Opracowała: Iwona Kowalik KWADRATY MAGICZNE Opracowała: Iwona Kowalik

Kwadraty magiczne Kwadrat magiczny, to kwadrat rozbity na pewną ilość mniejszych kwadracików, czyli pól, w których liczby naturalne wpisuje się w taki sposób, że suma liczb w każdym poziomym rzędzie i każdej pionowej kolumnie oraz na obu przekątnych jest taka sama. Tę sumę nazywamy magiczną.

Kwadraty magiczne 15 15 W każdej kolumnie, każdym wierszu i każdej przekątnej suma liczb wynosi 15. 15 15 15 15 15 15

Kwadraty magiczne Kwadraty magiczne znane były Chińczykom i Hindusom przed paroma tysiącami lat. Spotyka się amulety chińskie z kwadratami magicznymi, na których nie ma jeszcze cyfr, lecz są odpowiednie ilości nakłuć lub wydrążeń.

Kwadraty magiczne Kwadraty magiczne znane były również Arabom już w IX wieku naszej ery. Prawdopodobnie nauczyli się ich od hinduskich matematyków. Do Europy natomiast wprowadził je Grek – Moscopulos, który żył w Konstantynopolu w początkach XV wieku.

Kwadraty magiczne Najbardziej znane są kwadraty składające się z 9 pól. Kwadrat 3x3 można wypełnić cyframi od 1 do 9 na 45360 sposobów.

Przykłady kwadratów magicznych: Kwadraty magiczne Przykłady kwadratów magicznych:

Kwadraty magiczne Najbardziej znanym historycznym kwadratem dla Europejczyków jest ten umieszczony na jednym z arcydzieł pędzla Albrechta Dürera pt. „Melancholia”.

Kwadraty magiczne Kwadrat jest tak pomysłowo zestawiony, że dwie środkowe liczby dolnego rzędu dają rok powstania dzieła, czyli 1514.

Kwadraty magiczne Fasada kościoła Sagrada Familia w Barcelonie, zaprojektowanego przez rzeźbiarza Subirachs Josep, posiada kwadrat magiczny 4 × 4, którego sumą magiczną jest liczba 33, czyli wiek Pana Jezusa w czasie męki.

Własności kwadratów magicznych Jeśli wszystkie liczby, jakie zawiera kwadrat magiczny powiększymy lub zmniejszymy o tę samą liczbę, to kwadrat pozostanie magiczny, np. Do każdej liczby w kwadracie dodamy po 4 i otrzymujemy kwadrat Suma magiczna: 27 Suma magiczna: 15

Własności kwadratów magicznych Jeśli wszystkie liczby, jakie zawiera kwadrat magiczny pomnożymy lub podzielimy przez tę samą liczbę, to kwadrat pozostanie magiczny, np. mnożymy przez 2 i otrzymujemy kwadrat Każdą liczbę w kwadracie Suma magiczna: 15 Suma magiczna: 30

Własności kwadratów magicznych Z dwóch kwadratów magicznych można otrzymać trzeci kwadrat magiczny przez sumowanie liczb stojących w analogicznych polach, np. + = Suma magiczna ostatniego kwadratu równa się sumie sum magicznych obu składników, czyli 15+30=45.

Kwadrat Lo-shu Tzw. idealny kwadrat, czyli taki, który jest zbudowany z liczb od 1 do 9, stworzył podobno chiński filozof i budowniczy Lo-shu. Suma magiczna tego kwadratu wynosi 15. To odkrycie dało podwaliny sztuce feng shui. Każdej liczbie w tym kwadracie przypisuje się znaczenie magiczne, np. liczba 5 symbolizuje człowieka, jest również symbolem pięciu żywiołów: drzewa, ognia, ziemi, metalu i wody. Liczby parzyste (żeńskie) umieszczone są w rogach kwadratu, a nieparzyste na czterech kierunkach geograficznych. Liczby 1 i 9 są umieszczone na osi północ-południe (9 symbolizuje całość, 1-poczatek wszystkiego), przy czym należy pamiętać, że Chińczycy do obserwacji ciał niebieskich stają twarzą na południe. W kulturze europejskiej kwadrat dostosowany do naszych oznaczeń kierunków geograficznych przyjmie taką postać:

Kwadrat Lo-shu Z omówionych wcześniej własności kwadratów magicznych wiemy, że można stworzyć nowe kwadraty dodając, odejmując, mnożąc lub dzieląc wszystkie pola przez tę samą liczbę. Spróbuj odgadnąć w jaki sposób powstały z kwadratu Lo-shu poniższe kwadraty magiczne:

Kwadrat Lo-shu W jaki sposób na bazie kwadratu Lo-shu powstały poniższe kwadraty?

Kwadraty magiczne Bibliografia: Sz. Jeleński „Śladami Pitagorasa” Czasopismo „Matematyka” (WSiP) Encyklopedia Szkolna „Matematyka” (WSiP) http://en.wikipedia.org/wiki/Magic_square „Magiczna matematyka”- materiały dla nauczycieli matematyki GWO

Kwadraty magiczne Gry: http://www.mathsisfun.com/games/magic-square-game.html http://www.topmarks.co.uk/Flash.aspx?f=MagicSquares http://nauczyciel.wsipnet.pl/kluby/kluby_anim.php?id=976&zid=5282