Ciekawostki o liczbach Prezentacje wykonały: Dorota Burkot, Paulina Teper, Wioleta Opiekun, Ewelina Barczyk

Zero Zero było używane już w VII wieku p.n.e. przez Babilończyków, ale nigdy nie występowało samodzielnie. Zero jako cyfra zostało po raz pierwszy zastosowane przez matematyków hinduskich jako oznaczenie braku czegoś. Dopiero w XVII wieku symbol zera był powszechnie rozpoznawany(w Europie) jako oznaczający liczbę. Odkrycie zera miało istotny wpływ na wprowadzenie dziesiętnego systemu liczbowego. Zero nie występuje w rzymskim systemie zapisu liczb. Zero nie jest ani liczbą pierwszą, ani złożoną, choć jest wielokrotnością każdej liczby całkowitej. Każda liczba zakończona zerem jest parzysta. Zero jest elemętem neutralnym dodawania (tzn. po dodaniu do dowolnej liczby zera otrzymamy tę samą liczbę) a+0=a

Iloczyn dowolnej liczby przez liczbę zero jest równy zero. Potęga o dowolnym wykładniku naturalnym dodatnim i podstawie równej zero jest równa zero, na przykład: 0233=0,02009=0 Potęga o wykładniku zero i podstawie różnej od zera jest równa jeden, na przykład: 1770=1, (-2009)0=1 Zero jest jedyna liczbą rzeczywistą, przez którą nie można wykonać dzielenia.

Jeden Jeden jest najmniejszą liczbą naturalna dodatnią Każda liczba naturalna dodatnia jest o jeden większa od liczby ją poprzedzającą. Jeden nieb jest ani liczbą złożoną, ani pierwszą, choć jest dzielnikiem każdej liczby. Jeden ma dokładnie jeden dzielnik-siebie Jeden jest elemętem neutralnym mnożenia (tzn. iloczyn dowolnej liczby i liczby jeden jest równy tej samej liczbie) a•1=a. Iloraz dowolnej liczby przez jeden jest równy dzielnej a:1=a Potęga o wykładniku jeden i dowolnej podstawie równej jeden jest rowna jeden, na przykład: 12009=1,1-34=1

Oto ciekawe tożsamości z liczbami zapisanymi z użyciem wyłącznie jedynek 11•11=121 111•111=12 321 1111•1111=1 234 321 11111•11111=123 454 321 111111•111111=12 345 654 321 Wyłączniki tych działań są liczbami palindromicznymi, czyli takimi, które można czytać również do końca. Wśród liczb zbudowanych ( w systemie dziesiętnym) z samych jedynek występuje nieskończenie wiele liczb pierwszych i liczb złożonych Ostrosłup ma tylko jedną podstawę. Przez jeden punkt na płaszczyźnie przechodzi nieskończenie wiele prostych.

Dwa Dwa jest najmniejszą liczbą pierwszą i jedyną liczbą parzystą pierwszą. Każda liczba pierwsza ma dokładnie dwa dzielniki. Każda liczba zakończona dwójką jest podzielna przez dwa. Potęga dowolnej liczby o wykładniku dwa jest nazwana jej kwadratem. Potęga o podstawie naturalnej zakończonej cyfrą dwa wykładniku, który po podzieleniu przez cztery daje resztę jeden ma w rzędzie jedności cyfrę dwa, na przykład: 221=2 097 152 42453=……………..2 Pierwiastek dowolnego stopnia z liczby dwa jest liczbą niewymierną.

Oto ciekawe działania z dwójkami: 22•22=484 22•222=4884 22•2222=48 884 22•22222=488 884, itd. Przez dwa różne punkty na płaszczyźnie przechodzi dokładnie jedna prosta. Każdy odcinek ma dwa końce. Każdy czworokąt ma dokładnie dwie przekątne. Prostokąt, romb odcinek mają po dwie osie symetrii. Dawna jednostka długości o nazwie łokieć miała dwie stopy.

Trzy Trzy jest najmniejszą pierwszą liczbą nieparzystą. Każda liczba złożona ma co najmniej trzy dzielniki. Liczba naturalna jest podzielna przez trzy, jeśli suma jej cyfr jest liczbą podzielną przez trzy. Potęga dowolnej liczby o wykładniku trzy jest nazywana jej sześcianem. Odwrotność liczby trzy wynosi: 1/3=0,33333... Potęga o podstawie naturalnej zakończonej cyfrą trzy i wykładniku który po podzieleniu przez cztery daje resztę jeden ma w rzędzie jedności cyfrę trzy, na przykład: 333= 5559060566555523 813441=…….3 19932009=…….3

Każdy ułamek zwykły nieskracalny o mianowniku podzielnym przez trzy ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone okresowe. Pierwiastek dowolnego stopnia z liczby trzy jest liczbą niewymierną. Oto ciekawe tożsamości z liczbami zapisanymi z użyciem wyłącznie trójek: 33•33=1089 333•333=110 889 3333•3333=11 108 889 33333•33333=1 111 088 889, itd. Kolejne interesujące zależności można otrzymać mnożąc dwie kolejne liczby, z których pierwsza składa się z samych trójek: 3•4=12 33•34=1122 333•334=111 222 3333•3334=11 112 222, itd. W każdym wierzchołku dowolnego wielościanu spotykają się co najmniej trzy krawędzie i co najmniej trzy ściany.

Cztery Cztery jest sumą dwójek, ich iloczynem oraz kwadratem liczby 2: 4=2+2, 4=2•2, 4=22 Cztery jest najmniejszą liczbą złożoną i ma trzy dzielniki(1,2,4). Liczba naturalna jest podzielna przez cztery , jeśli dwie ostatnie jej cyfry tworzą liczbę podzielną przez cztery (lub są zerami) Kwadrat dowolnej liczby naturalnej zakończonej czwórką ma w rzędzie jedności cyfrę sześć. Potęga o podstawie naturalnej zakończonej cyfrą cztery i wykładniku nieparzystym ma w rzędzie jedności cyfrę cztery na przykład: 421=4 398 046 511 104 194123=………4 18841887=……..4

Potęga o podstawie cztery i wykładniku o cyfrze jedności równej dziewięć kończy się cyframi 44, na przykład 419=274877906944, 42009=……4 Dwie proste nierównoległe dzielą płaszczyznę na cztery części. Nie ma wielokąta, który ma dokładnie cztery przekątne. Wielokąt wklęsły musi mieć przynajmniej cztery boki. Godzina ma cztery kwadranse. W talii kart są cztery kolory. Są cztery strony świata. Stosowana dawniej jednostka pojemności o nazwie garniec odpowiada czterem litrom.

Pięć Pięć jest liczbą pierwszą i sumą dwóch najmniejszych kolejnych liczb pierwszych: 5=2+3. Dowolna liczba naturalna jest podzielna przez pięć, jeżeli cyfrą jedności tej liczby jest zero lub pięć. Potęga liczby zakończonej piątką o wykładniku naturalnym dodatnim ma w rzędzie jedności cyfrę pięć Dwie ostatnie cyfry kwadratu liczby zakończonej piątką to dwa i pięć, a cyfry stojące przed nimi są wynikiem mnożenia liczby otrzymanej po skreśleniu piątki przez liczbę o jeden większą, na przykład 152=225 (2=1•2) 252=625 (6=2•3) 352=1225 (12=3•4)

452=2025 (20=4•5) 1652=27 225 (272=16•17) 2052=42 025 (420=20•21 itd. Oto ciekawe kwadraty liczb mających w rzędzie jedności piątkę: 652=4225 6652=442 225 66652=44 422 225 66 6652=4 444 222 225, itd. Pierwiastek dowolnego stopnia z liczby pięć jest liczbą niewymierną. Ułamki nieskracalne o mianownikach będących iloczynami samych piątek (samych dwójek lub trójek i piątek) mają rozwinięcia dziesiętne skończone. Liczba pięć jest piątym wyrazem w ciągu Fibonacciego. Pięciokąt ma pięć przekątnych i jest jedynym wielokątem, w którym liczba przekątnych jest taka sama jak liczba boków

Sześć Sześć jest najmniejszą liczbą naturalną mającą cztery dzielniki (1,2,3,6) Sześć jest jedyną liczbą równą iloczynowi swoich dzielników mniejszych od siebie (jest tzw. Liczbą doskonałą) oraz sumie tych dzielników: 6=1+2+3. Cyfrą jedności potęgi o podstawie naturalnej zakończonej szóstką i wykładniku różnym od zera jest zawsze sześć, na przykład: 613 =13 060 694 016, 20062006 =…………..6, 121262009=………….6 Pierwiastek z dowolnego stopnia z liczby sześć jest liczba niewymierną. Trzy osoby można ustawić w rzędzie na sześć różnych sposobów

Ciekawe tożsamości z liczbami zapisanymi z użyciem szóstek: 62=36 662=4356 6662=44 435 556, itd. 6•7=42 66•67=4422 666•667=444 222 6666•6667=44 442 222, itd. Nie istnieje wielokąt, który ma dokładnie sześć przekątnych. Stosowana dawniej jednostka długości o nazwie sążeń miała sześć stóp.

Siedem Siedem jest największą jednocyfrową liczbą pierwszą. Ułamki nieskracalne o mianownikach, będących wielokrotnościami liczby siedem, mają rozwinięcia dziesiętne nieskończone okresowe. Siedem można zapisać tylko w jeden sposób w postaci sumy trzech różnych liczb naturalnych:7=1+2+4. rozkład ten przydaje się w uzupełnianiu diagramu kakuro (łamigłówki podobnej do sudoku). Potęga o podstawie naturalnej zakończonej cyfrą siedem i wykładniku, który po podzieleniu przez cztery daje resztę jeden, ma w rzędzie jedności cyfrę siedem, na przykład: 717=232 630 513 987 207 7301 =….7 457465=….7 20072009=….7 Pierwiastek dowolnego stopnia z liczby siedem jest liczbą niewymierną.

Jeżeli zapiszemy iloczyny kolejnych wielokrotności liczby 15873 przez siedem to otrzymamy ciekawe wyniki: 15 873•7=111 111 31 746•7=222 222 47 619•7=333 333 63 492•7=444 444 79 365•7=555 555 95 238•7=666 666 111 111•7=777 777 126 984•7=888 888 142 857•7=999 999 Liczba 142 857 jest przy tym określeniem w rozwinięciu ułamka 1/7= 0,142857142857…. Maksymalną liczba obszarów, na które można podzielić płaszczyznę trzema prostymi ,jest siedem.

Osiem Osiem jest liczbą równą iloczynowi swoich dzielników mniejszych od siebie 8=1•2•4 Osiem jest sześcianem liczby dwa: 8=23. Potęga o podstawie zakończonej cyfrą osiem i wykładniku który po podzieleniu przez cztery daje resztę jeden, ma w rzędzie jedności cyfrę osiem, na przykład: 18301=……..8 668669=………8 20082009 =……..8 Ułamki zwykłe o mianowniku osiem mają rozwinięcia dziesiętne skończone Ósemka jest jedynym wyrazem w ciągu Fibonacciego, która jest jednocześnie sześcianem.

Nie istnieje wielokąt wypukły który ma dokładnie osiem przekątnych. Wielościan foremny o ośmiu ścianach , które są przystającymi trójkątami równobocznymi, to ośmiościan foremny

Dziewięć Dziewięć jest największą i jednocześnie jedyną nieparzystą liczbą jednocyfrową złożoną. Dziewięć jest suma trzech kolejnych liczb naturalnych : 9=2+3+4. Liczba jest podzielna przez dziewięć, jeżeli suma jej cyfr tworzy liczbę podzielną przez dziewięć. Potęgo o podstawie naturalnej, zakończonej cyfrą dziewięć i wykładniku nieparzystym, ma w rzędzie jedności cyfrę dziewięć, na przykład: 913=2 541 865 828 329 39333=………9 129129=………9

20092009=……..9 Ułamki zwykłe nieskracalne o mianownikach dziewięć mają rozwinięcia dziesiętne nieskończone okresowe o okresie długości jeden, na przykład: 4/9=0,4444… Mnożąc dowolną liczbę przez dziewięć, możemy pomnożyć ją przed dziesięć i od otrzymanego iloczynu odjąć tę liczbę, na przykład: 497•9=4970-497=4473 Mnożąc dowolną liczbę przez 99, możemy pomnożyć ją przez 100 i od otrzymanego iloczynu odjąć tę liczbę, na przykład: 759•99=75 900-759=75 141 Jeżeli zapiszemy dowolną liczbę dwucyfrową, w której cyfry różnią się o jeden oraz liczbę z cyframi w odwrotnej kolejności i od większej odejmiemy mniejszą, to otrzymamy w wyniku dziewięć, na przykład: 54-45=9

65-56=9 76-67=9, itd. Jeżeli zapiszemy dowolną liczbę trzycyfrową, w której pierwsza i ostatnia cyfra są różne oraz liczbę złożoną z tych samych cyfr w odwrotnej kolejności (są to tzw. Liczby lustrzane) i od większej odejmiemy mniejszą, to cyfra dziesiątek wyniku jest dziewięć, a sam wynik jest liczbą podzielną przez dziewięć, na przykład: 371-173=198 522-225=298 703-307=396 Oto ciekawe wartości kwadratów liczb naturalnych złożonych z samych dziewiątek: 92=81 992=9801 9992=998 001 99992=99 980 001 itd. Sześciokąt wypukły ma dziewięć przekątnych.

Bibliografia Szczepan Jeleński, lilavati, WSiP, Warszawa 1992 Praca zbiorowa, Encyklopedia Szkolna. Matematyka w Szkole nr 10/2009 Ciekawostki o liczbach-Małgorzata Wrzesińska Matematyka, WSiP, Warszawa 1997

Wykorzystane strony internetowe: www.eduwiedza.ovh.org www.zadane.pl www.math.edu.pl www.matzoo.pl