Jak mierzyć asymetrię zjawiska? Wykład 5

Miary jednej cechy  Miary poziomu  Miary dyspersji (zmienności, zróżnicowania, rozproszenia)  Miary asymetrii (skośności)

Szereg symetryczny ● to szereg, w którym liczba jednostek rozłożona jest równomiernie po obu stronach wartości dominującej ● w szeregu takim miary tendencji centralnej, a więc średnia arytmetyczna, mediana i dominanta mają jednakową wartość, czyli: x

Wykres rozkładu normalnego  Kształt tego rozkładu może być różny w zależności od 2-óch parametrów: od średniej i wariancji S 2 (względnie odchylenia standardowego S).  Zawsze jednak jest to krzywa symetryczna względem swojej wartości średniej z charakterystycznym kształtem „dzwonu” oraz o mniejszym lub większym spłaszczeniu zależnie od odchylenia standardowego.

● Krzywa N1 ma ustaloną wartość średnią i odchylenie standardowe s. ● Krzywa N2 różni się od niej tym, że przy tej samej wartości średniej ma mniejsze odchylenie standardowe (krzywa staje się bardziej wysmukła). ●Krzywa N3 różni się od N1 tym, że przy tym samym odchyleniu standardowym ma większą wartość średnią, czyli jest przesunięta w prawo. N1N1 N2N2 N3N3

Dla zbiorów w większości symetrycznych lub umiarkowanie symetrycznych rozkłady empiryczne przyjmują kształt „dzwonu”  wszystkie wartości w zbiorze są rozproszone („rozrzucone”) wokół średniej  w celu określenia „rozpiętości” wokół średniej możemy użyć w bardzo precyzyjny sposób odchylenia standardowego.

Dla zbiorów danych o rozkładach mających kształt „dzwonu” empiryczna reguła określa jak blisko dane wartości są do średniej  1. W przybliżeniu 68% liczebności populacji znajduje się w przedziale zmienności równym wartości 1-go odchylenia standardowego od średniej  2. Prawie 95% liczebności populacji znajduje się w przedziale zmienności równym wartości 2-óch odchyleń standardowych od średniej.  3. Prawie 99.7% liczebności populacji znajduje się w przedziale zmienności równym wartości 3-ch odchyleń standardowych od średniej.

Empiryczna zasada 68% 95% 99,7%

Szeregi asymetryczne  Rozkład prawostronny  Rozkład lewostronny

Miary asymetrii (skośności)  wskaźnik asymetrii (skośności):  wartość wskaźnika asymetrii większa od zera informuje o dodatnim (prawostronnym) kierunku asymetrii rozkładu  W s równy zero oznacza rozkład symetryczny  W s mniejsze od zera wskazuje asymetrię ujemną (lewostronną)

Miary asymetrii (skośności)  współczynnik asymetrii (skośności) informuje jaka część odchylenia standardowego stanowi różnica między średnią arytmetyczną a dominantą  znak współczynnika określa kierunek a moduł siłę asymetrii  A s zawarty w granicach wskazuje na umiarkowaną asymetrię  w przypadku asymetrii prawostronnej A s przyjmuje wartości dodatnie,  w przypadku asymetrii lewostronnej A s przyjmuje wartości ujemne.

Miary asymetrii (skośności)  Jeżeli dany szereg wymaga użycia miar pozycyjnych (np. otwarte przedziały klasowe, nierówne rozpiętości przedziałów), do opisania asymetrii rozkładu należy użyć pozycyjnej miary asymetrii opartej na kwartylach:  lub określa kierunek i siłę asymetrii jednostek znajdujących się w 2-iej i 3-ej ćwiartce obszaru zmienności

Miary asymetrii (skośności)  Momenty definiuje się jako średnie arytmetyczne odchyleń wartości cechy (zmiennej) od liczby a podniesione do potęgi r: gdzie: - wykładnik potęgi r określa rząd momentu, a więc gdy r = 1 mówimy o momencie rzędu pierwszego, gdy r = 2 o momencie rzędu drugiego itd., - liczba a określa rodzaje momentów, gdy a = 0 mówimy o momentach zwykłych (zerowych) oraz gdy o momentach centralnych.

Miary asymetrii (skośności)  Momenty zwykłe (oznaczamy symbolem m):

Miary asymetrii (skośności)  Momenty centralne (oznaczamy symbolem e):

Miary asymetrii (skośności)  Do określenia asymetrii rozkładu stosuje się moment centralny trzeci e 3, informujący o kierunku skośności. - jeśli rozkład jest symetryczny to e 3 = 0, - w przypadku asymetrii prawostronnej e 3 > 0; - w przypadku asymetrii lewostronnej e 3 < 0.  Siłę zjawiska przedstawia moment centralny trzeci wyrażony w jednostkach odchylenia standardowego:  Jako miarę względną kurtozy stosuje się współczynnik: