Projekt AS KOMPETENCJI jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki CZŁOWIEK – NAJLEPSZA INWESTYCJA Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie

Dane informacyjne TEMAT: Kombinatoryka w rachunku prawdopodobieństwa Nazwa szkoły: Zespół Szkół nr 5 im. Józefa Wybickiego w Szczecinie ID grupy: 97/15_MF_G1 Opiekun: Maja Kotłowska Kompetencja: Matematyczno - fizyczna Semestr/rok szkolny: II/2010/2011

Co to jest prawdopodobieństwo ? PRAWDOPODOBIEŃSTWO – jest to określenie matematyczne, które mierzy szansę zajścia danego zdarzenia Prawdopodobieństwo wyraża się wzorem : Gdzie: P(A) – prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A |A| - oznacza liczbę elementów (moc) zbioru A - oznacza liczbę elementów (moc) zbioru

Definicje głównych pojęć kombinatorycznych: PERMUTACJA - przestawienie, zmiana; układanie elementów (pewnego ciągu, serii) w różnej kolejności; każdy z różnych możliwych układów danych elementów. Permutacja wyraża się wzorem : P n = n! Dowód. Przeprowadzimy dowód tego twierdzenia stosując zasadę indukcji matematycznej. Jeśli n=1, tzn. dysponujemy tylko jednym elementem, to możemy utworzyć tylko jeden ciąg. Ponieważ 1! =1, zatem twierdzenie jest prawdziwe dla n=1. Założenie indukcyjne: Dla pewnego k, liczba permutacji w zbiorze k- elementowym wynosi k!. Teza: Liczba permutacji w zbiorze (k+1)-elementowym wynosi (k+1)!.

Dowód tezy : Przedstawmy zbiór (k+1)-elementowy X' w postaci X È {x k+1}, gdzie X jest zbiorem k-elementowym i x k+1 do niego nie należy. Permutację zbioru X' możemy uzyskać biorąc jakąkolwiek permutację zbioru X i uzupełnić ją wstawiając na wszystkie możliwe pozycje element xk+1. Pozycji, na których możemy umieścić nowy element, jest oczywiście (k+1) (przed pierwszym elementem, przed drugim itd...., po ostatnim). Na mocy założenia indukcyjnego, k-elementowych permutacji jest k!. Zatem wszystkich (k+1)-elementowych permutacji jest k! *(k+1), czyli (k+1)!. Ponieważ wszystkie założenia zasady indukcji matematycznej zostały spełnione, więc twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich liczb naturalnych.

Przykład : * Z n elementów jakiegoś zbioru możemy otrzymać n silnia (n!) jego permutacji. * Ze zbioru liczb a, b, c możemy uzyskać 6 permutacji, na tyle różnych sposobów dadzą się uporządkować w kolejności 3 liczby. a,b,c ; a,c,b ; b,a,c ; b,c,a ; c,b,a ; c,a,b

Definicje głównych pojęć kombinatorycznych: KOMBINACJA – jest to wybór całej grupy k elementów spośród n elementów, jakie mamy do dyspozycji, kolejność elementów, jakie wybraliśmy nie jest istotna lecz żaden element nie może być wybrany dwukrotnie. Kombinacja wyraża się wzorem :

Dowód kombinacji:

W kombinatoryce staramy się odpowiedzieć na pytanie: na ile różnych sposobów możemy wylosować z danej grupy elementów jakąś ich ilość? Jeśli kolejność losowanych elementów nie jest ważna, nie ma wpływu na wynik losowania, to dla obliczenia ilości takich losowań wykorzystujemy wzór na kombinacje. Losujemy k elementów ze zbioru n-elementowego i pytamy się na ile sposobów możemy to uczynić? Jeżeli wylosowane elementy nie mogą się powtarzać (losujemy bez zwracania), kolejność losowanych elementów jest nieistotna, (liczy się tylko ilość losowanych elementów) wówczas mamy k-elementowe kombinacje bez powtórzeń ze zbioru n- elementowego. Wybieramy kombinacje wówczas, jeśli kolejność wylosowanych elementów nie ma wpływu na wynik losowania, czyli zamiana miejscami wylosowanych dwóch elementów daje nam ten sam wynik losowania.

Przykład:

Definicje głównych pojęć kombinatorycznych:

A gdy znamy już teorię możemy zabrać się do rozwiązywania zadań ) ZADANIE 1. na ile sposobów możemy ustawić 3 książki na półce? P(3)=3!=1*2*3=

ZADANIE 2 ZADANIE 3..

ZADANIE 4.

ZADANIE 5.

ZADANIE 6. ZADANIE 7.

ZADANIE 8.

ZADANIE 9. ZADANIE 10.

ZADANIE 11.