II. Matematyczne podstawy MK Mechanika Kwantowa II. Matematyczne podstawy MK WYKŁAD 3 Formalizm matematyczny MK – cz. I

Plan wykładu wektorowa przestrzeń liniowa, wektory, baza, iloczyn skalarny, ortogonalność, przestrzeń Hilberta, twierdzenie Grama-Schmidta, nierówność Schwartza, nierówność trójkąta.

Wektorowa przestrzeń liniowa Przestrzeń liniowa V (wektorowa) to zbiór obiektów , nazywanych wektorami, dla których istnieje: a) reguła tworzenia sumy wektorów, oznaczanej jako b) reguła obliczania iloczynu wektora przez skalary a, b, ..., oznaczonego jako UWAGA: w przypadku 3-wymiarowym wektory oznaczamy też za pomocą:

Wektorowa przestrzeń liniowa Własności działań a) i b): 1) wyniki powyższych działań są także elementami tej przestrzeni (jest ona zamknięta ze względu na te działania), tzn.: 2) mnożenie wektorów przez skalary jest rozdzielne względem dodawania wektorów 3) mnożenie wektorów przez skalary jest rozdzielne względem dodawania skalarów

Wektorowa przestrzeń liniowa 4) mnożenie wektorów przez skalary jest łączne 5) dodawanie wektorów jest przemienne 6) dodawanie wektorów jest łączne 7) istnieje wektor zerowy taki, że 8) dla każdego istnieje wektor przeciwny , taki że

Wektorowa przestrzeń liniowa Zbiór n wektorów nazywamy liniowo niezależnym, gdy równanie liniowe jest spełnione gdy wszystkie liczby ai są równe zeru. Np. wektory są liniowo niezależne, bo: z czego wynika:

Wektorowa przestrzeń liniowa Wymiarem n przestrzeni liniowej nazywamy maksymalną liczbę wektorów niezależnych liniowo, jakie można w niej znaleźć. Przestrzeń oznaczamy wówczas Vn(R) gdy jest rzeczywista oraz Vn(C) gdy jest zespolona. Zbiór n liniowo niezależnych wektorów przestrzeni n-wymiarowej nazywamy bazą tej przestrzeni. Bazę przestrzeni V3(R) tworzą np. wektory

Wektorowa przestrzeń liniowa Każdy wektor można zapisać w postaci gdzie wektory tworzą bazę. Współczynniki vi nazywamy składowymi wektora w tej bazie. Np. wektor możemy zapisać jako: gdzie dla wektorów bazy:

Wektorowa przestrzeń liniowa Iloczyn skalarny Aksjomaty: 1) (symetria sprzężenia), 2) (dodatnia określoność), 3) (liniowość względem ketów) Np.: Iloczyn skalarny wektorów:

Wektorowa przestrzeń liniowa UWAGA Od tej chwili wektory (nazywane ket) będziemy przedstawiać za pomocą ich składowych w postaci macierzy jedno-kolumnowej, tzn.:

Wektorowa przestrzeń liniowa UWAGA Od tej chwili wektory (nazywane bra) będziemy przedstawiać za pomocą ich składowych w postaci macierzy jedno-wierszowej, tzn.: Elementy macierzy są sprzężone w sensie zespolonym.

Wektorowa przestrzeń liniowa Tak więc iloczyn skalarny możemy obliczyć ze związku:

Wektorowa przestrzeń liniowa Przykłady przestrzeni liniowych: 1) Zbiór wszystkich wektorów na płaszczyźnie, 2) Zbiór wszystkich wektorów w R3, 3) Zbiór rzeczywistych macierzy 2x2, 4) Zbiór wszystkich funkcji ciągłych na przedziale domkniętym.

Przestrzeń Hilberta Liniowa przestrzeń wektorowa, w której zdefiniowano iloczyn skalarny nazywa się przestrzenią unitarną. Jeżeli każdy ciąg podstawowy w przestrzeni wektorowej jest zbieżny do pewnego wektora z tej przestrzeni, to przestrzeń tę nazywamy przestrzenią zupełną. Unitarną przestrzeń zupełną nazywamy przestrzenią Hilberta.

Twierdzenie Grama-Schmidta Mając dany zbiór n wektorów liniowo niezależnych tworzących bazę można z niego utworzyć bazę ortonormalną.

Twierdzenie Grama-Schmidta Prosty przykład dwu-wymiarowy:

Nierówność Schwartza Iloczyn skalarny spełnia nierówność Schwartza: przy czym równość zachodzi w przypadku, gdy:

Nierówność Schwartza Dwuwymiarowy przykład nierówności Schwartza: Niech np.: Gdyby jednak , to wtedy:

Nierówność trójkąta Spełniona jest nierówność trójkąta: przy czym równość zachodzi w przypadku, gdy:

Nierówność trójkąta Dwuwymiarowy przykład nierówności trójkąta: A A+B

Nierówność trójkąta Dwuwymiarowy przykład nierówności trójkąta: Niech np.: Gdyby jednak , to wtedy:

Przykłady Twierdzenie Grama-Schmidta: Jak obliczyć iloczyn: ? Wykazać poprawność wzoru: Niezależność liniowa Składowe wektora w bazie.