Dane informacyjne szkoły zapraszającej w projekcie MGP Nazwa szkoły: Gimnazjum im. Noblistów Polskich w Koźminku ID grupy: 98/44_mf_g2 Opiekun: p. Edyta Trocha Kompetencja: Matematyczno - fizyczna Temat projektowy: Liczby wymierne są ok.! Semestr/rok szkolny: Semestr V , rok szkolny 2011/2012

Wprowadzenie… Temat, jaki wybraliśmy do realizacji projektu „Z fizyką, matematyką i przedsiębiorczością z dobywamy świat” w V semestrze „Liczby wymierne są ok!” W ramach tego tematu, omawialiśmy najważniejsze zagadnienia dotyczące własności liczb wymiernych. Słuchaliśmy wykładu, rozwiązywaliśmy przygotowane zadania i układaliśmy własne gry i zabawy dydaktyczne. Założeniem naszym już od samego początku było stworzenie repetytorium –bazy wiedzy o liczbach wymiernych wraz z przykładowymi zadaniami, grami matematycznymi i przekazanie naszego dzieła Szkole Podstawowej im. Andrzeja Mielęckiego w Koźminku, po aby młodsi koledzy mogli dowiedzieć się o liczbach wymiernych nieco więcej .

Zapraszamy więc do obejrzenia Głównym naszym założeniem było: doskonalenie umiejętności matematycznych zgodnych z podstawą programową, rozwijanie własnych zainteresowań, umiejętne selekcjonowanie i przetwarzanie wyszukiwanych przez nas informacji, wyrabianie umiejętności współpracy z kolegami w grupie. Każdy z nas przygotowywał określone zadania według wcześniej wspólnie ustalonej instrukcji. Zapraszamy więc do obejrzenia efektów naszej pracy!

Część teoretyczna-Liczby wymierne…

Liczby wymierne… Liczby wymierne – są to liczby, które można zapisać w postaci ilorazu dwóch liczb całkowitych, gdzie druga jest różna od zera. Są to więc liczby, które można przedstawić za pomocą ułamka zwykłego.

Przykłady zapisu liczb wymiernych… Liczby zapisane w postaci ułamków zwykłych są liczbami wymiernymi .

Każda liczba całkowita, w tym też naturalna, jest liczbą wymierną Każdy z tych ułamków po skróceniu to ta sama liczba wymierna  Każdy ułamek dziesiętny jest liczbą wymierną Każda liczba o rozwinięciu dziesiętnym nieskończonym okresowym jest liczbą wymierną, są reguły zamiany takich liczb na liczby wymierne

Budowa ułamka zwykłego Ułamek składa się z dwóch części mianownika i licznika. Mianownik znajduje się pod kreską ułamkową licznik z kolei nad kreską ułamkową.

Ułamki dziesiętne… Ułamki dziesiętne zapisuje się bez kreski ułamkowej, ale specjalną funkcję pełni przecinek dziesiętny, który oddziela część całkowitą od części ułamkowej. 12,3456  Pierwsze miejsce po przecinku oznacza części dziesiąte, drugie - części setne, trzecie - części tysięczne, czwarte - części dziesięciotysięczne itd.

Sposoby zamieniania ułamków… Ułamki zwykłe zamieniamy na dziesiętne: I sposób: rozszerzając je tak, aby w mianowniku otrzymać 10, 100, 1000; II sposób: dzieląc licznik przez mianownik.

Przykłady na I sposób zamiany: Ułamki te mają rozwinięcie dziesiętne (postać dziesiętną) skończone.

Przykłady na II sposób zamiany:

Każdy ułamek zwykły ma rozwinięcie dziesiętne (postać dziesiętną) skończone lub nieskończone okresowe.

Jakim ułamkiem jest 0,(3)? Można to zrobić tak: Oznaczamy przez x = 0,(3) Czyli…

Przykładowe zadanie… Ustaw liczby w kolejności malejącej: 0,3(6); 0,3; 0,0(3); 0,(3) ;⅓; 0,0(31); 0,3(61) ; ⅖ Rozwiązanie: ⅖ 0,3(6) 0,3(61) ⅓ 0,(3) 0,3 0,0(3) 0,0(31)

Rozwiązanie… 0,3+0,2+0,2+0,05=0,75 S.P- ⅓ = 0,3 1,5l -0,75= 0,75l S.G- 0,2 S.C- 0,05 S.O- ⅕ = 0,2 Odp. Aby otrzymać 1,5 l napoju należy dolać 0,75l .

Rzymski system zapisywania liczb…

Jakich znaków używa się do zapisywania liczb systemem rzymskim? V = 5 D = 500 X = 10 M = 1000

Które liczby powstają z dodawania znaków? 6 = (V + I) = VI 11 = (X + I) = XI 60 = (L + X) = LX 110 = (C + X) = CX 600 = (D + C) = DC 1100 = (M + C) = MC

Które liczby powstają z odejmowania znaków? 4 = (V – 1) = IV 9 = (X – I) = IX 40 = (L – X) = XL 90 = (C – X) = XC 400 = (D – C) = CD 900 = (M – C) = CM

Zasady obowiązujące przy systemie rzymskim? Obok siebie można zapisać tylko trzy jednakowe znaki I, X, C, M. Nie wolno powtarzać obok siebie znaków V, L, D.

Gdzie dzisiaj używa się zapisu liczb systemem rzymskim? Przy zapisywaniu dat i wieków 11 XI 1918 Przy numeracji ważnych rocznic XV Konkurs Chopinowski Przy imionach kolejnych królów Zygmunt III Waza

Gdzie jeszcze używa się zapisu liczb systemem rzymskim… Do oznaczania godzin na tarczy zegarowej Przy numeracji rozdziałów Na tablicach pamiątkowych W inskrypcjach

Jak zapisać systemem rzymskim… ICI = 10 000 IXLVII = 4 600 IDCIVI = 60 400 Liczby w pionowych kreskach zwiększają swoją wartość stukrotnie.

Jak zapisać systemem rzymskim… 30 000 XXX = DV = 505 000 MM = 2 000 000 Liczby podkreślone u góry zwiększają swoją wartość tysiąckrotnie.

Przykładowe zadanie… 78 = XLV = 45 LXXVIII 94 = LXXIX = 79 XCIV 116 = 78 = XLV = 45 LXXVIII 94 = LXXIX = 79 XCIV 116 = CXVI CCXLVI = 246 CDXCIV = 494 465 = CDLXV MMM = 3000 999 = CMXCIX lub IM

Przykładowe zadania… Zadanie 1. Spośród podanych zapisów wybierz te, które są poprawne i zapisz je cyframi arabskimi: DC ; IC ; CD ; CMXL ; IXIX ; MMM; DDD DC = 500 + 100 = 600 IC – sprzeczne z zasadami zapisu (Bezpośrednio przed L i C można zapisać tylko X) CD = 500 – 100 = 400 CMXL = (1000 – 100) + (50 – 10) = 940

Zadanie 1 – ciąg dalszy. IXIX = 9 + 9 = 18 ale 18 w zapisie rzymskim to XVIII więc ten zapis nie ma sensu MMM = 1000 + 1000 + 1000 = 3000 DDD – sprzeczne z zasadami zapisu (Znaki V, L i D nie mogą stać obok siebie)

Zadanie 2. Odczytaj numer podanego liceum: XLIX LO im Zadanie 2. Odczytaj numer podanego liceum: XLIX LO im. Johanna Wolfganga Goethego XLIX = (50 – 10) + (10 – 1) = 49 Jest to czterdzieste dziewiąte liceum ogólnokształcące im. Johanna Wolfganga Goethego

Zadanie 3. Zapisz datę rozpoczęcia i zakończenia podanego wydarzenia historycznego przy użyciu symboli rzymskich: Wojna stuletnia: 1337 – 1453 1337 = MCCCXXXVII 1453 = MCDLIII Wojna stuletnia: MCCCXXXVII – MCDLIII

Prosta przypominająca poziomo ułożoną linijkę to oś liczbowa.

Oś liczbowa… Na osi zaznaczono położenie liczby 0. Długość odcinka od 0 do 1 to odcinek jednostkowy. Każdemu punktowi przyporządkowano liczbę, którą nazywamy współrzędną.

Strzałka wskazuje, że w prawą stronę współrzędne rosną Strzałka wskazuje, że w prawą stronę współrzędne rosną. Oznacza to, że z dwóch liczb większa jest ta, która leży bardziej na prawo. Długość odcinka jednostkowego wybierasz dowolnie, w zależności od potrzeb i możliwości.

Odczytaj współrzędne punktów zaznaczonych na osiach liczbowych. Przykładowe zadanie… Odczytaj współrzędne punktów zaznaczonych na osiach liczbowych. Na osi zaznaczono położenie liczb 0 i 2. Między nimi są dwa odcinki, co wskazuje, że od 0 do pierwszej pionowej kreski jest 1. W takim razie każda następna pionowa kreska to liczba większa o jeden.

Wiesz już to o osi co jest najważniejsze Wiesz już to o osi co jest najważniejsze. Jak widać nie jest to wcale takie trudne, a może pomóc zaprzyjaźnić się z liczbami.

Mieszkańcy osi liczbowej… (szkoła podstawowa)

Liczba naturalna… Liczby naturalne to 0, 1, 2, 3 ... 49, 50 ... 1022, 1023 ... Najmniejszą liczbą naturalną jest 0. Największa liczba naturalna nie istnieje, ponieważ zawsze można podać liczbę o 1 większą od danej.

Liczba całkowita… Jeżeli znany Ci zbiór liczb naturalnych zaznaczysz na osi liczbowej i uzupełnisz o liczby leżące w tej samej odległości od 0, lecz po przeciwnej stronie, to otrzymasz zbiór liczb całkowitych.

Liczba dodatnia i ujemna… Liczby leżące na lewo od 0 to liczby ujemne. Zapisujemy je ze znakiem „-” i czytamy: Liczby leżące na prawo od 0 to liczby dodatnie.

Przykład działań na liczbach…

Przykłady działań na liczbach…

Przykładowe zadanie…

Przykładowe zadanie…

Wartość bezwzględna liczby… Odległość liczby (na osi liczbowej) od zera nazywamy wartością bezwzględną.

Przykładowe zadanie… Rozwiąż równanie: a) c) b)

Przykładowe zadania*… Rozwiąż równania: a) b) c)

Po co zaokrąglamy liczby? Wiesz ile jest tlenu w powietrzu? 21%. Czy na pewno idealnie 21%? Wiesz jaką powierzchnię ziemi zajmują oceany? 71%? Równo 71%? Mówimy „mniej więcej”, ale co to znaczy? To zaokrąglenie. Zaokrąglania uczymy się, by łatwiej mówić o liczbach.

Co powinniśmy wiedzieć? W następnym slajdzie dowiecie się co powinniście wiedzieć przez zaokrąglaniem liczb. Znacie liczby rzymskie i arabskie prawda? Zaokrągla się tylko liczby arabskie. Musicie rozróżniać rzędy cyfr. Co to rzędy cyfr? Już wyjaśniam: rząd cyfr to rząd w którym stoi cyfra.

Rzędy cyfr… setek tysięcy jedności Rzędy: dziesiątek Części setnych 1 2 3 4 , 5 6 7 setek tysięcy jedności Rzędy: dziesiątek Części setnych Części dziesiątych Części tysięcznych

Rzędy cyfr… Analogicznie, gdybyśmy przed 1 dopisali np. 9 to ta liczba stałaby w rzędzie dziesiątek tysięcy, a gdybyśmy przed nią postawili np. 8 to liczba ta stałaby w rzędzie setek tysięcy. Tak samo z tyłu liczby… Możemy z tyłu dopisać jakieś liczby. W tedy liczba po 7 stałaby w rzędzie części tysięcznych itd.

Zaokrąglenie… Zaokrąglając liczbę patrzymy na kolejną liczbę. Jeśli liczba ta jest większa od 4 (5,6,7,8,9) to zaokrąglaną cyfrę powiększamy o jeden a za resztę cyfr podstawiamy „0”. Jeżeli natomiast po zaokrąglanej cyfrze jest liczba mniejsza niż 5 (1,2,3,4) to cyfrę zostawiamy taką jaka jest, a resztę zamieniamy w zera.

Zaokrąglenie… Pisząc zaokrąglenia liczb używa się znaku ≈ Te dwie poziome fale mówią nam, że liczba jest użyta w przybliżeniu. Np. Do dziesiątek 11 ≈10 49 ≈50

Wskazówki- zaokrąglenie… Rzędy cyfr licz od przecinka, jest wygodniej :) Np. 234,567 Od przecinka w prawo to rzędy: części dziesiętnych, części setnych i części tysięcznych. Natomiast od przecinka w lewo to rzędy: jedności, dziesiątek i setnych.

Wskazówki… Gdy chcesz zaokrąglić można postawić sobie kreskę za liczbą którą chcemy zaokrąglić, co nam to da? Wygodniej się zaokrągla. Od razu wiadomo na którą liczbę patrzyć. Na którą patrzyć? O co chodzi? To nie takie trudne jak się wydaje. Najłatwiej jednak tłumaczy się na przykładach, więc wytłumaczę to w następnych slajdach.

Zaokrąglanie do jedności… Podpunkty c) i d) zrób sam… Wskazówka: W d), jeżeli nie ma po cyfrze żadnej to wpisujemy za nią „0” 34,560

Zaokrąglanie do dziesiątek… Zaokrąglając do dziesiątek (10), liczbę musimy zostawić w postaci wielokrotności liczby 10, czyli 10,20,30,60,90 itd. Jak wcześniej, tylko tym razem po cyfrze dziesiątek postaw . Np. 34,56 . Po czym postawić ? Oczywiście, że po 3. Czyli 3 4,56 to w zaokrągleniu 30, bo 4 jest mniejsze niż 5 :)

Zaokrąglanie do 10-tek, oś liczbowa: Przykłady… Zaokrąglanie do 10-tek, oś liczbowa:

Przykład, rozwiązanie… 34,56 Po dziesiątkach stawiamy , więc: Zaokrąglając patrzymy na liczbę po Po kresce jest 4, więc zostawiamy liczbę przed taką jaką jest, a za resztę podstawiamy 0 Czyli w zaokrągleniu do 10-tek wyjdzie: 30,00

Zaokrąglanie do setek… Zaokrąglając do setek (100) zawsze musimy zostawić liczbę z dwoma zerami na końcu, np. 100,300,1200 itd. Np. 139, po 1 stawiamy , po 1 jest 3 czyli zostawiamy jedynkę, a za resztę wpisujemy zera. Wychodzi nam 100 A 11 do setek? Przed liczbą można dopisać sobie zera, jest wygodniej. 0 11 to w zaokrągleniu do 100-tek to 0

Zaokrąglanie do części dziesiętnych… Przy zaokrąglaniu do części dziesiątych (0,1) zostawiamy liczbę z jedna cyfrą po przecinku. Stawiamy zawsze po pierwszej cyfrze po przecinku np. przy 12,34 stawiamy tak: 12,3 4 4 jest mniejsze niż 5, więc 3 zostawiamy. 12,34 w zaokrągleniu do 0,1 wynosi 12,3

Przykładowe zadanie… Idziesz do sklepu, za rzeczy masz zapłacić 2,99zł, 12,78zł i 20,12zł. Nie łatwiej przyjąć, że zapłacisz 3zł, 13zł i 20zł? Zaokrąglijmy te liczby. W zaokrągleniu wyjdzie 3+13+20=36zł. W rzeczywistości: 2,99+12,78+20,12=35,95. W tym przypadku różnica wynosi 5gr.

Przykład… 34,56 Zaokrąglijmy tą liczbę do części: a)dziesiątek b)jedności c)Części dziesiątych d)Części setnych

Przykład… Znów się wracamy do rzędów cyfr. Z poprzednich slajdów wiesz która cyfra stoi w którym rzędzie. Więc zaokrąglanie nie będzie problemem. Zaokrąglając do jedności postaw sobie kreskę ( ) po tej liczbie.

Przykład, rozwiązanie… b)Do jedności. Stawiamy kreskę po cyfrze w rzędzie jedności: 34 ,56 Po kresce jest 5, więc liczbę przed powiększamy o jeden. Powstanie: 35,00 , ale zer nie piszemy, więc 35

Zaokrąglając do jedności (1) musimy zostawić liczbę w postaci jedności, tj. bez przecinka np. 1,2,5,7,12,24,378,7893. Po cyfrze jedności postaw , by wiedzieć na jaką cyfrę patrzeć. Np. 14, 5 Po jest 5, więc cyfrę przed powiększamy o „1” Czyli w zaokrągleniu 14,5 to 15 +

Zaokrąglij do jedności: a)34,6 b)1,1 c)24,4533 d)10,90 e)16,16 f)99,1 Ćwiczenie… Zaokrąglij do jedności: a)34,6 b)1,1 c)24,4533 d)10,90 e)16,16 f)99,1

Zaokrąglij do 10-tek: a)14,54 b)29 c)99,5 d)54,49999 e)75 f)23 Ćwiczenie… Zaokrąglij do 10-tek: a)14,54 b)29 c)99,5 d)54,49999 e)75 f)23

Zaokrąglij do setek a)1467 b)199 c)473 d)49 e)345,234 f)1850 Ćwiczenie… Zaokrąglij do setek a)1467 b)199 c)473 d)49 e)345,234 f)1850

Ćwiczenie… Zaokrąglij do części dziesiętnych a)1.44 b)4.567 c)33,9123 d)0,85 e)9,99 f)1,01

Przypomnienie… = czy ≈ ? W którym rzędzie liczby 8653,97 stoi cyfra: Który znak oznacza zaokrąglenie? = czy ≈ ? W którym rzędzie liczby 8653,97 stoi cyfra: a)5 b)8 c)7 d)6 e)9

Najmniejsza i największa liczba… Teraz o najmniejszej i największej możliwej liczbie w przypadku zaokrąglenia. O co chodzi? Chodzi o to, żeby widzieć jaka mogłaby być najmniejsza i największa liczba przed zaokrągleniem. Np. Przy zaokrąglaniu do 10 liczba 20 mogłaby być 15,16,17…22,23,24. Przypomnijmy sobie oś z poprzednich slajdów.

Z osi widać, że w zaokrągleniu do 10 najmniejsza i największa liczba to odpowiednio 5 i 14. Przy zaokrągleniu do 1000 najmniejsza i największa liczba to 500 i 1499.

Szacowanie wykorzystuje się m.in. W: Jest to przybliżone określanie wartości jakiejś wielkości przy posiadaniu niepełnych danych, występowania zakłóceń lub stosowaniu uproszczonego modelu opisującego parametry, cechy lub charakter tej wielkości. Szacowanie wykorzystuje się m.in. W: metrologii - w metrologii szacuje się głównie niepewność pomiaru i wielkość błędów pomiarowych handlu - w handlu szacowanie stosuje się głównie przy określaniu ceny zbywanego towaru

Co nam daje szacowanie? Dziś szacujemy praktycznie wszystko i ciągle np. ile pieniędzy wydamy, czy nam wystarczy na zapłacenie rachunków, szacujemy powierzchnię działki, koszt wycieczki, koszt remontu, czas potrzebny na pokonanie określonej drogi itp. 1.Szacowanie pozwala oswoić się z liczbami, długościami, powierzchniami… Oceniając odległość, oswajamy się z tymi pojęciami, wyrabiamy sobie poczucie odległości. 2.Szacowanie pozwala sprawdzać wyniki. Jeśli potrafimy oszacować wynik działania, to możemy wykryć istotne błędy popełnione w zadaniu pisemnym, np. źle wstawiamy przecinek lub złą liczbę zer. 3.Szacowanie trenuje sprawność rachunkową. Szacowanie to wykonywanie w pamięci uproszczonych obliczeń. Co więcej, każdy może sobie dostosować stopień trudności obliczeń do własnych umiejętności.

Przykładowe zadanie… Liczba 120 jest przybliżeniem z nadmiarem pewnej liczby. Błąd bezwzględny tego przybliżenia wynosi 2,8. Oblicz błąd względny tego przybliżenia. Z podanych informacji wynika, że przybliżana liczba to Zatem błąd względny wynosi

Przykładowe zadanie Oblicz błąd bezwzględny przybliżenia: Więc liczymy:

Przykładowe zadanie Ile fal w ciągu roku przybije do plaży w Sopocie? Czy tych fal jest tyle, że każdy Polak mógłby mieć własną fale? 365*24*3600=

Przykładowe zadanie Czy udźwignąłbyś 1000 zł, gdyby kwotę tę podarowano ci w monetach jednogroszowych? Moneta jednogroszowa waży 1.65g

Przykładowe zadanie Najszybsze strusie mogą przebiec 100 metrów przez 3 sekundy. Prędkość, jaką mogą rozwinąć, wynosi…?

Przykładowe zadanie Jaką grubość osiągnąłby włos ludzki, gdyby jego grubość powiększyć milion razy? Czy zrówna się on średnicą z ramieniem, czy z przeciętnym pniem sosny?

Przykładowe zadanie Czy Chińczycy mogą nakryć Polskę czapkami? Przyjmijmy, że powierzchnia Polski to 312 tys. kilometrów kwadratowych, liczba mieszkańców Chin wynosi : 1 mld 200 mln, a średnica czapki to ok. 40 cm.

Zadania do samodzielnego rozwiązania

Zadanie 1… Zapisz datę rozpoczęcia i zakończenia podanego wydarzenia historycznego przy użyciu symboli rzymskich: Wojna stuletnia: 1337 = 1453 = Wojna stuletnia: MCCCXXXVII – MCDLIII

Zadanie 2… Odczytaj numer podanego liceum: XLIX LO im. Johanna Wolfganga Goethego Zadanie 3… Spośród podanych zapisów wybierz te, które są poprawne i zapisz je cyframi arabskimi: DC ; IC ; CD ; CMXL ; IXIX ; MMM; DDD

Zadanie 4 Oblicz: a)105+(-7)+(-13)+20 =  b)-16+67+(-10)+(-7)+66=  c)2 i 2/5+ (-4,1)+7 i3/5+(-5,9)=  d)4 i 4/7+5,4+(-1 i 4/7)+(-7,4)=  e)-0,75+6,3+(-1,1)+(- 1/4)+(-6,3)= 

17-10= 17-(-10)= -17-10= -17-(-10)= -13-15= -13-(-15)= 13-15= Zadanie 5 Oblicz w pamięci: 17-10=  17-(-10)=  -17-10=  -17-(-10)=  -13-15=  -13-(-15)=  13-15=  Oblicz Zadanie 6… Tato Zosi otrzymał zaliczkę 1000 zł, co stanowi ⅖ jego pensji. Ile zarabia tato Zosi?

Zadanie 7… Zadanie 8… ⅖ ⅗= Oblicz : ( + 0,5 : 3 ) : Marek wlał do dzbanka ⅓ litra soku pomarańczowego, 0,2 litra soku grejpfrutowego, 0,05 litra soku z cytryny i ⅕ litra syropu owocowego. Ile wody powinien dolać, aby otrzymać 1,5 litra napoju?

Zadanie 9… Zaokrąglij liczbę 374,043 do: a) setek, b) części dziesiątych, Zadanie 10… Która liczba jest zaokrągleniem liczby 0,945 do jedności? 0,9 945 1 1,9

Zadanie 11… Która liczba jest zaokrągleniem liczby 0,356 do części setnych? a)0,30 b)0,4 c)0,36 d)0,366 Zadanie 12… Która liczba jest zaokrągleniem liczby 45783,398 do tysięcy… a)46000 b)0,398 c)45000 d)45800

Zadanie 13 Podaj najmniejszą i największą możliwą liczbę przy zaokrągleniu do: a)3000 b)50 c)600 d)12,5 e)0,34

Zadanie 14… Zaokrąglij liczby… a) do 1 km 35 km 35m ≈ km 20 km 58 m ≈ km 13 km 801 m ≈ km b) do 1 m 4 m 47 cm ≈ m 8 m 28 cm ≈ m 8 dm ≈ m c) do 1 kg 4 kg 9 dag ≈ kg 65 dag ≈ kg 5 kg 500 g ≈ kg

Zaokrąglij liczbę 234509867 do miliona. Zadanie 15… Zaokrąglij liczbę 234509867 do miliona. Zadanie 16… Ile jest liczb całkowitych dodatnich n takich, że odległość na osi liczbowej między liczbami i 10 jest mniejsza niż 1. A) 19 B) 20 C) 38 D) 39 E) 40

Zadanie 17… Punkty A, B ,C, D leżą na prostej w pewnym porządku. Wiadomo, że IABI=13, IBCI=11, ICDI=14, IDAI=12 . Ile jest równa odległość pomiędzy skrajnie położonymi punktami? A) 25 B) 14 C) 38 D) 50 E) 39

Zadanie 18… Na osi liczbowej zaznaczono liczby 2006 i 6002. Liczbą jednakowo odległą od nich jest A) 3998 B) 4000 C) 4002 D) 4004 E) 4006

Zadanie 19… Na poniższym rysunku przedstawiona jest oś liczbowa z zaznaczonymi kolejnymi liczbami całkowitymi. Sześć z tych liczb oznaczono literami a, b, c, d, e, f . Wiadomo, że co najmniej dwie z nich są podzielne przez 3 i co najmniej dwie z nich są podzielne przez 5. Które liczby są podzielne przez 15?

Zadanie 20… Na osi liczbowej zaznaczono ułamki i . Która z liter oznacza ułamek ? A) a B) b C) c D)d E)e

Zadanie 21… Odczytaj współrzędne punktów A i B oraz C i D.

Dla jakich liczb x: a) |x| = 8 b) |x| = 0 c) |x|=2 d) |x| = -6 Zadanie 22… Dla jakich liczb x: a) |x| = 8 b) |x| = 0 c) |x|=2 d) |x| = -6 Zadanie 23*… Rozwiąż równania: a) |x| = 10 b)|3x| = 15 c) |x + 7| = 10 d) |x - 6| = 5 e) |x - 1| + |x + 3| = 4

Zapoznaj się z tą tabelką, bo następne zadanie będzie wzorowane na tej.

Uzupełnij tabelkę…

Zadanie 24… Zadanie 25… Ile jest liczb naturalnych których: a)Zaokrąglenie do dziesiątek jest równe 90 b) Zaokrąglenie do setek jest równe 2500 Zadanie 25… Czy liczba przeciwna do iloczynu dwóch liczb przeciwnych jest liczbą dodatnią czy ujemną?

Zadanie 26… Oszacuj, czy kwadrat, którego pole jest równe 80,997 cm ma bok krótszy czy dłuższy od 9 cm. Zadanie 27… W jednej skrzynce mieści się 19 kg jabłek. Oszacuj, czy wystarczy 248 takich skrzynek, aby przechować 5t takich jabłek.

Zadanie 28… Zapisz, używając symbolu wartości bezwzględnej, równość opisującą podany warunek i znajdź liczby spełniające ten warunek: Odległość liczby a od liczby 5 na osi liczbowej jest równa 3 Odległość liczby b od liczby 4 na osi liczbowej jest równa 20 Odległość liczby c od liczby -2 na osi liczbowej jest równa 1.

Zadanie 29… Podaj przykład ułamka zwykłego, który ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone a którego odwrotność ma również rozwinięcie dziesiętne nieskończone. Zadania….. a) Pan Błoński przez rok zarobił 35 487 zł, a pan Wroński 21 275 zł. Oszacuj, który z nich miał wyższy średni miesięczny zarobek. b) Pani Ania zarabia miesięcznie 1677 zł, a pani Kasia 2193 zł. Oszacuj, o ile więcej od pani Ani zarabia w ciągu roku pani Kasia.

b)ile najwięcej czekolad po 3,99zł za sztukę można kupić za 20 zł? c)ile biletów po 10,50zł można kupić za 50 zł? d)czy kupując 19 batoników po 1,99zł każdy, otrzymasz resztę z 50zł mniejszą czy większą od 10zł? e)wzdłuż ściany o długości 4,95m ustawiono trzy regały, każdy o wymiarach 30cm x 92cm x 210cm.czy zmieści się jeszcze biurko o długości 152cm? f)do pierwszej klasy gimnazjum w pewnej miejscowości zgłosiło się 103 uczniów. W każdej klasie musi być co najmniej 19 uczniów. Jaka jest największa liczba klas pierwszych, które można utworzyć?

g) h)

i)

j) k)

l) ł)

m)

Zapamiętaj !!! CECHY PODZIELNOŚCI LICZB Liczba naturalna jest podzielna przez: 2 gdy jej ostatnią cyfrą jest 0, 2, 4, 6, 8 (inaczej: gdy jest liczbą parzystą) 3 gdy suma jej cyfr dzieli się przez 3 4 gdy liczba, wyrażona dwiema ostatnimi cyframi, dzieli się przez 4 5 gdy jej ostatnią cyfrą jest 0 albo 5 6 gdy dzieli się przez 2 i przez 3 7 gdy różnica między liczbą wyrażoną kolejnymi trzema ostatnimi cyframi danej liczby, a liczbą wyrażoną pozostałymi cyframi tej liczby dzieli się przez 7 8 gdy liczba wyrażona trzema ostatnimi jej cyframi dzieli się przez 8 9 gdy suma jej cyfr dzieli się przez 9 10 gdy ostatnią jej cyfrą jest 0 11 gdy różnica sumy jej cyfr stojących na miejscach parzystych i sumy cyfr stojących na miejscach nieparzystych, dzieli się przez 11

Gry i zabawy z liczbami (karty pracy) Rozwiąż krzyżówkę. a) a =15 *25 b) b =968 −25 c) c =809 +25 d) d =18 400 :25

Zgadywanie daty urodzenia… Poproś kolegę aby pomyślał liczbę oznaczającą miesiąc jego urodzenia, pomnożył ją przez 2 i dodał 5. Tę ostatnią sumę ma jeszcze pomnożyć przez 50, a do wyniku dodać swój wiek liczony w latach. Poproś kolegę o podanie ostatniej liczby i w pamięci odejmij od niej 250. Dwie ostatnie cyfry otrzymanej liczby dadzą wiek kolegi, a dwie pierwsze jego miesiąc urodzenia.

Gra w wojnę…

Gra w Piotrusia…

Gra w zapałki…

Nasze prace nad projektem

Przekazanie repetytorium o liczbach wymiernych Szkole Podstawowej w Koźminku.

Ciekawostki o liczbach

Liczby bliźniacze.. Liczbami bliźniaczymi nazywamy dwie liczby pierwsze różniące się o 2. Przykładami par takich liczb są: 3i5, 5i7, 11i13, 17i19. Parą największych liczb bliźniaczych są: 260497545 . 2 6625 –1 260497545 . 2 6625 +1

Liczby doskonałe.. Liczbami doskonałymi nazywamy liczby naturalne n, które są równe sumie wszystkich swoich dzielników mniejszych od n. Przykładami takich liczb są: 6 = 1+2+3, 28 = 1+2+4+7+14, 496 = 1+2+4+8+16+31+62+124+248, 8128 (Sprawdź sam(a) !!!). Cztery podane liczby znał już matematyk grecki Euklides (IV w. p.n.e.).

Liczby zaprzyjaźnione… Liczby zaprzyjaźnione to takie liczby naturalne m i n, które spełniają następujący warunek: suma wszystkich, mniejszych od m, dzielników naturalnych liczby m , równa jest n i jednocześnie suma wszystkich, mniejszych od n, dzielników naturalnych liczby n równa jest m. Warto zauważyć, że każda liczba doskonała jest zaprzyjaźniona sama ze sobą.

Liczby trójkątne… Nazwa "liczby trójkątne" pochodzi stąd, że każda taka liczba  o numerze n jest liczbą np. kół jednakowej wielkości, z których można ułożyć trójkąt równoboczny o boku  zbudowanym z n kół. Oto sposób odnajdywania kolejnych liczb trójkątnych i zarazem ich geometryczna ilustracja:                                                                                                                        

Zależność na n-tą liczbę trójkątną można więc wyrazić za pomocą wzoru: Poniższa tabela ilustruje zależność między numerem liczby trójkątnej , a samą liczbą trójkątną.   Numer liczby 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Liczby trójkątne 15 21 28 36 45 55 66 78 91   Zależność  na n-tą liczbę trójkątną można więc wyrazić za pomocą wzoru:                                                                                                                                            

Liczby kwadratowe… Nazwa "liczby kwadratowe" pochodzi stąd, że każda taka liczba  o numerze n jest liczbą np. kół jednakowej wielkości, z których można ułożyć kwadrat o boku  zbudowanym z n kół. Oto sposób odnajdywania kolejnych liczb kwadratowych i zarazem ich geometryczna ilustracja:                                                                                                                            

Zależność… Poniższa tabela ilustruje zależność między numerem liczby kwadratowej  a samą liczbą kwadratową:   Numer liczby 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Liczby kwadratowe 16 25 36 49 64 81 100 Zależność tę wyraża wzór:                                                                                                                gdzie n jest liczbą naturalną.

Co to są liczby lustrzane? 32 | 23 45 | 54

Liczby lustrzane… 293 3223 : 11 = 414 4554 : 11 = Sprawdź, czy podane liczby lustrzane dzielą się przez 11. 3223 : 11 = 293 4554 : 11 = 414

Dlaczego liczby lustrzane dzielą się przez 11? Policz sumę cyfr stojących w liczbach lustrzanych na nieparzystych miejscach, licząc od prawej strony. 4554 4 + 5 = 9 Oblicz różnicę pomiędzy otrzymanymi sumami: 9 – 9 = 0

Cecha podzielności przez 11. To jest właśnie cecha podzielności przez 11. Jeżeli różnica pomiędzy sumą cyfr stojących na nieparzystych miejscach i sumą cyfr stojących na miejscach parzystych jest równa 0 lub jest wielokrotnością liczby 11, to liczba ta jest podzielna przez 11.

Liczby Palindromiczne Liczbę naturalną, którą czyta się tak samo od początku i od końca nazywamy palindromem. np.: 66, 323, 494, 30703, 5139315 ...

Wnioski Wiadomości, które omawialiśmy na projekcie utrwaliły naszą wiedzę o liczbach wymiernych , wymiana doświadczeń nauczyła nas wzajemnej współpracy a przekazanie tegoż suplementu wiedzy o liczbach wymiernych Szkole Podstawowej im. Andrzeja Mielęckiego w Koźminku dowartościowało nas . Wiemy, że nasza praca przyda się młodszym kolegom. Wyszukiwanie w podręcznikach, czy też na stronie internetowej treści na określony temat nauczyło nas wybierania tego co najważniejsze.

Źródła: *Policzmy to razem zbiór zadań -Janowicz Jerzy Matematyka z plusem – podr. dla gimnazjum www.wikipedia.pl http://www.math.edu.pl/ http://www.serwis-matematyczny.pl/, http://www.matematyka.wroc.pl