Krzysztof Kucab Rzeszów, 2012 Analiza matematyczna III. Funkcje WYKŁAD 8 Badanie funkcji Krzysztof Kucab Rzeszów, 2012

Plan wykładu ekstrema funkcji, twierdzenie Fermata o istnieniu ekstremum, funkcje wypukłe i wklęsłe, punkty przegięcia wykresu funkcji, badanie przebiegu zmienności funkcji.

Ekstrema funkcji Funkcja f ma w punkcie minimum lokalne, gdy: Funkcja f ma w punkcie maksimum lokalne, gdy:

Ekstrema funkcji Funkcja f ma w punkcie minimum lokalne właściwe, gdy: Funkcja f ma w punkcie maksimum lokalne właściwe, gdy:

Ekstrema funkcji Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

Ekstrema funkcji Minima i maksima lokalne funkcji nazywamy ekstremami lokalnymi funkcji.

Warunek konieczny istnienia ekstremum Ekstrema funkcji Twierdzenie Fermata Warunek konieczny istnienia ekstremum Jeżeli funkcja f ma: - ekstremum lokalne w punkcie x0, - pochodną f’(x0), to: UWAGA: Implikacja odwrotna jest fałszywa

Ekstrema funkcji Funkcja może mieć ekstrema lokalne tylko w punktach, w których jej pochodna równa się zero albo w punktach, w których jej pochodna nie istnieje.

Ekstrema funkcji I warunek wystarczający istnienia ekstremum Jeżeli funkcja f spełnia warunki: - to w punkcie x0 ma maksimum lokalne właściwe. Twierdzenie o minimum lokalnym jest analogiczne.

Ekstrema funkcji II warunek wystarczający istnienia ekstremum Jeżeli funkcja f spełnia warunki: - - n jest liczbą parzystą, gdzie to w punkcie x0 ma maksimum lokalne właściwe. Twierdzenie o minimum lokalnym jest analogiczne.

Ekstrema funkcji Jeżeli funkcja f spełnia warunki: - - n jest liczbą nieparzystą, to w punkcie x0 nie ma ekstremum lokalnego.

Ekstrema funkcji Wartość najmniejsza i największa funkcji na zbiorze Liczba jest wartością najmniejszą funkcji f na zbiorze , jeżeli: Liczba jest wartością największą funkcji f na zbiorze , jeżeli:

Ekstrema funkcji Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

Funkcje wypukłe i wklęsłe Funkcja f jest wypukła na przedziale (a,b), gdzie jeżeli: Funkcja f jest ściśle wypukła na przedziale (a,b), gdzie jeżeli:

Funkcje wypukłe i wklęsłe Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

Funkcje wypukłe i wklęsłe Funkcja f jest wklęsła na przedziale (a,b), gdzie jeżeli: Funkcja f jest ściśle wklęsła na przedziale (a,b), gdzie jeżeli:

Funkcje wypukłe i wklęsłe Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

Funkcje wypukłe i wklęsłe Warunek wystarczający wypukłości Jeżeli dla każdego , to funkcja f jest ściśle wypukła na (a,b). Jeżeli dla każdego , to funkcja f jest ściśle wklęsła na (a,b).

Punkty przegięcia wykresu funkcji Niech funkcja f będzie określona przynajmniej na otoczeniu punktu x0. Ponadto niech funkcja f ma tam pochodną (właściwą lub niewłaściwą). Punkt (x0,f(x0)) jest punktem przegięcia wykresu funkcji f w.t.w., gdy istnieje liczba d >0 taka, że funkcja f jest ściśle wypukła na oraz ściśle wklęsła na albo jest odwrotnie.

Punkty przegięcia wykresu funkcji Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

Punkty przegięcia wykresu funkcji Warunek konieczny istnienia punktu przegięcia Jeżeli funkcja f spełnia warunki: - (x0,f(x0)) jest punktem przegięcia, - istnieje f’’(x0), to: UWAGA: Implikacja odwrotna jest fałszywa

Punkty przegięcia wykresu funkcji Funkcja może mieć punkty przegięcia tylko w punktach, w których jej druga pochodna równa się zero albo w punktach, w których ta pochodna nie istnieje.

Punkty przegięcia wykresu funkcji I warunek wystarczający istnienia punktu przegięcia Jeżeli funkcja f spełnia warunki: - w punkcie x0 ma pochodną właściwą lub niewł., - to (x0,f(x0)) jest punktem przegięcia jej wykresu. Twierdzenie jest też prawdziwe, gdy nierówności dla drugiej pochodnej są odwrotne w sąsiedztwach jednostronnych punktu x0.

Punkty przegięcia wykresu funkcji II warunek wystarczający istnienia punktu przegięcia Jeżeli funkcja f spełnia warunki: - - n jest liczbą nieparzystą, to (x0,f(x0)) jest punktem przegięcia jej wykresu.

Punkty przegięcia wykresu funkcji Jeżeli funkcja f spełnia warunki: - - n jest liczbą parzystą, to (x0,f(x0)) nie jest punktem przegięcia jej wykresu.

Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

Badanie funkcji 1. Ustalenie dziedziny funkcji. 2. Wskazanie podstawowych własności funkcji (parzystość, okresowość, miejsca zerowe, ciągłość). 3. Obliczenie granic lub wartości funkcji na „krańcach” dziedziny. 4. Znalezienie asymptot pionowych i ukośnych.

Badanie funkcji 5. Zbadanie pierwszej pochodnej funkcji: a) wyznaczenie dziedziny pochodnej; b) wyznaczenie punktów, w których funkcja może mieć ekstrema; c) ustalenie przedziałów monotoniczności funkcji; d) ustalenie ekstremów funkcji; e) obliczenie granic lub wartości pochodnej na „krańcach” jej dziedziny.

Badanie funkcji 6. Zbadanie drugiej pochodnej funkcji: a) wyznaczenie dziedziny drugiej pochodnej; b) wyznaczenie punktów, w których funkcja może mieć punkty przegięcia; c) ustalenie przedziałów wklęsłości i wypukłości; d) wyznaczenie punktów przegięcia wykresu funkcji; e) obliczenie pierwszej pochodnej w punktach przegięcia.

Badanie funkcji 7. Sporządzenie tabelki. 8. Sporządzenie wykresu funkcji.