=> Zasada zachowania pędu Wychodzimy z ogólnego równania ruchu dla cząstki P Gdy otoczenie nie oddziałuje na cząstkę P, tzn. gdy cząstka jest izolowana wówczas => Dla cząstki izolowanej pęd jest wektorem stałym Zasada zachowania pędu obowiązuje również w mechanice relatywistycznej.

Moment pędu Moment pędu (kręt) cząstki P względem punktu O definiujemy jako iloczyn wektorowy promienia wodzącego cząstki i jej pędu O

Wartość momentu pędu

Moment siły Iloczyn wektorowy promienia wodzącego cząstki P i siły działającej na tę cząstkę nazywamy momentem siły względem punktu O

Wartość momentu siły wynosi q r F Ft Fr - ramię siły

Między momentem pędu i momentem siły istnieje zależność Postać ogólna II zasady dynamiki w ruchu obrotowym Pochodna momentu pędu cząsteczki względem czasu jest równa momentowi siły działającej na tą cząsteczkę => Przyrost momentu pędu cząstki w przedziale czasu Dt jest równy popędowi momentu siły.

=> => Korzystając ze wzorów Mamy , Gdy I=const II zasada dynamiki w ruchu obrotowym dla I=const => => Gdy to Gdy nie ma momentu siły, moment pędu cząstki jest wektorem stałym. Jest to treść zasady zachowania momentu pędu

Praca F Praca dW wykonana przez siłę F przesuwającą cząstkę wzdłuż dr jest równa: A B dr W postaci całkowej: jednostka SI pracy 1J = 1N·1m

Siła dośrodkowa w ruchu po okręgu Iloczyn skalarny siły i przemieszczenia można zastąpić przez iloczyn stycznej składowej siły Ft i drogi ds F A f B dr Ft Gdy siła F jest prostopadła do przesunięcia dr to praca jest równa zero. Przykłady sił które nie wykonują pracy przy przesunięciu cząstki P: Siła dośrodkowa w ruchu po okręgu Siła grawitacji przy powierzchni Ziemi podczas ruchu po płaszczyźnie poziomej Siła reakcji dla więzów skleronomicznych

Prace całkowitą można wyrazić jako Wzór na pracę ma interpretację geometryczną Ft sA sB s

Przykład Praca siły sprężystej Siła sprężysta jest równa Praca siły sprężystej Fs rk r -krk

Jeżeli na cząsteczkę działa jednocześnie kilka sił F1, F2, … to prace wykonane przez poszczególne siły dodajemy do siebie F1 dr F2 Fw

Moc Bardzo często interesuje nas zdolność wykonywania pracy przez pewne urządzenia w ciągu określonego czasu. Definiujemy wtedy moc, jako pracę wykonaną w jednostce czasu. Moc chwilowa lub Jednostką mocy jest jeden wat. 1W = 1J/s = [kg·m2·s-3]

Znając moc jako funkcję czasu P=P(t) możemy policzyć pracę o określonym czasie Moc średnią w przedziale czasu Dt definiujemy jako t1 t2 t

=> Energia kinetyczna Pomnóżmy ogólną postać równania ruchu przez przesuniecie elementarne dr => Lewą stronę możemy zapisać czyli Energia kinetyczna czyli

Przyrost energii kinetycznej cząstki jest równy pracy W jaką wykonała siła F na drodze przebytej przez cząstkę. Moc można zdefiniować jako Pochodna energii kinetycznej względem czasu jest równa mocy siły działającej na cząstkę

Energia Potencjalna Siły zachowawcze Jeśli praca siły przemieszczającej cząstkę z punktu A do punktu B nie zależy od tego po jakim torze poruszała się cząstka, to ta siła jest nazywana siłą zachowawczą. Siła zachowawcza jest funkcją położenia cząstki, a nie zależy od prędkości i czasu B Praca siły zachowawczej jest równa ujemnej zmianie energii potencjalnej A - Energia potencjalna (potencjał siły)

Praca całkowita na drodze od A do B ma postać Energia potencjalna jest skalarną funkcją położenia niezależną od czasu. Praca całkowita na drodze od A do B ma postać Jeżeli droga jest krzywą zamkniętą, to praca siły zachowawczej jest równa zero Cyrkulacja (krążenie) siły A

Energia potencjalna jest określa z dokładnością do stałej. Miejsca o tej samej energii potencjalnej dane są przez równanie: Jest to równanie powierzchni, którą nazywamy powierzchnią ekwipotencjalną.

Energia potencjalna siły sprężystej Gdy Energia potencjalna siły sprężystej

Energia potencjalna sprężystości

Energia potencjalna w polu grawitacyjnym Gdzie ma być odniesienie? F dr r m M  R Energia potencjalna w polu grawitacyjnym cząstki o masie m, położonej w odległości r od cząstki o masie M: A jeśli odniesienie na powierzchni?

r Ep

Energia potencjalna w polu grawitacyjnym h m dr h F Ep  Ep = mgh

Zasada zachowania energii mechanicznej Praca siły zachowawczej F pomiędzy punktami A i B wynosi Z drugiej strony, praca siły działającej na ciało: Wielkość nazywamy energią mechaniczną cząstki

Wyrażenie Jest treścią zasady zachowania energii mechanicznej cząstki Podczas ruchu pod działaniem siły zachowawczej energia mechaniczna cząsteczki pozostaje stała E  Ek + Ep=const Energia związana z ruchem Energia związana z położeniem

Energia mechaniczna w polu grawitacyjnym

Zasada zachowania energii całkowitej Siłami niezachowawczymi są siły zależne od czasu i siły zależne od prędkości. Dla sił niezachowawczych mamy własność Zmiana energii mechanicznej cząsteczki jest równa pracy sił niezachowawczych

Przykład. Siła oporu ośrodka Praca elementarna tej siły Energia mechaniczna cząsteczki poruszającej się w ośrodku lepkim stale maleje

Zasadę zachowania energii mechanicznej cząstki można uogólnić wprowadzając pojęcie energii niemechanicznej En – a więc termicznej, magnetycznej. W tym podejściu praca sił niezachowawczych odbywa się kosztem energii niemechanicznej czyli więc Zasada zachowania energii całkowitej

Wykorzystanie zasady zachowania energii do rozwiązywania zagadnień ruchu Ruch prostoliniowy pod działaniem zachowawczej siły F Mamy Ep = Ep(x) Jeżeli znamy Ep(x) to możemy znaleźć związek miedzy x i t, czyli ruch cząstki x(t)

Nawet bez znajomości ścisłej postaci analitycznej funkcji Ep(x) można wiele powiedzieć o ruchu cząstki jeżeli znamy ogólny przebieg zależności energii potencjalnej cząsteczki od jej położenia (krzywa energii potencjalnej) Ruch może zachodzić tylko w tych obszarach przestrzeni w których Dla dowolnej współrzędnej x na cząstkę działa siła W punktach w których funkcja Ep(x) ma ekstrema mamy stan równowagi mechanicznej.

Obszar ruchu

E1 E2 E3 A B C D E F G

W punkcie A , i punkt ten jest punktem zwrotnym. B C D E F G Przypadek 1 E=E1 Obszar przestrzeni dostępnej dla cząstki jest ograniczony z lewej strony do punktu A, mamy więc ruch nieskończony. W punkcie A , i punkt ten jest punktem zwrotnym. Mówimy, że cząstka ulega zderzeniu lub rozproszeniu w punkcie A.

A E1 B F G E2 E C D E3 Przypadek 2 E=E2 Obszar dostępny dla cząstki rozpada się na dwa ograniczone obszary (BE i FG) nazywane studnią potencjału. Między studniami potencjału istnieje obszar wzbroniony (EF) nazywany barierą potencjału. W wyniku odbić od punktów zwrotnych cząstka w studni potencjału wykonuje ruch periodyczny.

A E1 B F G E2 E C D E3 Zależność Ep(x) ma ekstrema, czyli osiąga stan równowagi mechanicznej, w punktach x2, x3 i x4. Dla minimum lokalnych x2 i x4 jest to równowaga trwała (spoczynek). Dla maksimum lokalnego x3 jest to równowaga chwiejna.

A E1 B F G E2 E C D E3 Przypadek 3 E=E3 Istnieje tylko jeden obszar dostępny dla cząstki (CD). Cząstka wykonuje w tej studni potencjału (jamie potencjału) ruch skończony, drgający wokół położenia równowagi trwałej x2.