Dynamika bryły sztywnej

Bryła sztywna Układ cząstek w którym odległości między cząstkami nie zmieniają się w czasie nazywa się bryłą sztywną. Jeżeli położenie cząstek opisujemy za pomocą wektorów i , to wektor łączący obie cząstki musi być wektorem stałym

Położenie bryły sztywnej Aby jednoznacznie określić położenie bryły sztywnej w przestrzeni, trzeba określić: położenie wybranego punktu np. środka masy położenie drugiego punktu

położenie trzeciego punktu Więc efektywnie bryła sztywna ma sześć stopni swobody. Położenie bryły sztywnej opisują 3 współrzędne i 3 kąty

Bryła sztywna może poruszać się ruchem postępowym Wektory prędkości są wtedy takie same dla wszystkich punktów

Lub obrotowym wszystkie punkty poruszają się po okręgach

Dowolny ruch bryły sztywnej można traktować jako superpozycję ruchu translacyjnego (postępowego) i obrotowego. - Prędkość punktu przez który przechodzi oś obrotu

Całkowita energia kinetyczna bryły sztywnej Pierwszy człon jest energią kinetyczną ruchu postępowego bryły, drugi człon jest energią ruchu obrotowego, a trzeci jest nazywany energią mieszaną

Jeśli środek masy jest w punkcie O to energia mieszana znika: Energie kinetyczną ruchu obrotowego można zapisać jako - Moment bezwładności Gdy oś przechodzi przez środek masy energia kinetyczna bryły jest równa

S Przykład. Walec na równi Vs S Ruch walca staczającego się po równi pochyłej bez poślizgu skład się z ruchu postępowego środka masy i ruchu obrotowego

Moment bezwładności definiujemy jako mi dm Ponieważ Układ cząstek : Moment bezwładności bryły sztywnej względem dowolnej osi jest sumą iloczynu mas cząstek i kwadratu ich odległości od osi obrotu Ciało stałe

np. Moment bezwładności jednorodnego koła dr  d R 2

np. Moment bezwładności jednorodnego pręta Obrót wokół końca L y dx x L Obrót wokół środka

Twierdzenie Steinera C A D dm Jeśli moment bezwładności bryły sztywnej wokół osi obrotu przechodzącej przez środek masy jest równy I’, to moment bezwładności wokół osi równoległej do tej osi, odległej od niej o odległość D jest równy:

Obrót wokół osi przechodzącej przez środek masy Przykład Moment bezwładności pręta względem osi przechodzącej przez jego koniec Obrót wokół osi przechodzącej przez środek masy y x L Odległość między osiami Zgodnie z twierdzeniem Steinera

Moment bezwładności

Moment pędu bryły sztywnej Z definicji momentu pędu mamy: Załóżmy, że bryła porusza się ruchem obrotowym Więc Kierunek L zależy od kierunku w jak i położeń poszczególnych elementów bryły ri.

Wyrażenie na składowe L możemy zapisać w postaci macierzowej: momenty bezwładności względem osi x,y,z momenty zboczenia (dewiacji)

Prawa ruchu bryły sztywnej Ciało sztywne może poruszać się ruchem postępowym lub obrotowym, więc ruch tego ciała opisują równania i -wypadkowa sił zewnętrznych - wypadkowy moment sił zewnętrznych Te dwa równania wektorowe są równoważne sześciu równaniom skalarnym. Ponieważ swobodna bryła sztywna ma sześć stopni swobody, więc mamy wystarczającą liczbę równań.

Przykład Staczanie się po równi kuli (bez poślizgu) Ruch postępowy opisuje równanie Ruch obrotowy (względem środka masy) Miedzy przyspieszeniami istnieje zależność Eliminując siłę tarcia: Im większy moment bezwładności, tym wolniej stacza się ciało

Zagadnienie można rozwiązać w sposób równoważny korzystając z chwilowej osi obrotu i twierdzenia Steinera. Równanie ruchu obrotowego względem chwilowej osi obrotu (linia styku bryły z równią): Z twierdzenia Steinera mamy więc

Obrót wokół ustalonej osi Dla bryły sztywnej obracającej się wokół ustalonej osi moment pędu (skalarnie) ma postać: Pod wpływem stałego momentu siły: ruch jednostajnie przyspieszony (dla I=const)

Wahadło matematyczne Wahadłem matematycznym nazywamy punkt materialny (kulkę) o masie m zawieszony na nieważkiej, nierozciągliwej nici o długości l. Położenie kulki można wyrazić Siłę reakcji możemy rozłożyć na składowe Równania ruchu kulki mają postać

Przyspieszenie styczne ma postać W przybliżeniu małych kątów : więc Okres drgań wahadła nie zależy od masy kulki

Równanie ruchu wahadła ma postać Wahadło fizyczne Wahadłem fizycznym nazywamy bryłę sztywną zawieszoną tak, że może się wahać wokół pewnej osi. Długością wahadła fizycznego jest odległość r od osi obrotu do środka masy. Równanie ruchu wahadła ma postać O  r czyli rsin S Mg

Rozwiązanie tego równania ma postać - Amplituda (wychylenie maksymalne) - faza początkowa Okres drgań możemy zapisać - długość zredukowana wahadła fizycznego, czyli długość wahadła matematycznego odpowiadająca okresowi drgań wahadła fizycznego.

Korzystając z twierdzenia Steinera otrzymujemy

Przekształcając wzór na długość zredukowaną mamy  Dla każdej długości zredukowanej mamy dwie odległości osi obrotu od środka masy. „Długość zredukowana jest sumą odległości od środka masy obu położeń osi, przy których wahadło ma ten sam okres”