Deterministyczne modele badań operacyjnych Wprowadzenie

Sprawy formalne LITERATURA T. Trzaskalik, Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem, PWE, Warszawa 2008; szczególnie rozdziały: 1, 2, 3, 8, 9. W. Sikora [red.], Badania operacyjne, PWE, Warszawa 2008; szczególnie rozdziały: 1, 2, 3, 6, 8. B. Guzik, Wstęp do badań operacyjnych, Wydawnictwo Uniwersytetu Ekonomicznego w Poznaniu, Poznań 2009; szczególnie rozdziały: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13. STRONA INTERNETOWA: http://www.sgh.waw.pl/mlewandowski KONTAKT: michal.lewandowski@sgh.waw.pl KONSULTACJE: wtorek 16.30 sala 103G (po uprzednim mailu) ZALICZENIE: 20% Ćwiczenia, 80% Egzamin WYKŁADY – zajęcia co dwa tygodnie w czwartek o 8:00 w C-2a GRUPY ĆWICZENIOWE – zajęcia co dwa tygodnie Grupa I: co dwa tygodnie w czwartek o 8:00 w C-5d - prowadzę ja; Grupa II: co dwa tygodnie w czwartek o 9:50 w C-5d – prowadzi dr Knauff Grupa III: co dwa tygodnie w czwartek o 9:50 w C-5d – prowadzi dr Knauff

Sprawy formalne, cd. ĆWICZENIA: głównie – Formułowanie i rozwiązywanie zadań przy pomocy Excel Solver PLAN – TEMATY TRADYCYJNE Programowanie liniowe i metoda sympleks Optymalny asortyment produkcji Zagadnienie diety Zagadnienie mieszanki Dualizm w optymalizacji liniowej Zmienne całkowitoliczbowe w optymalizacji liniowej i metoda podziału i ograniczeń Problem komiwojażera Zagadnienie rozkroju Zagadnienie przydziału Zagadnienie lokalizacji Zagadnienie plecaka Warunki logiczne Problem transportowy – zbilansowane, niezbilansowane, z trasami niedopuszczalnymi, z ograniczoną przepustowością tras, wieloetapowe, minimalizacja pustych przebiegów, problem lokalizacyjno-transportowy Optymalizacja na sieciach, sieci transportowe, problem maksymalnego przepływu Zagadnienia optymalizacji nieliniowej sprowadzalne do optymalizacji liniowej, problemy z ułamkowo-liniową funkcją celu Analiza obwiedni danych (DEA)

Sprawy formalne, cd. PLAN – NOWE TEMATY: TEORIA GIER Rozwiązywanie gier o sumie zerowej metodami programowania liniowego Skojarzenia, algorytm Gale’a i Shapleya OPTYMALIZACJA DYNAMICZNA, Zasada optymalności Bellmanna Algorytmy sieciowe Algorytm Dijkstra Algorytm Forda-Fulkersona Algorytm drzewa rozpinającego Algorytmy całkowitoliczbowe Branch and bound dla zmiennych binarnych Algorytm Dakina 5) Algorytmy ewolucyjne TEN WYKŁAD JEST NAPISANY NA PODSTAWIE MATERIAŁU ZAJĘĆ PROF. ORLIN z MIT, MASSACHUSETTS

Co to są Badania Operacyjne? Po angielsku – operations research lub management science II wojna światowa: Brytyjscy generałowie poprosili naukowców i inżynierów, aby ci przeanalizowali parę problemów natury militarnej Rozmieszczenie radarów Zarządzanie konwojami, bombardowaniem, system przeciwko łodziom podwodnym, operacje minowania, etc. W rezultacie powstała nowa dziedzina wiedzy zwana badaniami operacyjnymi Badania operacyjne to dyscyplina stosująca metody analityczne na potrzeby lepszego podejmowania decyzji. http://www.scienceofbetter.org/ http://www.orms-today.org/ormsmain.shtml

Badania operacyjne w praktyce SCHEMAT POSTEPOWANIA Zidentyfikuj problem Obserwuj system i zbieraj dane Sformułuj model matematyczny problemu i ewentualne podproblemy Zweryfikuj model i wykorzystaj go do prognozowania lub analizy Wybierz odpowiednią alternatywę Zaprezentuj odpowiednią alternatywę Zaimplementuj i oceń wyniki

Programowanie liniowe Minimalizuj lub maksymalizuj funkcję liniową Przy ograniczeniach w postaci nierówności i równości liniowych Poniższe przykłady NIE SĄ zadaniami programowania liniowego:

Programowanie całkowitoliczbowe Zadanie programowania całkowito liczbowego to zadanie programowania liniowego, w którym część lub wszystkie zmienne są całkowitoliczbowe Zadania programowania całkowitoliczbowego są dużo częściej spotykane w praktyce. Jednak do ich rozwiązania stosuje się techniki programowania liniowego.

Ustalanie grafiku Każdy z pracowników na poczcie pracuje 5 dni z rzędu i później 2 dni odpoczywa. Popyt na pracowników w różne dni tygodnia jest następujący: Zminimalizuj liczbę pracowników zatrudnionych na poczcie. Na początek przyjmijmy, że pracownicy mogą występować w częściach ułamkowych. Sformułowanie problemu: Zidentyfikuj zmienne decyzyjne (decision variables) Zidentyfikuj funkcję celu (objective function) Sformułuj ograniczenia (constraints) Rozwiązanie dopuszczalne (feasible solution) Rozwiązanie optymalne (optimal solution, best feasible solution) Dzień Pon Wto Śro Czw Pią Sob Nie Popyt 17 13 15 19 14 16 11

Ustalamy zmienne decyzyjne Spróbujmy tak: yi – liczba osób pracujących w dzień i Ograniczenia popytu łatwo sformułować Ale jak sformułować ograniczenie: „5 dni w pracy 2 wolnego”? OKAZUJE SIĘ TO NIEMOŻLIWE

Sprytne zdefiniowanie zmiennych decyzyjnych Funkcja celu PON WTO ŚRO CZW PIĄ SOB NIE Zmienne decyzyjne są dobrane w taki sposób, aby ograniczenie „5 dni w pracy 2 dni wolnego” było automatycznie spełnione. Zmienna decyzyjna x1 to liczba pracowników zaczynających pracę w poniedziałek. Pozostałe zmienne są zdefiniowane podobnie. Wówczas funkcja celu musi być zdefiniowana jako suma zmiennych decyzyjnych (suma wszystkich pracowników). Ograniczenia

Przedstawienie w postaci tabelki PON WTO ŚRO CZW PIĄ SOB NIE

Modyfikacja modelu Dobrze jest zacząć od prostego modelu, który opisuje tylko część rzeczywistości, a później dodawać coraz bardziej realistyczne ograniczenia. Często trudno jest zbudować skomplikowany model w jednym kroku. Załóżmy, że pracownicy otrzymują różne wynagrodzenie w zależności od dnia, w którym zaczynają pracę – pracownik zaczynający pracę w dzień j, otrzymuje zapłatę cj Dodatkowo poczta może zatrudnić pracownika dorywczego (na jeden lub więcej dni). Zapłata dla pracownika dorywczego, gdy pracuje w dzień j to pj Jaka będzie zmiana w modelu? Jakie będą nowe zmienne decyzyjne?

Inna modyfikacja Załóżmy, że popyt na pracowników reprezentuje ograniczenie zwane „lekkim” – tj. jest to pożądana liczba pracowników, którzy są potrzebni w dany dzień, a nie wymagana liczba. Niech sj będzie zmienną reprezentującą nadmiar pracowników w dzień j ponad stan pożądany. Ujemne wartości oznaczają oczywiście niedobór. Jaki jest minimalny koszt zatrudnienia pracowników, jeśli koszt zbyt dużej liczby pracowników w dzień j jest opisany nieliniową funkcją fj(sj)? Traktujemy popyt na pracowników na konkretny dzień jako cel na ten dzień i nakładamy karę za niespełnienie go dokładnie. Zbyt duża liczba pracowników to nieefektywne wykorzystanie zasobów pracy Zbyt mała liczba pracowników może spowodować problemy w wykonaniu zadań na dany dzień Jakie są nowe zmienne decyzyjne? Jak wygląda nowy model nieliniowy?

Przykłady funkcji nieliniowych Funkcje nieliniowe mogą czasem być przetransformowane w funkcje liniowe – rzadki, ale bardzo pożądany przypadek W ogólności, programy nieliniowe minimalizacji (maksymalizacji) można rozwiązać łatwiej, gdy funkcja celu jest wypukła (wklęsła) Przykłady funkcji nieliniowych Suma kwadratów zmiennych nadmiaru Ważona suma kwadratów zmiennych nadmiaru Suma wartości bezwględnych zmiennych nadmiaru Dwa razy suma pracowników minus suma zmiennych nadmiaru Nieseparowalna funkcja celu Separowalna funkcja to taka, że można ją przedstawić jako sumę funkcji jednej zmiennej. Z funkcjami separowalnymi dużo łatwiej sobie radzić i problem rozwiązuje się szybciej.

Które funkcje są wypukłe?

Maksimum paru funkcji liniowych jest wypukłe

Minimax Szczególnie „przyjazne” funkcje nieliniowe to takie, które można zapisać jako maksimum jednej lub wielu funkcji liniowych: Jeżeli dany problem minimalizacji ma taką przyjazną funkcję celu, a region dopuszczalny jest taki, jak w ZPL, wówczas rozwiązanie tego problemu może być przedstawione jako ZPL Problem minimax jednej zmiennej Problem z przyjazną funkcją ZPL

Z powrotem do problemu obsady poczty Minimalizuj maksymalny nadmiar pracowników na dany dzień

Inny przykład „przyjaznej” funkcji celu Przypuśćmy, że funkcją celu jest Jak ją zmodyfikować, aby stała się liniowa? Kluczowa obserwacja: , dla każdego j. Musimy stworzyć tym razem 7 zmiennych zj Nowa funkcja celu Dodatkowe ograniczenia Dla każdego optymalnego rozwiązania będzie zachodzić

Ułamkowe ograniczenie Przypuśćmy, że chcemy zapewnić, aby przynajmniej 30% pracowników miało wolną niedzielę. Jak można to włączyć do modelu? Ale to ograniczenie jest nieliniowe! Zauważmy, że suma wszystkich pracowników jest dodatnia, dlatego możemy przez nią pomnożyć obie strony nierówności Wówczas otrzymujemy ograniczenie liniowe:

Inne modyfikacje obsady poczty Możemy wymagać, żeby każda zmiana miała całkowitą liczbę pracowników Zadanie programowania całkowitoliczbowego DYGRESJA: Modelowanie ułamkowych części pracowników jest zupełnie nierealistyczne. W praktyce łatwo sobie z tym poradzić zaokrąglając otrzymane rozwiązanie – jednak należy pamiętać, że nie zawsze da się dobrze zaokrąglić i dlatego, jeśli można, lepiej rozwiązywać zadanie programowania całkowitoliczbowego. Możemy rozpatrywać grafik na dłuższy okres Na przykład 6 tygodni na raz (pozwala na sprawiedliwsze rozwiązanie – na przykład w powyższym modelu większość pracowników nigdy nie ma wolnej soboty I niedzieli; w modelu z 6 tygodniami na raz, można zapewnić, że każdy pracownik będzie miał wolne cały lub przynajmniej część weekendu) Możemy rozpatrywać krótszy grafik I modelować przerwy na lunch Możemy wreszcie modelować pracowników indywidualnie Wprowadzając preferencje pracowników (można uczynić pracowników bardziej szczęśliwymi, jeśli da się im wolne wtedy, kiedy poproszą) Większość powyższych modyfikacji wymaga programowania całkowitoliczbowego, które również będziemy omawiać na zajęciach.

Problem optymalizacyjny Dany jest zbiór liczb. Rozdziel je na dwa zbiory tak, aby różnica sum liczb w obu grupach była jak najmniejsza. Przykład: 7, 10, 13, 17, 20, 22 Mogę je podzielić na {20,22} (suma 42) oraz {7, 10, 13, 17} (suma 47) Różnica sum wynosi 5 Czy możemy uzyskać lepszy wynik?

Ciekawe zastosowanie programowania matematycznego – radioterapia

Chodzi tutaj o radioterapię a nie o stosowanie wiązek protonów. Wysokie dawki promieniowania (energia na jednostkę masy) mogą zabijać komórki i/lub uniemożliwiać ich rozwój i podział Prawdziwe zarówno dla komórek rakowych, jak i zdrowych Radioterapia jest atrakcyjna, ponieważ mechanizmy naprawcze działają bardziej efektywnie w przypadku komórek zdrowych niż w przypadku komórek rakowych Chodzi tutaj o radioterapię a nie o stosowanie wiązek protonów. Niedawne osiągnięcia w obrazowaniu: MRI (rezonans magnetyczny) CT Scan (tomografia komputerowa) -etc.

Rozwój w dziedzinie naświetlania Tomoterapia IMRT Radioterapia jest teraz dokonywana przez komputer, który dostarcza duże dawki promieniowania wiązkami puszczanymi pod różnymi kątami do mózgu.

Tradycyjna radioterapia: Ważne jest, aby puszczać wiązki pod różnymi kątami W konwencjonalnej radioterapii: 3 do 7 wiązek Radioonkolog i lekarz ogólny ustalają wspólnie kąty I natężenia wiązek Wszystko odbywa się za pomocą metod prób i błędów

Celem jest zmaksymalizowanie dawki promieniowania na komórki rakowe przy jednoczesnym zminimalizowaniu dawki na obszar krytyczny. W mózgu każda nierakowa komórka jest krytyczna. W pozostałych częściach ciała, niektóre komórki są bardziej krytyczne od innych.