Podstawy automatyki I Wykład 10 - 11 - 2015/2016 - studia stacjonarne Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. Inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Wykład 10 - 11 - 2015/2016 Zera, bieguny – stabilność (systemy liniowe stacjonarne) - część II

Cecha charakterystyczna kryterium Nyquist’a Harry Nyquist (ur. 7 lutego 1889r., Nilsby, Szwecja, zm. 4 kwietnia 1976r. Harlingen, Teksas), elektrotechnik amerykański pochodzenia szwedzkiego. Wieloletni pracownik Bell Telephone Laboratories. Twórca kryterium do badania stabilności układów sterowania. Prowadził prace z automatyki. /Wikipedia/ Cecha charakterystyczna kryterium Nyquist’a Analiza stabilności systemu zamkniętego z ujemnym sprzężeniem zwrotnym wyjścia prowadzona jest w oparciu charakterystyki częstotliwościowe (wykres Nyquista, wykresy Bode’a) transmitancji systemu otwartego

Równanie charakterystyczne układu otwartego Równanie charakterystyczne Układ otwarty – układ zamknięty Transmitancja układu zamkniętego Transmitancja układu otwartego Równanie charakterystyczne układu otwartego Równanie charakterystyczne układu zamkniętego stabilność układu zamkniętego stabilność układu otwartego

Układ otwarty – układ zamknięty W oparciu o wyniki przedstawione na poprzednim wykładzie możemy twierdzić: 1. Zera układu zamkniętego Gz(s) są takie same jak zera układu otwartego Go(s)

Układ otwarty – układ zamknięty 2. Bieguny 1 + Go(s) są też biegunami transmitancji układu otwartego Go(s),

Układ otwarty – układ zamknięty 3. Zera 1 + Go(s) są biegunami transmitancji układu zamkniętego Gz(s), a zatem pierwiastkami równania charakterystycznego układu zamkniętego

Transmitancje są odwzorowaniami zespolonymi Podstawy i konwencje kryterium Nyquist’a Kryterium Nyquist’a opiera się na zasadzie argumentu Cauchy’ego związanej z odwzorowaniami zespolonymi Transmitancje są odwzorowaniami zespolonymi Odwzorowanie punktów pomiędzy dwoma płaszczyznami zespolonymi

Skupimy uwagę na odwzorowaniach postaci Podstawy i konwencje kryterium Nyquist’a Skupimy uwagę na odwzorowaniach postaci i prześledźmy zagadnienie: Odwzorowanie konturów (krzywej zamkniętej) pomiędzy dwoma płaszczyznami zespolonymi

Przyjmiemy konwencję W PRAWO Podstawy i konwencje kryterium Nyquist’a Odwzorowanie konturu wskazanego na s-płaszczyźnie może odbywać się przy przemieszczaniu się po nim punktu s na nim: 1. w prawo - zgodnie z kierunkiem ruchu wskazówek zegara – ujemna zmiana kąta wektora wodzącego, albo 2. w lewo - przeciwnie do kierunku ruchu wskazówek zegara – dodatnia zmiana kąta wektora wodzącego Przyjmiemy konwencję W PRAWO

Punkt obejmowany i okrążany przez kontur Podstawy i konwencje kryterium Nyquist’a Ponieważ kryterium Nyquist’a jest metodą graficzną należy ustalić rozumienie pewnych używanych w nim i związanych z nim pojęć graficznych Punkt obejmowany i okrążany przez kontur  Obejmowany – Będziemy mówili, że punkt jest obejmowany przez kontur (krzywą zamkniętą), jeżeli znajduje się on wewnątrz tego konturu Punkt A jest obejmowany przez kontur Γ, ponieważ A znajduje się wewnątrz konturu Γ Punkt B nie jest obejmowany przez konturΓ, ponieważ B znajduje się na zewnątrz konturu Γ

Punkt A jest okrążany przez konturem Podstawy i konwencje kryterium Nyquist’a  Okrążany – Będziemy mówili, że punkt lub obszar jest okrążany przez kontur, jeżeli leży on po prawej stronie konturu przy jego przechodzeniu w przypisanym kierunku Punkt A jest okrążany przez konturem

Okrążeniu zgodnemu z ruchem wskazówek zegara przypisuje się wartość -1 Podstawy i konwencje kryterium Nyquist’a Kiedy punkt jest okrążany przez kontur , przypisujemy liczbę N liczbie tych okrążeń Okrążeniu zgodnemu z ruchem wskazówek zegara przypisuje się wartość -1 Okrążeniu przeciwnemu do ruchu wskazówek zegara przypisuje się wartość 1

Podstawy i konwencje kryterium Nyquist’a Praktyczny sposób określania liczby okrążeń – na przykładzie początku układu współrzędnych G-płaszczyzny

Podstawy i konwencje kryterium Nyquist’a Pytania - przy obieganiu przez s konturu Γs na s-płaszczyźnie w prawo w jakim kierunku będzie obiegał G(s) kontur ΓG na G-płaszczyźnie? - jak będzie umiejscowiony kontur ΓG na G-płaszczyźnie w zależności od tego, czy kontur Γs na s-płaszczyźnie obejmuje na niej, czy też nie obejmuje jakieś zera lub bieguny odwzorowania G(s)?

Podstawy i konwencje kryterium Nyquist’a Zachodzi: 1. Kontur ΓG okrąża początek układu współrzędnych G-płaszczyzny wtedy, i tylko wtedy, gdy kontur Γs na s-płaszczyźnie obejmuje na tej płaszczyźnie jakiekolwiek zero lub jakikolwiek biegun odwzorowania G 2a. Jeżeli kontur Γs okrąża raz zgodnie z ruchem wskazówek zegara biegun (P=1) odwzorowania G na s-płaszczyźnie, to kontur ΓG okrąża raz początek układu współrzędnych G-płaszczyzny w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara (N=1), a zatem zmiana fazy odwzorowania G(s) wynosi 2π 2b. Jeżeli kontur Γs okrąża raz zgodnie z ruchem wskazówek zegara zero (Z=1) odwzorowania G na s-płaszczyźnie, to kontur ΓG okrąża raz początek układu współrzędnych G-płaszczyzny w kierunku zgodnym do ruchu wskazówek zegara (N=-1), a zatem zmiana fazy odwzorowania G(s) wynosi -2π

Ilustracja do zasad z poprzedniego slajdy Podstawy i konwencje kryterium Nyquist’a Ilustracja do zasad z poprzedniego slajdy

Ilustracja do zasad z poprzedniego slajdy Podstawy i konwencje kryterium Nyquist’a Ilustracja do zasad z poprzedniego slajdy

Zasada argumentu Cauchy’ego Podstawy i konwencje kryterium Nyquist’a Uogólnienie: Jeżeli kontur Γs okrąża raz zgodnie z ruchem wskazówek zegara Z zer i P biegunów odwzorowania G na s-płaszczyźnie, to kontur ΓG okrąża początek układu współrzędnych G-płaszczyzny N=P-Z razy, przy czym jeżeli N>0 to w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, a jeżeli N<0 to w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara Zasada argumentu Cauchy’ego

Podstawy i konwencje kryterium Nyquist’a Kryterium Nyquista bazuje na zasadzie argumentu Cauchy’ego (analiza zespolona) Niech G(s) będzie funkcją zmiennej zespolonej s, analityczną (różniczkowalną względem zmiennej zespolonej) w pewnym obszarze s-płaszczyzny, co najwyżej z wyjątkiem skończonej liczby punktów. Załóżmy, że pewien kontur Γs został wybrany na s-płaszczyźnie w taki sposób, że wszystkie jego punkty są analityczne. Kontur ΓG uzyskany na G-płaszczyźnie z odwzorowania konturu Γs funkcją G(s), będzie okrążał początek układu współrzędnych G-płaszczyzny tyle razy, ile wynosi różnica liczby biegunów i liczby zer funkcji G(s), które są obejmowane przez kontur Γs N = P - Z gdzie Z jest liczbą zer G(s) obejmowanych przez Γs , P jest liczba biegunów G(s) obejmowanych przez Γs , a N jest liczbą okrążeń przez ΓG początku układu współrzędnych G-płaszczyzny

Jak określić kontur Γs jeżeli interesuje nas badanie stabilności? Konstrukcja kryterium Nyquist’a Jak określić kontur Γs jeżeli interesuje nas badanie stabilności? Kontur Γs powinien obejmować całą prawą półpłaszczyznę płaszczyzny zmiennej zespolonej s wraz z osią urojoną z wyłączeniem co najwyżej skończonej liczby jej punktów – kontur ten będziemy nazywali konturem Nyquist’a lub D-konturem

Sposób postępowania (jeden z możliwych) Konstrukcja kryterium Nyquist’a Przypadek kiedy bieguny lub zera układu leżą w początku układu współrzędnych płaszczyzny s lub na osi urojonej Sposób postępowania (jeden z możliwych) Modyfikujemy kontur Nyquist’a tak, aby obejść biegun lub zero jako położony w lewej półpłaszczyźnie płaszczyzny zmiennej zespolonej s – obchodzimy go półokręgiem o nieskończenie małym promieniu  położonym w prawej półpłaszczyźnie

Punktem krytycznym staje się punkt (-1, j0) zamiast punktu (0,j0) Konstrukcja kryterium Nyquist’a Kryterium Nyquista bazuje na odwzorowaniu konturu Nyquista w wykres Nyquista układu otwartego Kontur Nyquista Wykres Nyquista (wykreślanie wykresu transmitancji układu otwartego dla określenia stabilności układu zamkniętego) Wykres Cauchy’ego Punktem krytycznym staje się punkt (-1, j0) zamiast punktu (0,j0)

Wiemy: (patrz początek materiału) Problem stabilności – kryterium Nyquist’a 1. Czy układ zamknięty posiada bieguny w prawej półpłaszczyźnie płaszczyzny zmiennej zespolonej s? Wiemy: (patrz początek materiału) Bieguny transmitancji układu zamkniętego Gz(s) są zerami M(s)=1+Go(s) 2. Czy M(s)=1+Go(s) posiada zera w prawej półpłaszczyźnie płaszczyzny zmiennej zespolonej s?  Korzystając z zasady argumentu możemy twierdzić, że liczba tych zer wynosi: Z = P - N 3. Aby układ zamknięty był stabilny: Z=0 lub P=N

Przypomnijmy co reprezentują w tym ujęciu Z, P oraz N? Problem stabilności – kryterium Nyquist’a Przypomnijmy co reprezentują w tym ujęciu Z, P oraz N? Z – liczba zer M(s)=1+Go(s) w prawej półpłaszczyźnie płaszczyzny zmiennej zespolonej s, równa liczbie biegunów układu zamkniętego w prawej półpłaszczyźnie tejże płaszczyzny. Dla stabilnego układu zamkniętego Z musi być równe zero P – liczba biegunów M(s)=1+Go(s) w prawej półpłaszczyźnie płaszczyzny zmiennej zespolonej s, równa liczbie biegunów układu otwartego w prawej półpłaszczyźnie tejże płaszczyzny. P może być określone wprost lub z kryterium Routh’a N – liczba okrążeń charakterystyki Nyquista układu otwartego punktu (-1,j0). Okrążenia przeciwnie do kierunku ruchu wskazówek zegara są dodatnie, zgodne w kierunkiem ruchu wskazówek zegara są ujemne

Kryterium Nyquista można sformułować następująco Problem stabilności – kryterium Nyquist’a Kryterium Nyquista można sformułować następująco Aby układ zamknięty był stabilny, wykres Nyquist’a układu otwartego Go(s)=G(s)H(s) powinien okrążać punkt (-1, j0) tyle razy ile biegunów układu otwartego leży w prawej półpłaszczyźnie zespolonej s; okrążenia wykresu Nyquist’a punktu (-1,j0), jeżeli istnieją powinny być w kierunku przeciwnym do kierunku konturu Nyquist’a Kryterium Nyquista dla bardzo częstego przypadku kiedy P=0 - liczba biegunów układu otwartego w prawej półpłaszczyźnie płaszczyzny zmiennej zespolonej wynosi zero, tzn. kiedy układ otwarty jest stabilny Jeżeli układ otwarty jest stabilny, P=0, to aby układ zamknięty był stabilny, wykres Nyquist’a układu otwartego Go(s)=G(s)H(s) nie powinien obejmować punktu (-1, j0)

Podsumowanie - kryterium Nyquista Problem stabilności – kryterium Nyquist’a Podsumowanie - kryterium Nyquista  Problem: Czy funkcja wymierna 1 + Go(s) ma, czy też nie ma zer w prawej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej s?  Rozwiązanie: Wykorzystanie zasady argumentu Cachy’ego Podstawienie  Ułatwienie: Wykorzystanie charakterystyki układu otwartego i punktu (-1,j0) jako punktu krytycznego

Czy układ zamknięty jest stabilny? Przykłady Przykład 1 Rozważmy Czy układ zamknięty jest stabilny? A jeżeli? P=0, N=0; Z=P-N=0

Przykłady K=1 -2.7100 -0.1450 + 1.4809i -0.1450 - 1.4809i K=10 -.6840 0.8420 + 3.1905i 0.8420 - 3.1905i P=0, N=0; Z=P-N=0 P=0, N=-2; Z=P-N=2

Przykłady

Czy układ zamknięty jest stabilny? Przykłady Przykład 2 Rozważmy Czy układ zamknięty jest stabilny? A jeżeli? P=0, N=0; Z=P-N=0

Przykłady K=1 -1.0000 + 2.2361i -1.0000 - 2.2361i K=5 -1.0000 + 5.0000i -1.0000 - 5.0000i K=10 -1.0000 + 7.0711i -1.0000 - 7.0711i P=0, N=0; Z=P-N=0 P=0, N=0; Z=P-N=0 P=0, N=0; Z=P-N=0

Przykłady

Czy układ zamknięty jest stabilny? Przykłady Przykład 3 Rozważmy Czy układ zamknięty jest stabilny? A jeżeli? P=0, N=0; Z=P-N=0

Przykłady K=1 -5.2737 -0.8631 + 1.0729i -0.8631 - 1.0729i K=10 -6.5964 -0.2018 + 2.8805i -0.2018 - 2.8805i K=20 -7.4235 0.2118 + 3.7549i 0.2118 - 3.7549i P=0, N=0; Z=P-N=0 P=0, N=0; Z=P-N=0 P=0, N=-2; Z=P-N=2

Przykłady

Przykłady Przykład 4 K=1 -0.5000 + 2.1794i -0.5000 - 2.1794i K=2 -0.5000 + 3.1225i -0.5000 - 3.1225i K=5 -0.5000+ 4.9749i -0.5000 - 4.9749i P=0, N=0; Z=P-N=0 P=0, N=0; Z=P-N=0 P=0, N=0; Z=P-N=0

Przykłady

Przykłady Przykład 5

Dla wszystkich przypadków: Przykłady K=0.5 -2.0929 0.0465 + 1.0919i 0.0465 - 1.0919i K=2 -2.8675 0.4337 + 1.8164i 0.4337 - 1.8164i K=3 -3.1739 0.5870 + 2.0932i 0.5870 - 2.0932i K=5 -3.6258 0.8129 + 2.4968i 0.8129 - 2.4968i Dla wszystkich przypadków: P=0, N=-2; Z=P-N=2

Przykłady

Przykłady Przykład 6 P =0, N = 0; Z=P-N=0

Przykłady Przykład 7 P =1, N = -1; Z=P-N=2

Przykłady K=1 -5.0329 0.7773 0.2556 K=5 -5.1574 0.5787 + 0.7966i 0.5787 - 0.7966i K=10 -5.2995 0.6498 + 1.2103i 0.6498 - 1.2103i

Przykłady

Przykłady Przykład 8 P =1, N = 1; Z=P-N=0

Przykłady -0.5000 + 0.8660i -0.5000 - 0.8660i

Przykłady

 zapas modułu (wzmocnienia) – gm (2-6) Zapas stabilności Istnieje potrzeba określania w jakim stopniu układ jest stabilny – jak daleko znajduje się od punktu w którym stanie się niestabilny Użyteczne idee  zapas modułu (wzmocnienia) – gm (2-6)  zapas fazy – m (45o – 60o) Obydwie miary określają bliskość wykresu Nyquist’a od punktu krytycznego (-1, j0) na płaszczyźnie zmiennej zespolonej

Zapas modułu (wzmocnienia) – gm Zapas stabilności Zapas modułu (wzmocnienia) – gm  Jeżeli moduł transmitancji układu otwartego, stabilnego układu zamkniętego w punkcie odpowiadającym przesunięciu fazowemu –180o wynosi  to zapas modułu (wzmocnienia) wynosi gm= 1/

Zapas stabilności Zapas fazy – m  Jeżeli przesuniecie fazowe transmitancji układu otwartego stabilnego układu zamkniętego w punkcie odpowiadającym modułowi o wartości 1 wynosi  to zapas fazy wynosi m = 

– koniec materiału prezentowanego podczas wykładu Dziękuję za uwagę – koniec materiału prezentowanego podczas wykładu