Dane informacyjne Nazwa szkoły: Gimnazjum im.Dr.Maksymiliana Krybusa w Książu Wielkopolskim ID grupy: 98/80_mf_g1 Opiekun: Barbara Staszak Kompetencja: matematyka i fizyka Temat projektowy: Niedziesiątkowe systemy liczenia Semestr/rok szkolny: IV /2011/2012

Niedziesiątkowe systemy liczenia MF_98/80_G1 Niedziesiątkowe systemy liczenia

Dwójkowy system liczbowy zwany binarnym systemem liczbowym W dwójkowy systemie liczbowym do zapisywania liczb używa się dwóch znaków zwanych bitami: 0 i 1 . System dwójkowy jest pozycyjnym systemem liczbowym o podstawie 2 stosowanym we wszystkich urządzeniach elektronicznych, w szczególności w komputerach. Liczba zapisana w dwójkowym systemie liczbowym nazywana jest liczbą binarną.

Wartość liczbowa tego ciągu jest równa Każda liczba całkowita nieujemna w systemie binarnym jest reprezentowana za pomocą ciągu bitów an , an-1 , an-2 ,…,a0. Wartość liczbowa tego ciągu jest równa an·2n + an-1·2n-1 +…+a1·21 +a0·20

Zamiana liczby z systemu dziesiętnego na binarny Liczba 17 jest zapisana w systemie dwójkowym jako 100012, bo 17= 1·24 + 0·23 + 0·22 + 0·21 +1·20 = 1·16 +0·8 +0·4 +0·2+ 1·1=16+1

Zamiana liczby z systemu binarnego na dziesiętny 110101(2) = 1·25 +1·24 + 0·23 + 1·22 + 0·21 + 1·20 = 1·32 + 1·16 + 0·8 +1·4 + 0·2 + 1·1 = 32+16+4+1= 53

Zamiana liczby z systemu dziesiętnego na binarny Aby zapisać liczbę całkowitą nieujemną w systemie dwójkowym należy wielokrotnie wykonywać dzielenie tej liczby przez 2 zapisując uzyskane reszty z dzielenia. Ciąg reszt z dzielenia odczytany w odwrotnej kolejności utworzy binarny zapis danej liczby.

Zamiana liczby z systemu dziesiętnego na binarny Zamień liczbę 283 w systemie dziesiątkowym na system dwójkowy. Działanie Część całkowita Reszta 283 : 2 141 1 141:2 70 70:2 35 35:2 17 17:2 8 8:2 4 4:2 2 2:2 1:2 kierunek odczytu 283(10) = 100011011(2)

Zamiana ułamka z systemu dziesiętnego na binarny Aby ułamek zapisać w systemie dwójkowym, należy mnożyć go wielokrotnie przez 2, zapisując uzyskane całości

Zamiana ułamka z systemu dziesiętnego na binarny Działanie Iloczyn Część ułamkowa Część całkowita 0,2·2 0,4 0,4·2 0,8 0,8·2 1,6 0,6 1 0,6·2 1,2 0,2 … …. kierunek odczytu 0,2(10) = 0,(0011)(2)

Tabelka dodawania w systemie dwójkowym + 1 10

1 + Dodanie liczby binarnych 1111001(2) i 10010(2) korzystając z tabeli dodawania . 1 +

Sumowane liczby zapisujemy jedna pod drugą tak, aby w kolejnych kolumnach znalazły się cyfry stojące na pozycjach o tych samych wagach (identycznie postępujemy w systemie dziesiętnym zapisując liczby w słupkach przed sumowaniem). Sumowanie rozpoczynamy od ostatniej kolumny. Sumujemy cyfry w kolumnie zgodnie z podaną tabelką zapisując wynik pod kreską: Jeśli wynik sumowania jest dwucyfrowy (1 + 1 = 10), to pod kreską zapisujemy tylko ostatnią cyfrę 0, a 1 przechodzi do następnej kolumny - dodamy ją do wyniku sumowania cyfr w następnej kolumnie. Jeśli w krótszej liczbie zabrakło cyfr, to dopisujemy zera. Pamiętajmy o przeniesieniach.

Tabliczka odejmowania w systemie binarnym. 0-0= 0 0-1 = 1 i pożyczka do następnej pozycji 1-0 = 1 1-1 = 0 Pożyczka oznacza konieczność odjęcia 1 od wyniku odejmowania cyfr w następnej kolumnie.

Odejmowanie w systemie dwójkowym   1 -  1101110(2) - 1111(2) = 1011111(2)  czyli 110(10) - 15(10) = 95(10).

1 – 1 = 0 ; 0 – pożyczka 1 = 1 i pożyczka 1 1 – 0 = 1

Tabela mnożenia w systemie dwójkowym · 1

Mnożenie w systemie dwójkowym   1 x + Każdą cyfrę mnożnej mnożymy przez poszczególne cyfry mnożnika zapisując wyniki mnożeń w odpowiednich kolumnach ( tak samo jak w systemie dziesiętnym) ,a tutaj jest nawet prościej, gdyż wynik mnożenia cyfry przez cyfrę jest zawsze jednocyfrowy. Puste kolumny uzupełniamy zerami i dodajemy do siebie wszystkie cyfry w kolumnach.

Dzielenie w systemie dwójkowy   1  - wynik dzielenia  - dzielna  - przesunięty dzielnik  - dzielna po pierwszym odejmowaniu przesuniętego dzielnika  - dzielna po drugim odejmowaniu przesuniętego dzielnika  - dzielnik na swoim miejscu, odejmowanie niemożliwe  - reszta z dzielenia 1101(2) : 10(2) = 110(2) i resztę 1(2)

Tabela dodawania w systemie trójkowym + 1 2 10 11

Tabela mnożenia w systemie trójkowym · 1 2 11

Tabela dodawania w systemie czwórkowym + 1 2 3 10 11 12

Tabela mnożenia w systemie czwórkowym · 1 2 3 10 12 21

Tabela dodawania w systemie piątkowym + 1 2 3 4 10 11 12 13

Tabela mnożenia w systemie piątkowym · 1 2 3 4 14 11 13 22 31

Tabela dodawania w systemie szóstkowym + 1 2 3 4 5 10 11 12 13 14

Tabela mnożenia w systemie szóstkowym · 1 2 3 4 5 10 12 14 13 20 23 24 32 41

Mnożenie w systemie szóstkowym. (2 3 4 5)6 · (3 2 1 + 5 (1 1)6

Tabelka dodawania w systemie siódemkowym. + 1 2 3 4 5 6 10 11 12 13 14 15

Dodawanie w systemie siódemkowym 1 (3 4 5)7 + (2 6 6)7 (6 4)7 Przy dodawaniu korzystamy z tabeli dodawania w systemie siódemkowym Krok 1: 5 + 6 = 14 zapisujemy 4 , a jedynkę przenosimy do rzędu wyższego Krok 2: 1 + 4 + 6 = 14 zapisujemy 4 , a jedynkę przenosimy do rzędu wyższego Krok 3: 1 + 3 + 2 = 6

Zamiana liczb ( 345 )7 , ( 266 )7 , ( 644 )7 na system dziesiątkowy : Sprawdzenie: Zamiana liczb ( 345 )7 , ( 266 )7 , ( 644 )7 na system dziesiątkowy : ( 345 )7 = 3· 72 + 4· 71 + 5· 70 = 3· 49 + 4·7 + 5·1 =147 + 28 + 5 = 180 ( 266 )7 = 2· 72 + 6· 71 + 6· 70 = 2· 49 + 6·7 + 6·1 =98 + 42 + 6 = 146 ( 644 )7 = 6· 72 + 4· 71 + 4· 70 = 6· 49 + 4·7 + 4·1 =294 + 28+4 = 326 1 8 + 4 6 3 2

Tabela mnożenia w systemie siódemkowym · 1 2 3 4 5 6 11 13 15 12 21 24 22 26 33 35 42 51

Tabela dodawania w systemie ósemkowym + 1 2 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14 15 16

Tabela mnożenia w systemie ósemkowym · 1 2 3 4 5 6 7 10 12 14 16 11 17 22 25 20 24 30 34 31 36 43 44 52 61

Zamiana ułamka z systemu dziesiętnego na ósemkowy Działanie Iloczyn Część ułamkowa Część całkowita 0,2·8 1,6 0,6 1 0,6·8 4,8 0,8 4 0,8·8 6,4 0,4 6 0,4·8 3,2 0,2 3 … …. 0,2(10) = 0,(1463)(8)

Tabela dodawania w systemie dziewiątkowym. + 1 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 14 15 16 17

Tabela mnożenia w systemie dziewiątkowym. · 1 2 3 4 5 6 7 8 11 13 15 17 10 16 20 23 26 22 31 35 27 33 38 44 40 46 53 54 62 71

System szesnastkowy (heksadecymalny). Podstawą systemu heksadecymalnego jest liczba 16, w związku z czym, do zapisu liczb używanych jest 16 cyfr: od 0 do 9 i litery od A do F (A-10 B-11, C-12, D-13, E-14, F-15).

System szesnastkowy używany jest do zapisywania dużych liczb za pomocą małej ilości znaków, ponieważ jego wartości wraz ze wzrostem ilości cyfr dość szybko rosną, i tak: FFF(16) = 4095(10) FFFFF(16) = 1048575(10) FFFF(16) =65535(10) FFFFFF(16) = 16777215(10)

Dodawanie heksadecymalne Zasada dodawania heksadecymalnego polega na tym, że w przypadku gdy z dodawania poszczególnych cyfr wynikiem będzie liczba większa niż 15 należy rozbić ją na sumę z liczbą16, zapisując resztę jako wynik, zaś liczbę 16 jako 1 nad następną dodawaną cyfrą.

Dodawanie heksadecymalne B C + 2 1 D C+1 = 12 +1 = 13 = D B + 2= 11 + 2 = 13 = D A + 2 = 10 + 2 = 12 =C

Dodawanie heksadecymalne 1 A B C + 2 D 4 E 9 C + D = 12 + 13 = 25 = 16 + 9 B + 2 + 1 = 11 +2 +1 = 14 = E A + A = 10 + 10 = 20 = 16 + 4

Odejmowanie heksadecymalne Zasada odejmowania heksadecymalnego jest identyczna do zasady odejmowania w systemie dziesiętnym, gdy odejmujemy mniejszą cyfrę od większej. A B C - 2 1 8 9 C – 1 = 12 – 1 = 11 = B B – 2 = 11 -2 = 9 A – 2 = 10 – 2 = 8

Odejmowanie heksadecymalne W przypadku gdy odejmujemy cyfrę większą od mniejszej , „pożyczamy” jedność od „starszej” cyfry, która przechodzi na młodszą jako 10 szesnastkowo, czyli 16 dziesiętnie. A 10 B C - 2 D 8 F 10(16) + C – D = 16 +12 – 13 = 28 – 13 = 15 = F A – 2 = 10 – 2 = 8 A – A =0

Dziękujemy !!! 98/80_MF_G1 Skład grupy: Sandra Jagielska, Agnieszka Kryś, Aleksandra Golińska, Beata Kostka, Martyna Lewandowicz, Weronika Jankowiak, Martyna Walkowiak, Sebastian Bojski , Patryk Jędrzejczak, Mateusz Kasprzak. Weronika Gauza, Martyna Adamiak Opiekun grupy Barbara Staszak