Modelowanie matematyczne jako podstawa obliczeń naukowo-technicznych: Wybór modelu opisowego, a w konsekwencji struktury matematycznej modelu jest w znacznym stopniu arbitralny, Struktura matematyczna użyta do modelowania powinna by skończenie wymiarowa – tzn.: wyczerpująco opisana za pomocą skończonej liczby parametrów, Kryteria oceny modelu są ściśle związane z jego przeznaczeniem. Wniosek: Model uznany za adekwatny w jednym zastosowaniu może się okazać nieadekwatny w innym. Metody numeryczne i optymalizacja Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 2

Przykład I Zadanie wyznaczania optymalnego ukształtowania autostrady Koszt budowy jest proporcjonalny do ilości podłoża dodawanego lub usuwanego T – długość drogi, c(t) – wysokość terenu dla każdego Autostrada będzie budowana na nierównym terenie Należy wyznaczyć wysokość drogi y(t) dla Założenia: Warunki początkowe trasy: y(0) = a Warunki końcowe trasy: y(T) = b Maksymalne nachylenie nie może przekraczać b1 dla uniknięcia nadmiernych spadków: Należy graniczyć szybkość zmian nachylenia drogi (wyeliminowanie garbów na jezdni): Metody numeryczne i optymalizacja Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 2

Zadanie wyznaczania optymalnego ukształtowania autostrady y(t) Przy ograniczeniach: Metody numeryczne i optymalizacja Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 2

Przekształcenie zadania: Założenia: drogę należy podzielić na K równych odcinków o długości l, k=1,...,K zmienna sterująca: u(t)=y(t)-c(t) zmienna modelu dynamicznego:   Przyjmując oznaczenia: y1 = y, , c(k) = ck, y1(k) = y1,k, y2(k) = y2,k   Zadanie optymalizacji statycznej: przy ograniczeniach: Powstało zadanie optymalizacji liniowej z ograniczeniami większościowymi i mniejszościowymi. Metody numeryczne i optymalizacja Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 2

Przykład II. Zadania sterowania siecią dystrybucji wody minimalizujące zużycie energii elektrycznej Dana jest sieć dystrybucji wody w postaci: Ø      m- węzłów, Ø      s - odbiorców z odpowiednimi potrzebami, w których utrzymywane jest odpowiednie ciśnienie oraz n łuków, Ø każdy łuk „i” charakteryzuje się przepływem yi: Opis sieci: Ø      spadek ciśnienia xi na łuku „i”: gdzie: ri- opór hydrauliczny łuku „i” di- różnica wysokości geodezyjnych łuku „i” Ograniczenia wynikające ze struktury sieci:  I prawo Kirchhoff’a: A – macierz incydencji dla węzłów sieci wodociągowej, II prawo Kirchhoff’a: B – macierz oczkowa dla węzłów sieci wodociągowej. Metody numeryczne i optymalizacja Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 2

Sterowanie siecią dystrybucji wody minimalizujące zużycie energii elektrycznej gdzie: przy ograniczeniach: Metody numeryczne i optymalizacja Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 2

Przykład III: Znaleźć najlepszą liniową aproksymację nieznanej funkcji określonej poprzez tabelę 20 pomiarów. Wyznaczyć optymalne wartości wektora współczynników b=[b1 , b 2, b 3, b4] formy liniowej : gdzie: u - wektor wielkości sterujących, y - wektor wielkości wyjściowych Dane: tabela z 20 pomiarami wektora u wielkości sterujących oraz wektora wielkości wyjściowych dla następujących kryteriów jakości: minimum sumy wartości bezwzględnych różnic między wartościami wektora wyjść a wartościami otrzymanymi z modelu liniowego: gdzie: - wartości zmierzone wielkości wyjściowych i=1,...,20 - wielkości wyjściowe obliczone na podstawie modelu Zadanie trudne do rozwiązania, ponieważ funkcja celu jest nie-różniczkowalna. Metody numeryczne i optymalizacja Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 2

Równoważne zadanie programowania liniowego Ø      Wprowadzono nową zmienną: Ø      Zwiększenie wymiaru zadania: 24 zmienne niezależne  przy ograniczeniach: dla i=1,...,20 Zadanie programowania liniowego: Ø      funkcja celu jest wypukła Ø      rozwiązano metodą dwufazową simpleks. Wektor b optymalnych współczynników : Metody numeryczne i optymalizacja Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 2

Drugie kryterium jakości: 2. minimum sumy kwadratów różnic między wartościami wektora wyjść a wartościami otrzymanymi z modelu liniowego: gdzie: - wartości zmierzone wielkości wyjściowych - i=1,...,20 - wielkości wyjściowe obliczone na podstawie modelu Zadanie programowania nieliniowego: Ø      funkcja celu jest wypukła Ø      rozwiązano metodą gradientów sprzężonych w wersji Polak’a-Ribiere’y. Wyniki identyfikacji zależą od wyboru kryterium optymalizacji i przyjętej dokładności obliczeń. Metody numeryczne i optymalizacja Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 2

Przykład projektowania topologii sieci telekomunikacyjnej cz. 1 Zadanie określenia liczby nadmiarowych kanałów w sieci telekomunikacyjnej przy minimalizacji sumarycznych kosztów inwestycyjnych poniesionych na projektowanie sieci. Dana jest nieliniowa sieć telekomunikacyjna opisana grafem nieskierowanym G=[N,U] w postaci: m węzłów, n krawędzi, każdy może posiadać xi elementów nadmiarowych, przy czym każda krawędź (kanał) charakteryzuje się niezawodnością elementu ri. Sieć telekomunikacyjna posiada n krawędzi obciążonych kosztami inwestycyjnymi uzależnionymi od ilości elementów nadmiarowych w postaci: gdzie: - współczynniki kosztów inwestycyjnych dla poszczególnych linii telekomunikacyjnych. Metody numeryczne i optymalizacja Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 2

Przykład projektowania topologii sieci telekomunikacyjnej cz. 2 R(x)- miara niezawodności lub gotowości sieci w funkcji ilości elementów nadmiarowych do wyboru w postaci: 1. wielokrotny wybór dla kolejnych wartości wektora x 2. równoległa nadmiarowość dla x2 równoległych kanałów w sieci przy czym r2– oznacza prawdopodobieństwo niezawodności dla dowolnego elementu : 3. nadmiarowość typu „k” z „n” dla prawdopodobieństwa elementu rj Metody numeryczne i optymalizacja Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 2

Przykład projektowania topologii sieci telekomunikacyjnej cz. 2 Zadanie nieliniowej optymalizacji statycznej:przy ograniczeniach na niezawodnośc kanałów: przy ograniczeniach: lub Zadanie nieliniowej optymalizacji statycznej: przy ograniczeniach na koszty inwestycyjne Metody numeryczne i optymalizacja Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 2

Przykład - Symulacja ramienia robota przemysłowego Adekwatny model matematyczny dla szerokiej klasy obiektów sterowania- to układ równań różniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu. W tym celu: Konkretne ustalenie liczby równań Oznaczenie wartości parametrów tych równań Ustalenie warunków początkowych Jeżeli to możliwe - uproszczenie modelu do postaci równań liniowych. Proces symulacji: Numeryczne rozwiązanie równań różniczkowych poprzez: Zastąpienie pochodnych – ilorazami różnicowymi Rozwiązanie wynikającego z tego faktu układu równań liniowych. Metody numeryczne i optymalizacja Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 2

To klasa zadań numerycznych. Rozwiązywanie zadań inżynierskich – to umiejętność sprowadzania tych zadań do standardowych problemów numerycznych, takich jak: Rozwiązywanie układu liniowych równań algebraicznych, Rozwiązywanie układu nieliniowych równań algebraicznych, Aproksymacja i interpolacja funkcji jednej i wielu zmiennych, Różniczkowanie funkcji jednej i wielu zmiennych, Całkowanie układów równań różniczkowych zwyczajnych, Rozwiązywanie zadań optymalizacji liniowej, Rozwiązywanie zadań optymalizacji nieliniowej. Zadanie numeryczne – to proces przetwarzania pewnego elementu zbioru danych D w taki element zbioru wyników W, który spełnia zadane wymagania R1, R2,…. Układ To klasa zadań numerycznych. Metody numeryczne i optymalizacja Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 2

Równoważne formy opisów algorytmu: Tradycyjny zapis matematyczny Algorytm numeryczny – opis jednoznacznie uporządkowanego ciągu operacji, które przekształcają zbiór danych D w zbiór wyników W dla pewnej klasy zadań numerycznych. Równoważne formy opisów algorytmu: Tradycyjny zapis matematyczny Zapis w języku programowania komputerów Siec działań Zapis sekwencyjny. Metody numeryczne i optymalizacja Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 2