Wykład 2. Pojęcie regularnego odwzorowania powierzchni w powierzchnię i odwzorowania kartograficznego Wykład 2. Pojęcie regularnego odwzorowania powierzchni w powierzchnię i odwzorowania kartograficznego pojęcie powierzchni regularnej pojęcie odwzorowania powierzchni w powierzchnię pojęcie odwzorowania kartograficznego

Pojęcie powierzchni regularnej Wykład 2. Pojęcie regularnego odwzorowania powierzchni w powierzchnię i odwzorowania kartograficznego Pojęcie powierzchni regularnej Powierzchnia opisana równaniem wektorowym jest powierzchnią regularną wówczas gdy dla każdego punktu tej powierzchni spełniona jest nierówność oraz wektory pochodnych cząstkowych są klasy C1

Regularność powierzchni kuli Wykład 2. Pojęcie regularnego odwzorowania powierzchni w powierzchnię i odwzorowania kartograficznego Regularność powierzchni kuli W przypadku sfery opisanej równaniem otrzymujemy następującą nierówność Powyższa nierówność jest spełniona w przedziale otwartym oraz

Regularność powierzchni elipsoidy Wykład 2. Pojęcie regularnego odwzorowania powierzchni w powierzchnię i odwzorowania kartograficznego Regularność powierzchni elipsoidy W przypadku elipsoidy opisanej równaniem Otrzymujemy następującą nierówność Powyższa nierówność jest spełniona w przedziale otwartym oraz

Odwzorowanie powierzchni w powierzchnię Wykład 2. Pojęcie regularnego odwzorowania powierzchni w powierzchnię i odwzorowania kartograficznego Odwzorowanie powierzchni w powierzchnię Mamy dane dwie powierzchnie regularne o następujących równaniach wektorowych: Powierzchnia I: Powierzchnia II: gdzie X,Y,Z - współrzędne prostokątne na powierzchni I, x,y,z - współrzędne prostokątne na powierzchni II, U,V – parametry na powierzchni I, u,v – parametry na powierzchni II.

Odwzorowanie powierzchni w powierzchnię Wykład 2. Pojęcie regularnego odwzorowania powierzchni w powierzchnię i odwzorowania kartograficznego Odwzorowanie powierzchni w powierzchnię Wprowadzimy również zależność funkcyjną pomiędzy parametrami u,v powierzchni II i parametrami U,V powierzchni I o następującej postaci: Funkcje te przyporządkowują punktom jednej powierzchni punkty drugiej powierzchni. Takie przyporządkowanie nazywa się odwzorowaniem powierzchni w powierzchnię, a funkcje powyższe funkcjami odwzorowawczymi. Powierzchnię I nazywa się powierzchnią oryginału, a powierzchnię II powierzchnią obrazu w odwzorowaniu.

Odwzorowanie regularne Wykład 2. Pojęcie regularnego odwzorowania powierzchni w powierzchnię i odwzorowania kartograficznego Odwzorowanie regularne Funkcje odwzorowawcze w odwzorowaniu regularnym są: jedno-jednoznaczne to znaczy, że każdej parze wartości U,V odpowiada jedna i tylko jedna para wartości u,v, ciągłe i dwukrotnie różniczkowalne wzajemnie niezależne, oznacza to, że Jakobian jest różny od zera dla wszystkich par wartości U,V. Równoważny warunek ma postać:

Odwzorowanie kartograficzne Wykład 2. Pojęcie regularnego odwzorowania powierzchni w powierzchnię i odwzorowania kartograficznego Odwzorowanie kartograficzne Odwzorowanie kartograficzne jest odwzorowaniem regularnym powierzchni elipsoidy obrotowej spłaszczonej lub kuli w płaszczyznę.

Odwzorowanie kartograficzne powierzchni kuli w płaszczyznę Wykład 2. Pojęcie regularnego odwzorowania powierzchni w powierzchnię i odwzorowania kartograficznego Odwzorowanie kartograficzne powierzchni kuli w płaszczyznę Równanie powierzchni kuli: Równanie obrazu powierzchni kuli w płaszczyźnie: Warunek regularności odwzorowania

Odwzorowanie kartograficzne powierzchni elipsoidy w płaszczyznę Wykład 2. Pojęcie regularnego odwzorowania powierzchni w powierzchnię i odwzorowania kartograficznego Odwzorowanie kartograficzne powierzchni elipsoidy w płaszczyznę Równanie powierzchni elipsoidy obrotowej spłaszczonej: Równanie obrazu powierzchni elipsoidy w płaszczyźnie: Warunek regularności odwzorowania

Przykład. Badanie regularności odwzorowania Wykład 2. Pojęcie regularnego odwzorowania powierzchni w powierzchnię i odwzorowania kartograficznego Przykład. Badanie regularności odwzorowania Dane jest odwzorowanie powierzchni kuli w płaszczyznę Sprawdzić dla jakich wartości parametrów  i  odwzorowanie jest regularne. Rozwiązanie Rozwiązujemy pierwszą nierówność Powyższa nierówność jest spełniona w przedziale oraz

Przykład. Badanie regularności odwzorowania Wykład 2. Pojęcie regularnego odwzorowania powierzchni w powierzchnię i odwzorowania kartograficznego Przykład. Badanie regularności odwzorowania Rozwiązujemy drugą nierówność Pochodne mają postać: Nierówność przyjmuje postać: Powyższa nierówność jest spełniona w przedziale Odwzorowanie jest regularne gdy