Względna efektywność układów mieszanych Cz. II. Względna efektywność układów mieszanych

Względna efektywność układów mieszanych Cz. II. Względna efektywność układów mieszanych Układ split-block-plot (SBP) Układ split-plot  split-block (SPSB) Układ split-split-plot (SSP)

m = 6 dla układu SPSB m = 5 dla układu SBP m = 4 dla układu SSP

wektory efektów losowych Vf macierze kowariancji wektorów [Ambroży, Mejza, 2006]

układ SBP kolumn, poletek dużych i poletek małych. - wariancje efektów bloków, wierszy, kolumn, poletek dużych i poletek małych.

układ SPSB wariancje efektów bloków, wierszy, kolumn I rzędu, kolumn II rzędu, poletek dużych i poletek małych .

układ SSP wariancje efektów bloków, poletek I rzędu, poletek II rzędu, poletek III rzędu.

funkcje komponentów wariancyjnych (wariancji efektów losowych i błędu) (zob. Cz. I wykładu)

Układ SBP

Układ SPSB

Układ SSP

Układ SBP oraz

Układ SBP oraz

Układ SPSB oraz

Układ SPSB oraz

Układ SSP

Układ SSP

Względna efektywność (WE) [relative efficiency (RE) (Yates 1935)] Definicja. Niech 1 i 2 oznaczają dowolne układy doświadczalne, wówczas względna efektywność tych układów (1 względem 2) jest określona wzorem: gdzie Var 1 i Var 2 oznaczają wariancje tego samego kontrastu w obu układach.

Najlepszy liniowy estymator estymowalnego kontrastu w f - tej warstwie jest postaci: . f = 1,..., m (= 4 lub 5 lub 6); h = 1, 2,...,

Empiryczna względna efektywność oceny funkcji komponentów wariancyjnych [np. Shieh i Jan, 2004, Wang i Hering, 2005, Hinkelmann i Kepthorne, 2008]

Empiryczna względna efektywność = 1 [np. Shieh i Jan, 2004, Wang i Hering, 2005, Hinkelmann i Kepthorne, 2008]

Empiryczna względna efektywność > 1 [np. Shieh i Jan, 2004, Wang i Hering, 2005, Hinkelmann i Kepthorne, 2008]

Empiryczna względna efektywność < 1 [np. Shieh i Jan, 2004, Wang i Hering, 2005, Hinkelmann i Kepthorne, 2008]

ANOVA dla doświadczenia „ślepego” Układ SBP Źródła zmienności Stopnie swobody MSEf (1) Bloki b –1 (2) Wiersze b(s – 1) (3) Kolumny b(t – 1) (4) Poletka duże b(s – 1)(t – 1) (5) Poletka małe bst(w – 1) Całość bstw –1

ANOVA dla doświadczenia „ślepego” Układ SPSB Źródła zmienności Stopnie swobody MSEf (1) Bloki b –1 (2) Wiersze b(s – 1) (3) Kolumny I rzędu b(t –1) (4) Kolumny II rzędu bt(w – 1) (5) Poletka duże b(s – 1)(t – 1) (6) Poletka małe bt(s – 1)(w – 1) Całość bstw –1

ANOVA dla doświadczenia „ślepego” Układ SSP Źródła zmienności Stopnie swobody MSEf (1) Bloki b –1 (2) Poletka I rzędu b(s – 1) (3) Poletka II rzędu bs(t –1) (4) Poletka III rzędu bst(w – 1) Całość bstw –1

i i Układ SPSB Układ SBP Układ SSP Oceny funkcji komponentów wariancyjnych i Układ SPSB Układ SBP i Układ SSP

Empiryczna względna efektywność układów SBP i SSP

Empiryczna względna efektywność układów SBP i SSP

Empiryczna względna efektywność układów SPSB i SSP (4) (5)

Empiryczna względna efektywność układów SPSB i SSP (6) (7)

Empiryczna względna efektywność układów SPSB i SSP (6)

Empiryczna względna efektywność układów SPSB i SSP (7)

Ponadto, biorąc pod uwagę relacje między ocenami wariancji w warstwach dla układów SPSB i SBP (Ambroży i Mejza, 2006, 2008) mamy , ,

Ostatni błąd (związany z małymi poletkami) w układzie SBP jest średnią ważoną między dwoma błędami w układzie SPSB tzn.

KA  KB  KC  KA  B  KA  C  KB  C  KA  B  C = K Wnioski KA KB KC KA  B KA  C KB  C KA  B  C KA  KB  KC  KA  B  KA  C  KB  C  KA  B  C = K

Efektywność układu 1 względem układu 2 (z tą samą liczbą jednostek eksperymentalnych) dla każdego h - tego kontrastu, gdzie h  KA jest następująca: gdzie 1, 2 są układami typu SSP, SBP i SPSB, h  KA .

Efektywność układu SSP względem układu SBP (z tą samą liczbą jednostek eksperymentalnych) dla każdego h - tego kontrastu związanego z czynnikiem C i interakcjami z tym czynnikiem jest następująca: gdzie h  KC  KA  C  KB  C  KA  B  C .

Efektywność układu SBP względem układu SPSB (z tą samą liczbą jednostek eksperymentalnych) dla każdego h - tego kontrastu związanego z czynnikiem B lub interakcją typu A  B jest następująca: gdzie h  KB  KA  B oraz f = 3, 5; f’ = 3, 4.

Efektywność układu SBP względem układu SPSB (z tą samą liczbą jednostek eksperymentalnych) dla każdego h - tego kontrastu związanego z czynnikiem C lub interakcją typu B  C jest następująca: gdzie h  KC  KB  C .

Efektywność układu SSP lub SBP względem układu SPSB (z tą samą liczbą jednostek eksperymentalnych) dla każdego h - tego kontrastu związanego z interakcjami typu A  C oraz A  B  C jest następująca: gdzie 1 jest SSP (f = 4) lub SBP (f = 5).

Efektywność układu SSP względem pozostałych układów (z tą samą liczbą jednostek eksperymentalnych) dla każdego h - tego kontrastu związanego z czynnikiem B jest następująca: gdzie 2 jest układem typu SBP lub SPSB, h  KB .

Przykład (2  5  2) – czynnikowe doświadczenie z pszenicą ozimą A – nawożenie azotowe A1 – 90kg/ha A2 – 150kg/ha k1 = s = 2 B – odmiany pszenicy ozimej B1 – Grana B2 – Dana B3 – Eka Nowa B4 – Kaukaz B5 – Mironowskaja 808 k2 = t = 5 C – antywylegacz C1 – 0 kg/ha C2 – 2 kg/ha k3 = w = 2 [Mucha, 1975]

ANOVA dla układu SPSB ANOVA dla układu SBP ANOVA dla układu SSP

ANOVA dla układu SPSB ANOVA dla układu SSP h  KA 

ANOVA dla układu SPSB ANOVA dla układu SSP h  KB  

ANOVA dla układu SPSB ANOVA dla układu SSP h  KC  KB  C 

ANOVA dla układu SPSB ANOVA dla układu SSP h  KA  B 

ANOVA dla układu SPSB ANOVA dla układu SSP h  KA  C  KA  B  C

Podsumowanie W estymacji kontrastów między efektami głównymi czynnika A rozważane układy są jednakowo skuteczne. Układ SSP jest bardziej efektywny niż pozostałe układy w estymacji kontrastów między efektami głównymi czynnika B. W estymacji kontrastów typu AB większą skuteczność (jednakową) wykazują układy SBP i SPSB. W estymacji kontrastów między efektami głównymi czynnika C i efektami interakcyjnymi związanymi z tym czynnikiem układy SSP i SBP są jednakowo efektywne. W estymacji kontrastów między efektami interakcyjnymi typu A  C i A  B  C bardziej skuteczny jest układ SPSB niż SSP. Układ SSP jest bardziej skuteczny niż układ SPSB w estymacji kontrastów między efektami głównymi czynnika C i efektami interakcyjnymi typu B  C.

Preferowane układy mieszane w estymacji pewnych kontrastów Źródła SSP SBP SPSB A a B b A  B C A  C B  C A  B  C a, b – stopnie efektywności układów w porządku malejącym

Uwagi Powyższych wniosków nie można w sposób ogólny rozszerzyć na rozważane układy niekompletne, czyli gdy

Uwagi Wariancja estymatora kontrastu w modelu ogólnym jest pewną funkcją wariancji najlepszych estymatorów liniowych estymowanego kontrastu w warstwach (Searle 1971). Postać tej funkcji jest uzależniona od nieznanych warstwowych funkcji komponentów wariancyjnych i warstwowych współczynników efektywności. Mimo, że znane są relacje między nimi, to nie wynika z nich żaden związek między wariancjami warstwowych estymatorów.

Uwagi Można zatem porównać skuteczność układów niekompletnych, wygenerowanych tą samą metodą, jedynie w odpowiadających sobie warstwach, w których dany kontrast jest estymowany. Jeżeli układem generującym dla jednego lub więcej czynników jest układ zrównoważony pod względem efektywności (w szczególności układ BIB), to można oczekiwać, że głównym (chociaż nie jedynym) źródłem informacji o kontrastach są te same warstwy co w układach mieszanych kompletnych.

Uwagi Przy założeniu, że układ generujący jest ten sam, odpowiadające sobie warstwowe współczynniki efektywności fh w obu układach mieszanych są jednakowe. Stąd po uwzględnieniu powyższych ograniczeń, wnioski dotyczące względnej efektywności układów mieszanych niekompletnych w warstwach o najwyższym numerze (odpowiednim dla estymowanego kontrastu i układu) pokrywają się z wnioskami dla układów kompletnych.

Literatura AMBROŻY K., MEJZA I. (2006): Doświadczenia trójczynnikowe z krzyżową i zagnieżdżoną strukturą poziomów czynników. Wyd. PTB i PRODRUK, Poznań. AMBROŻY K., MEJZA I. (2008): The relative efficiency of split–plot × split–block designs and split–block–plot designs. Biometrical Letters 45 (1), 29-43. FEDERER W. T., KING F. (2007): Variations on Split Plot and Split Block Experiment Designs. John Wiley & Sons, Inc., Hoboken, New Jersey. GOMEZ K.A., GOMEZ A.A. (1984): Statistical procedures for agricultural research. Wiley, New York. HINKELMANN K., KEMPTHORNE O. (2008): Design and Analysis of Experiments. Wiley, New Jersey. MUCHA S. (1975): Reakcja odmian pszenicy jarej i ozimej na Antywylegacz. Wiadomości Odmianoznawcze, Rok II, Zeszyt 2/3, COBORU, Słupia Wielka. SHIEH G., JAN S.-L. (2004): The effectiveness of randomized complete block design. Statistica Neerlandica Vol. 58 (1), 111–124. WANG M., HERING F. (2005): Efficiency of split-block designs versus split-plot designs for hypothesis testing. Journal of Statistical Planning and Inference, 132, 163–182. YATES F. (1935): Complex experiments (with discussion). J. Roy. Statist. Soc. Suppl. 2, 181–247. StatSoft, Inc. (2011). STATISTICA (data analysis software system), version 10. www.statsoft.com.