Dylatacja czasu Załóżmy, że w rakiecie znajduje się przyrząd wysyłający impuls światła z punktu A, który następnie odbity przez lustro Z, odległe od A o d powraca do punktu A, gdzie jest rejestrowany (rysunek).

Czas t', jaki upływa między wysłaniem światła, a jego zarejestrowaniem przez obserwatora będącego w rakiecie jest oczywiście równy t' = 2d/c. W układzie nieruchomym czas t przelotu światła z punktu A do zwierciadła i z powrotem do A:

każdy obserwator stwierdzi, że poruszający się zegar idzie wolniej lub po przekształceniu Widać, że warunek stałości prędkości światła w różnych układach odniesienia może być spełniony tylko wtedy, gdy czas pomiędzy dwoma zdarzeniami obserwowanymi i mierzonymi w różnych układach odniesienia jest różny. każdy obserwator stwierdzi, że poruszający się zegar idzie wolniej niż identyczny zegar w spoczynku

To zjawisko dylatacji (wydłużenia) czasu jest własnością samego czasu i dlatego spowolnieniu ulegają wszystkie procesy fizyczne, gdy są w ruchu. Dotyczy to również reakcji chemicznych, np. biologicznego starzenia się. Zjawisko to jest obserwowane także przez fizyków, którzy mierzą czas życia rozpadających się cząstek, na przykład mezonów π. Kiedy cząstka porusza się w układzie laboratoryjnym z prędkością bliską prędkości światła, jej czas życia ulega wydłużeniu, co bez trudu można sprawdzić doświadczalnie.

prędkość jako % prędkości światła współczynnik dylatacji Δt0 - upływ czasu dla obserwatora w układzie nieruchomym, Δt - upływ czasu w układzie poruszającym się z prędkością v, czynnik Lorentza, v - względna prędkość ruchu układów c - prędkość światła w próżni. prędkość jako % prędkości światła współczynnik dylatacji różnica w upływie czasu w % 1 0 % 1.00005 0.005 % 10 1.005 0.5 % 50 1.15 15 % 70 1.40 40 % 90 2.29 129 % 95 3.20 220 % 99 7.08 608 % 99,998 158.11 15711 % 100

Transformacja Lorentza Szukamy ponownie (jak w przypadku transformacji Galileusza) wzorów przekładających spostrzeżenia jednego obserwatora na obserwacje drugiego. Chcemy znaleźć transformację współrzędnych, ale taką, w której obiekt poruszający się z prędkością równą c w układzie nieruchomym (x, y, z, t), również w układzie (x', y', z', t') poruszającym się z prędkością V wzdłuż osi x będzie poruszać się z prędkością c.

Transformacja współrzędnych, która uwzględnia niezależność prędkości światła od układu odniesienia ma postać: gdzie  = V/c. Te równania noszą nazwę transformacji Lorentza.

Jednoczesność Przyjmijmy, że według obserwatora w rakiecie poruszającej się wzdłuż osi x' (czyli także wzdłuż osi x, bo zakładamy, te te osie są równoległe) pewne dwa zdarzenia zachodzą równocześnie t' = t2' ‑ t1' = 0, ale w rożnych miejscach x2' ‑ x1' = x'  0. Sprawdźmy, czy te same zdarzanie są również jednoczesne dla obserwatora w spoczynku.

Z transformacji Lorentza wynika, że Łącząc oba powyższe równania otrzymujemy związek:

Po uwzględnieniu, że zdarzenia w układzie związanym z rakietą są jednoczesne, t' = 0, otrzymamy ostatecznie równoczesność zdarzeń nie jest bezwzględna, w układzie nieruchomym te dwa zdarzenia nie są jednoczesne

Skrócenie długości Rozpatrzmy przykład: w rakiecie poruszającej się z prędkością V, wzdłuż osi x' , leży pręt o długości L'. Sprawdźmy, jaką długość tego pręta zaobserwuje obserwator w układzie nieruchomym. Pomiar długości pręta polega na zarejestrowaniu dwóch zjawisk zachodzących równocześnie na końcach pręta (np. zapalenie się żarówek). Ponieważ żarówki zapalają się na końcach pręta, to x' = L'. Ponadto, żarówki zapalają się w tym samym czasie (dla obserwatora w układzie spoczywającym), to dodatkowo t = 0.

Uwzględniając te warunki, na podstawie transformacji Lorentza otrzymujemy pręt ma mniejszą długość

Stałość przedziału czasoprzestrzennego

Dodawanie prędkości Z transformacji Lorentza wynika, że

Dzieląc te równania przez siebie otrzymujemy: po podstawieniu

Równanie można rozwiązać ze względu na Ux

Zależność masy od prędkości

Uwzględniając zależność masy od prędkości otrzymujemy

Porównanie zależności prędkości ciała od czasu działania siły w mechanice klasycznej i relatywistycznej jest pokazane na rysunku: W przeciwieństwie do opisu klasycznego, z powyższej zależności wynika, że cząstki nie da się przyspieszać w nieskończoność działając stałą siłą.

Równoważność masy i energii Einstein pokazał, że zasada zachowania energii jest spełniona w mechanice relatywistycznej pod warunkiem, że pomiędzy masą i całkowitą energią ciała zachodzi związek gdzie m zależy od prędkości ciała V Równanie Einsteina opisuje równoważność masy i energii. Wynika z niego, że ciało w spoczynku ma zawsze pewną energię związaną z jego masa spoczynkową

Energię kinetyczną ciała poruszającego się z prędkością V obliczamy odejmując od energii całkowitej energię spoczynkową (nie związaną z ruchem) Mechanika relatywistyczna wiąże energię kinetyczną z przyrostem masy ciała. Warto określić, jaką wartość przyjmuje energia całkowita, jeśli prędkość V jest mała. Dla małego V równanie można przybliżyć (rozwijając w szereg) do postaci

Podstawiając tę wartość do wyrażenia na energię całkowitą otrzymujemy Pierwszy wyraz jest energią związaną z istnieniem samej masy (energia spoczynkowa) natomiast drugi jest klasyczną energią kinetyczną związaną z ruchem ciała. Otrzymaliśmy rozwiązanie klasyczne jako graniczny przypadek (dla małych prędkości) rozwiązania relatywistycznego. jeżeli masa spoczynkowa cząstki zostanie zmniejszona o m, to nastąpi wyzwolenie energii

Zasada zachowania energii zderzenie niesprężyste

Punkt w czasoprzestrzeni nosi nazwę punktu świata, a zbiór punktów opisujących przemieszczenia danego ciała w czasie i przestrzeni tworzy linię świata. Linie te mieszczą się wewnątrz stożka zwanego stożkiem świetlnym lub stożkiem Minkowskiego. Stożek ten opisany jest równaniem .

Trajektorie wszystkich sygnałów, które rozchodzą się z danego punktu O z prędkością światła znajdują się na powierzchni tego stożka. Wszystkie trajektorie ruchów o prędkościach mniejszych mieszczą się wewnątrz stożka. Stożek ten określa przeszłość i przyszłość zdarzenia O. Wszystko, co w przeszłości mogło mieć wpływ na zdarzenie O mieści się w dolnej części stożka. Wszystko, co może stanowić przyszłość tego zdarzenia mieści się w części górnej. Wszystkie zdarzenia z obszaru "gdzie indziej" ani nie mogły mieć wpływu na zdarzenie O w przeszłości, ani nie mogą mieć w przyszłości; nie pozostają z tym zdarzeniem w żadnym stosunku przyczynowym. Linia zielona, to linia świata relatywistycznej cząstki (poruszającej się z prędkością v), czyli zbiór zdarzeń, polegających na znalezieniu się tej cząstki w określonym miejscu w określonym czasie. Dla każdego takiego zdarzenia można wyznaczyć stożek przyszłości i przeszłości.

Wiemy, że światło biegnie od Słońca do Ziemi około 8 min. Obserwator znajduje się na Ziemi w wierzchołku stożka świata. W chwili t = 0 Słońce jest w punkcie na osi l (czerwone koło) . Aktualny stan Słońca jest niedostępny obserwacjom. Nawet jeśliby Słońce znikło, to dowiemy się o tym dopiero po 8 minutach od tego zdarzenia. Obraz Słońca widoczny na niebie to Słońce sprzed 8 minut (pomarańczowe koło na wykresie)