Projektowanie Inżynierskie P a ń s t w o w a W y ż s z a S z k o ł a Z a w o d o w a w N y s i e Instytut Zarządzania Projektowanie Inżynierskie Zbieżne układy sił. Równowaga układu sił. Redukcja układów sił Prowadzący: dr inż. Piotr Chwastyk e-mail: piotr_chwastyk@pwsz.nysa.pl www.chwastyk.pwsz.nysa.pl

Zbieżne układy sił Układy sił, których linie działania przecinają się w jednym punkcie nazywamy zbieżnymi układami sił. Takie układy sił mogą być płaskie lub przestrzenne. Zakłada, się, że na ciało sztywne działa płaski układ sił zbieżnych P1, P2,, P3,, ..., Pn, których linie działania przecinają się w jednym punkcie O. Uwzględniając, że siły można przesuwać wzdłuż ich linii działania, siły zbieżne można traktować jako przyłożone do jednego punktu O. Wypadkowa tych sił jest równa ich sumie geometrycznej, a jej linia działania przechodzi przez punkt O

Zbieżne układy sił Sposób geometryczny wyznaczania wypadkowej polega na zbudowaniu wieloboku sił, w którym wektory sił odkłada się równolegle do ich linii działania (jako wektory swobodne). Można więc stwierdzić, że: Płaski układ sił zbieżnych P1, P2, P3,..., Pn przyłożonych do punktu O można zastąpić siłą wypadkową P równą sumie geometrycznej tych sił i przyłożoną również w punkcie O.

Zbieżne układy sił W sposobie analitycznym wyznaczania wypadkowej korzysta się z twierdzenia o rzucie sumy wektorów, według którego rzut sumy geometrycznej wektorów na dowolną oś równy jest sumie rzutów tych wektorów na tę samą oś. Wartości wypadkowej P i kąta a nie jest znana, dlatego należy je wyznaczyć. Najpierw należy zacząć od wyznaczenia składowych Px i Py tej wypadkowej Po obliczeniu ze składowych wypadkowej możemy wyznaczyć jej wartość liczbową oraz kąt α, który tworzy ona z osią Ox

Zbieżne układy sił Na rysunku przedstawiono siły P1, P2, ..., Pn przyłożone do punktu O, których linie działania leżą dowolnie w przestrzeni. Stosując zasadę równoległoboku, można kolejno znaleźć wypadkową dwóch sił P1 i P2 (P12), trzech sił P1, P2 i P3 {P13) oraz n sił P1, P2,..., Pn (Pin). A więc wypadkowa dowolnej liczby n sił przyłożonych do jednego punktu wynosi Przestrzenny układ sił zbieżnych P1, P2, … , Pn przyłożonych do jednego punktu O można zastąpić jedną siłą wypadkową P przyłożoną w tymże punkcie i równą sumie geometrycznej tych sił.

Zbieżne układy sił Sposób analityczny wyznaczenia wypadkowej przestrzennego układu sił zbieżnych jest bardziej wygodny od sposobu wykreślnego. Aby wyznaczyć wypadkową układu sił P1, P2, … , Pn , których linie działania przechodzą przez punkt O, przyjmuje się prostokątny układ osi Oxyz. Oznaczając kąty nachylenia tych sił do osi x, y, z przez αi, βi, γi (i = 1, 2, ..., n), oblicza się wartości algebraiczne rzutów wypadkowej P sił Pi na odpowiednie osie układu.

Zbieżne układy sił Po obliczeniu z powyższych wzorów składowych Px, Py i Pz znajduje się wartość liczbową (moduł) wypadkowej P oraz jej cosinusy kierunkowe Linia działania wypadkowej przechodzi przez punkt O, przez który przechodzą linie działania sił Pi. We wzorach α, β, γ oznaczają kąty, które wypadkowa P tworzy z osiami współrzędnych. Natomiast cosinusy kierunkowe spełniają zależność

Równowaga płaskiego i przestrzennego układu sił zbieżnych W szczególnym przypadku suma geometryczna płaskiego układu sił zbieżnych może być równa zeru. Wielobok zbudowany z tych sił jest wielobokiem zamkniętym, a układ jego jest w równowadze. Zgodnie z powyższym można sformułować dwa warunki równowagi płaskiego układu sił zbieżnych: 1. Aby układ sił zbieżnych P1, P2, ..., Pn działających w jednej płaszczyźnie znajdował się w równowadze, wielobok utworzony ze wszystkich sił tego układu musi być zamknięty (warunek geometryczny). 2. Aby siły zbieżne leżące w jednej płaszczyźnie były w równowadze, sumy rzutów tych sił na osie układu współrzędnych muszą być równe zeru (warunek analityczny).

Równowaga płaskiego i przestrzennego układu sił zbieżnych Jeżeli na bryłę działają trzy nierównoległe siły P1,P2 i P3, będące w równowadze, to siła wypadkowa dwóch sił P1 i P2 musi się równoważyć z siłą trzecią P3. A więc siły P1,2 i P3 muszą być równe co do wartości liczbowych, przeciwne co do kierunku i muszą działać wzdłuż jednej prostej. Stąd wynika, że linia działania siły P3 musi przechodzić także przez punkt O, w którym przecinają się linie działania sił P1 i P2. Oprócz tego, wielobok (trójkąt) sił P1, P2 i P3 musi być zamknięty. Otrzymujemy w ten sposób ważne twierdzenie dotyczące równowagi trzech sił za pomocą którego możemy rozwiązać wiele zadań praktycznych.

Równowaga płaskiego i przestrzennego układu sił zbieżnych Przestrzenny układ sił zbieżnych P1, P2, ... ,Pn można zastąpić jedną siłą wypadkową, równą sumie geometrycznej tych sił. Równowaga tego układu sił zachodzi wówczas, gdy wypadkowa ich będzie równa zeru. Wielobok sił (w ogólnym przypadku przestrzenny) jest wtedy zamknięty i ma zgodny obieg wektorów sił (warunek geometryczny). Warunek równowagi przestrzennego układu sił zbieżnych w postaci wektorowej wyraża się równaniem Przyjmując układ osi Oxyz (początek układu może, lecz nie musi pokrywać się z punktem przecięcia linii działania sił), można zastąpić równanie wektorowe przez trzy równania rzutów sił na osie tego układu współrzędnych (warunek analityczny). Równania równowagi będą więc następujące

Momenty sił względem punktu i względem osi Redukcja układów sił Momenty sił względem punktu i względem osi Momentem siły P względem punktu O nazywamy odłożony z punktu O wektor Mo, równy iloczynowi wektorowemu promienia wektora r i wektora siły P.

Redukcja układów sił Z przyjętego określenia momentu siły względem punktu O wynikają następujące jego własności: wektor Mo jest prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej wektorami r i P o zwrocie określonym regułą śruby prawoskrętnej, symbol momentu Mo musi być opatrzony indeksem, wskazującym punkt, względem którego moment jest obliczany, ponieważ moment ten zależy od wyboru tego punktu (w celu wyróżnienia wektor momentu oznaczono podwójnym grotem), wartość momentu, czyli moduł wektora, jest określona wzorem gdzie: α – kąt między wektorami r i P, sprowadzonymi do wspólnego punktu h=rsinα – najkrótsza odległość od linii działania siły do punktu (ramię) F – pole trójkąta OAB

Redukcja układów sił Zgodnie z rachunkiem wektorowym moment siły P względem punktu 0, jeżeli wektory r i P są dane we współrzędnych kartezjanskich, można przedstawić w postaci iloczynu wektorowego dwóch wektorów Po oznaczeniu składowych momentu przy wersorach x, y, z, przez Mx, My, Mz, można napisać Na podstawie wzoru na moment siły można wysnuć następujące wnioski: wartość momentu siły względem punktu O, nie leżącego na jej linii działania, równa się iloczynowi wartości siły P i ramienia siły h, moment siły względem punktu O jest równy zeru, jeżeli punkt O leży na linii działania siły.

Redukcja układów sił Można podać prostszą interpretację momentu siły względem punktu. Niech siła P i punkt O leżą w jednej płaszczyźnie, np. O1xy. Wartość bezwzględna wektora momentu Mo jest równa polu powierzchni równoległoboku F1 zbudowanego na wektorach r i P, gdyż pole to równa się podwojonemu polu powierzchni trójkąta OAB. Ponadto wektor Mo jest prostopadły do wektorów r i P.

Redukcja układów sił Zakłada się, że do pewnego punktu A jest przyłożonych n sił P1, P2,..., tworzących przestrzenny układ sił zbieżnych. Wypadkowa tych sił wynosi Moment Mo wypadkowej P względem dowolnego punktu O, jeżeli wektor OA= r, będzie równy Wykorzystując własność iloczynu wektorowego (prawo rozdzielczości) otrzymuje się Ze wzoru wynika twierdzenie Varignona: Moment siły wypadkowej P przestrzennego układu sił zbieżnych względem dowolnego punktu O jest równy sumie geometrycznej momentów tych sił względem tego samego punktu.

Redukcja układów sił Korzystając z tego twierdzenia, można wyznaczyć moment siły P względem punktu. Jeżeli się przyjmie, że płaszczyznę Oxy wyznacza linia działania siły P i punkt O oraz oznaczymy przez x, y współrzędne punktu przyłożenia siły (dowolnego punktu A na linii działania y), to można obliczyć moment tej siły względem początku układu (punktu O). Siła P jest wypadkową dwu sił Px i Py, równoległych do osi układu współrzędnych. Moment siły P jako równy sumie momentów sił Px i Py, których ramiona względem punktu O są równe odpowiednio y i x, wynosi Gdy dany jest płaski układ sił Pi, przyłożonych w punktach Ai o współrzędnych xi, yi (i = 1, 2,..., n), to ogólny moment względem punktu O początku układu współrzędnych wynosi

Redukcja układów sił Przy obliczaniu momentu siły względem osi należy wykonać rzut siły P na dowolną płaszczyznę n prostopadłą do osi l, a następnie oznaczyć otrzymany rzut przez P’ a punkt przebicia płaszczyzny osią l przez O’. Moment siły P względem osi l nazywa się momentem siły P' względem punktu O’ Między polami trójkątów OAB i O'A'B' istnieje zależność gdzie: α – kąt między płaszczyznami trójkątów stąd Momentem siły względem osi nazywamy rzut na oś wektora momentu tej siły względem dowolnego punktu na osi.

Redukcja układów sił Można wyprowadzić jeszcze inny wzór na moment siły względem osi. gdzie stąd Wartość (moduł) momentu siły P względem osi l równa się iloczynowi modułu tej siły P i jej odległości h od osi l pomnożonemu przez sinus kąta zawartego między siłą P a prostą l. Moment siły P względem osi l jest równy zeru, gdy: wartość siły P jest równa zeru, linia działania siły P przecina się z osią l (h = 0), siła P jest równoległa do osi.

Siły równoległe Redukcja układów sił Siły nazywamy równoległymi, gdy ich linie działania są do siebie równoległe. Siły takie nie różniące się linią działania dodają się jak skalary lub liczby algebraiczne. Wypadkowa sił równoległych jest sumą algebraiczną tych sił i ma ich linię działania. Zagadnienie wyznaczenia wypadkowej sił równoległych sprowadza się zatem do wyznaczenia jej położenia, czyli odległości od którejkolwiek z sił składowych o znanym położeniu.

Redukcja układów sił Wyznaczanie wypadkowej dwóch sił równoległych zgodnie skierowanych P1 i P2, przyłożonych w punktach A i B pewnego ciała sztywnego i działających wzdłuż prostych l1 i l2, pokazano na rysunku. Punkty przyłożenia A i B tych sił można przyjąć na prostych l1 i l2 w dowolnym miejscu. Przez punkty A i B prowadzi się prostą l3 oraz przykłada w tych punktach wzajemnie równoważące się siły S1 i S2 o dowolnych, równych sobie wartościach. Następnie wyznacza się wypadkową R1 sił P1 i S1 oraz wypadkową R2 sił P2 i S2 Z kolei wypadkowe te przesuwa się wzdłuż ich linii działania do punktu C i zastępuje wypadkową R, leżącą na prostej l, równoległej do prostych l1 i l2 Wypadkowa R sił równoległych P1 i P2 jest siłą równoległą do tych sił o wartości liczbowej

Redukcja układów sił Linia działania wypadkowej R przecina prostą l3 w punkcie D, którego położenie wyznacza się z zależności geometrycznych. Z podobieństwa trójkątów ACD i AEF oraz BCD i BGH wynika, że W wyniku rozwiązania układu równań otrzymamy Punkt D dzieli wewnętrznie odcinek AB w stosunku odwrotnie proporcjonalnym do wartości liczbowych sił P1 i P2. Tworząc proporcje wynikające z powyższej zależności można zapisać równania określające położenie linii działania wypadkowej

Redukcja układów sił Wypadkowa dwóch sił równoległych zgodnie skierowanych działa równolegle do tych sił i ma zwrot zgodny ze zwrotem tych sił. Jej wartość jest równa sumie wartości tych sił, a jej linia działania dzieli wewnętrznie odległość między liniami działania sił w stosunku odwrotnie proporcjonalnym do wartości tych sił. Wypadkowa dwóch sił równoległych przeciwnie skierowanych działa równolegle do tych sił i ma zwrot zgodny ze zwrotem siły większej. Jej wartość jest różnicą wartości tych dwóch sił, a jej linia działania dzieli zewnętrznie odległość między liniami działania tych sił w stosunku odwrotnie proporcjonalnym do ich wartości i leży po stronie siły większej.

Redukcja układów sił Para sił i jej moment Układ dwóch sił o równych wartościach, lecz różnych zwrotach nazywa się parą sił. Płaszczyzna, w której leżą obie siły, jest płaszczyzną pary sił. Ramieniem pary sił nazywa się odległość między liniami działania obu sił. Suma momentów obu sił względem dowolnego punktu O wynosi Drugi wyraz jest ujemny, ponieważ siła przyłożona w punkcie B ma zwrot przeciwny. Promień-wektor r1 jest równy stąd a wartość momentu

Redukcja układów sił Wektor momentu pary sił M jest prostopadły do płaszczyzny działania obu sił, a jego zwrot określa się za pomocą znanej zasady śruby prawoskrętnej. Moment pary sił jest niezależny od wyboru punktu O i jest wielkością stałą, a jego wartość równa się iloczynowi wartości jednej z sił pary i odległości między siłami (ramienia pary).

Redukcja układów sił Równoległe przesunięcie siły Z drugiej zasady statyki i własności pary sił wynika, często stosowane, tzw. równoległe przesunięcie siły. Mając daną siłę P przyłożoną w punkcie A i punkt B w odległości h od linii działania tej siły, wyznaczono płaszczyznę . W punkcie B przykłada się równoważący się układ sił, równoległych do wektora siły P, o wartościach równych P. Siły P (przyłożona w punkcie A) i -P (przyłożona w punkcie B) tworzą parę sił, której moment jest równy M, zaczepiony w dowolnym punkcie płaszczyzny , a więc na przykład w punkcie B. W rezultacie siła P została równolegle przesunięta do punktu B, w wyniku czego w punkcie tym działają dwa wektory: siła P i moment pary sił M. Oznacza to, że układy przedstawione na rysunkach a i c są sobie równoważne.