastek. Równanie stopnia parzystego może nie mieć w ogóle pierwiastków rzeczywistych.

44 © Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ Rozwiązanie równania liczbowego polega na znalezieniu wszystkich wartości x 1, x 2, …x n spełniających dane równanie. Rozwiązywanie równań może być analityczne (dokładne), gdy pierwiastki równania mogą być przedstawione za pomocą wzoru: Analitycznie można rozwiązywać wszystkie równania algebraiczne do stopnia 4, niektóre równania algebraiczne wyższych stopni oraz niektóre równania przestępne. Druga grupa metod rozwiązywania równań są to metody przybliżone, często określane jako tzw. metody numeryczne. Metody te polegają na konstrukcji pewnego ciągu nieskończonego, którego granicą jest szukany pierwiastek danego równania.

45 © Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej ANALITYCZNE ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH 1.Równania 1 – go stopnia (liniowe). 2.Równania 2 – go stopnia (kwadratowe)

46 © Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej ANALITYCZNE ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH cd. 3.Równania 3 – go stopnia (kubiczne). Podstawienieprowadzi do równania z dwoma parametrami p i q:

47 © Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej ANALITYCZNE ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH cd. Równania 3 – go stopnia cd. Otrzymane po podstawieniu równanie rozwiązuje się w zależności od wartości wyróżnika Δ zdefiniowanego wzorem: Mogą zachodzić 3 przypadki: I. Równanie ma 1 pierwiastek rzeczywisty, który możemy obliczyć za pomocą wzoru Cardana (lub Tartagli):

48 © Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej ANALITYCZNE ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH cd. II. Równanie ma 2 pierwiastki rzeczywiste, które możemy obliczyć za pomocą wzorów:

49 © Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej ANALITYCZNE ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH cd. III. Równanie ma 3 pierwiastki rzeczywiste, które możemy obliczyć za pomocą wzorów:

50 © Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej ANALITYCZNE ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH cd. Przykłady liczbowe rozwiązywania równań kubicznych Podstawienie Obliczając parametry p i q: P1:

51 © Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej ANALITYCZNE ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH cd. Teraz obliczamy wyróżnik Δ: Równanie ma zatem 1 pierwiastek rzeczywisty, który możemy obliczyć za pomocą wzoru Cardano: otrzymujemy równanie: Pierwiastek wyjściowego równania otrzymujemy wracając do wyjściowego podstawienia:

52 © Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej ANALITYCZNE ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH cd. Podstawienie Obliczając parametry p i q: P2:

53 © Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej ANALITYCZNE ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH cd. Teraz obliczamy wyróżnik Δ: Równanie ma zatem 2 pierwiastki rzeczywisty, który możemy obliczyć za pomocą wzorów dla q<0: otrzymujemy równanie: Pierwiastki wyjściowego równania otrzymujemy wracając do wyjściowego podstawienia:

54 © Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej ANALITYCZNE ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH cd. Podstawienie prowadzi do równania z parametrami p i q: P3:

55 © Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej ANALITYCZNE ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH cd. Teraz obliczamy wyróżnik Δ: Równanie ma zatem 3 pierwiastki rzeczywiste, który możemy obliczyć za pomocą wzorów : otrzymujemy równanie:

56 © Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej ANALITYCZNE ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH cd.

57 © Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej ANALITYCZNE ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH cd. Pierwiastki wyjściowego równania otrzymujemy wracając do wyjściowego podstawienia:

58 © Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej ANALITYCZNE ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH cd. 4.Równania 4 – go stopnia. Podzielenie równania przez a 4 prowadzi do równania z czterema parametrami b, c, d i e: gdzie: Jedna z metod analitycznych rozwiązania tego równania jest następująca:

59 © Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej ANALITYCZNE ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH cd. W kroku 1 ° znajdujemy dowolny pierwiastek rzeczywisty „z” równania 3 – go stopnia: W kroku 2° rozwiązujemy 2 równania kwadratowe gdzie: Pierwiastki tych równań kwadratowych są szukanymi pierwiastkami równania 4 – tego stopnia.

60 © Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej ANALITYCZNE ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH cd. Przykład rozwiązania równania 4 – tego stopnia: W kroku 1° znajdujemy równanie 3 – go stopnia: Równanie to rozwiązaliśmy jako przykład P3. Jednym z pierwiastków rzeczywistych był z 1 =13/2. Na podstawie tego pierwiastka w kroku 2° znajdujemy współczynniki równań kwadratowych:

61 © Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej ANALITYCZNE ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH cd. Końcowe równania kwadratowe oraz ich pierwiastki mają postać: Znalezione pierwiastki są równocześnie pierwiastkami wyjściowego równania 4 – tego stopnia.