Gramatyki Lindenmayera Powstanie Deterministyczny L-system

Gramatyki Lindenmayera  Inna nazwa to równolegle przepisujące systemu lub L-systemy,  Twórcą jest biolog Aristid Lindenmayer, który w 1968 roku stworzył formalny sposób opisu wzrostu roślin.  Polegają na zamianie modułu zwanego rodzicem, matką lub przodkiem na moduł zwany dzieckiem, córką lub potomkiem.

Rodzaje L-systemów  D0L-system - deterministyczny, bezkontekstowy L- system,  D1L-system - deterministyczny, wrażliwy na kontekst L-system,  0L-system - stochastyczny, bezkontekstowy L- system,  1L-system - stochastyczny, z kontekstem jednostronnym L-system,  2L-system - stochastyczny, z kontekstem dwustronnym (prawym i lewym) L-system,  parametryczny L-system,  Inne – różniczkowe, z elementami programowani itd.

Relacje między językami

L-systemy jak to działa:  Przepisywanie zaczynamy od pojedynczego modułu zwanego aksjomatem,  W trakcie symulacji korzystamy z reguł przepisania, które w najprostszym przypadku mają postać: Poprzednik  Następnik  Przepisanie polega znalezieniu reguły gdzie poprzednik pasuje do modułu matki i zastąpieniu tego modułu sekwencją z następnika.

 Niech V oznacza alfabet składający się z liter, zaś V * będzie zbiorem wszystkich słów nad zbiorem V oraz V + będzie zbiorem wszystkich niepustych słów ze zbioru V*. Przez słowo nad alfabetem V, rozumiemy złożony ciąg symboli z V

D0L-system – opis formalny  D0L-system to uporządkowaną trójka G = (, P, ), gdzie = {s1, s2,..., sn} jest alfabetem,  - aksjomatem oraz  należy do zbioru *, który jest zbiorem wszystkich ciągów symboli z .  Przekształcenie przepisywania jest określone jako: P : * z s  P(s) dla każdego s.  Każdemu symbolowi s odpowiada tylko jedna reguła przepisywania.  L-system generuje kolejne sekwencje:  (0),  (1),  (2),.... Sekwencje  (i+1) otrzymujemy  z poprzedniej  (i) przez zastosowanie reguł podstawiania do wszystkich m symboli   1 (i),...,  m (i) ciągu jednocześnie:   (i+1) = P( 1 (i) )P( 2 (i) )... P( m (i) )

Determinizm L-systemów  OL-system jest deterministyczny, gdy dla każdego a V istnieje dokładnie jedno  V * takie, że a   (to znaczy, że dla każdego symbolu a V istnieje tylko jedna reguła podstawiania P a ).

 Niech  = a ­ 1,…,a m będzie dowolnym słowem ze zbioru V. Słowo =  1,…,  m V * bezpośrednio wyprowadzone (wygenerowane) przez  oznaczymy symbolem  . Oczywiście,   wtedy i tylko wtedy, gdy a i  ­­­ i dla i=1,2,…,m. Słowo jest generowane przez gramatykę G wyprowadzeniem o długości m jeśli istnieje ewolucyjna sekwencja słów  0,  1, …,  m taka, że  0 = ω,  m = oraz  0  1 … m.

Definicja rekurencyjna  Rozważmy DOL-system G = i aV i nn oznaczmy µ (n) jako słowo wyprowadzone z µ w wyprowadzeniu o długości n:  Jeśli µb 1 b 2 …b m jest produkcją w G, to dla każdego n1 słowo µ (n) spełnia formułę rekurencyjną: µ (n) =b 1 (n-1) b 2 (n-1) …b m (n-1)  Rozłóżmy derywację na pierwszy krok i pozostałe n-1 kroków:  Wtedy µ (n) =b 1 (n-1) b 2 (n-1) …b m (n-1).

 Dany DOL-system G =, będący zbiorem rekurencyjnych formuł w postaci wraz z początkowymi warunkami µ (0) =µ, dla µV nazywamy rekurencyjnym systemem G.

D0L-system – przykład Anabena Catenula - glon sinica  Reguły przepisania:  Sekwencja produkcji:

Gramatyki Lindenmayera Grafika żółwia 2D i 3D

Grafika żółwia – podstawowe symbole 2D SymbolZnaczenie Fidź do przodu jeden krok o długości l i narysuj linie od poprzedniej pozycji do nowej fidź do przodu jeden krok o długości l ale nie rysuj linii +obróć się w lewo (przeciwnie do ruchu wskazówek zegara) o stały kąt  -obróć się w prawo (zgodnie z ruchem wskazówek zegara) o stały kąt 

Grafika żółwia 2D  Matematycznie można powiedzieć, ze żółwiowi przypisuje się stan który składa się z bieżącego położenia, oznaczonego para współrzędnych x i y oraz bieżącego kierunku, wyrażonego przez kat . Zapisuje się to jako trojkę liczb (x, y, ). Zmiana stanu żółwia następuje po każdym wykonaniu polecenia.

Grafika żółwia  Wykorzystując elementarne własności trygonometryczne zbiór poleceń dla żółwia można zapisać teraz następująco: Symbol stan (x, y,  ) przechodzi w F (x + l cos , y + l sin ,  ) f + (x, y,  −  ) - (x, y,  +  )

Grafika żółwia 2D  l – oznacza długość korku a  to kąt o jaki żółw obraca się w prawo  Stan początkowy to (0, 0, 0) co oznacza, ze żółw skierowany jest w prawo i znajduje się w początku bieżącego układu współrzędnych. Potrzebny będzie również czynnik redukcji do zmniejszania długości kroku w kolejnych przypisaniach.

Grafika żółwia 2D – przykład  Zbiór Cantora: czynnik redukcji: 1/3,  = 0, l= 400,  Aksjomat: F,  reguły przepisania: F->FfF f->fff  Produkcje: FfFfffFfFfffffffffFfFfffFfF

Literatura  H.-O. Peitgen, H. J¨urgens, D. Saupe Granice Chaosu Fraktale cz.2, Wydawnictwa Naukowe PWN, Warszawa 1996;  A. Lindenmayer, P. Prusinkiewicz, The Algorithmic Beauty of Plants”, Springer-Verlag, Elektroniczna wersja opublikowana w 2004

Literatura  Jacob Ch. (1995) Modeling Growth with L-systems & Mathematica, Mathematica in Education and Research, Volume 4, No. 3 (1995), TELOS-Springer, pp ,  /Publications/ModelingGrowth.ma.pdf

Literatura  Rozenberg G., Saloma A (1980). The mathematical theory of L-systems. Academic Press, New York,