Częstotliwość próbkowania, aliasing Podstawy teorii sygnałów i systemów sterowania Wykład 17 Częstotliwość próbkowania, aliasing

W dziedzinie cyfrowego przetwarzania sygnałów bardzo częsta spotykamy się z próbkowaniem równomiernym, czyli procesem reprezentowania sygnału o czasie rzeczywistym za pomocą ciągu próbek pobieranych w dyskretnych momentach czasu. W praktyce próbkowanie przeprowadza się poprzez podanie sygnału ciągłego na wejście przetwornika analogowo cyfrowego(A/C), którego sygnał wejściowy jest ciągiem wartości cyfrowych. Jednym z podstawowych parametrów procesu próbkowania jest częstotliwość próbkowania (fpr), która informuje nas o liczbie próbek sygnału pobieranych w jednostce czasu. Częstotliwość próbkowania wynika z wartości odstępu czasu między kolejnymi próbkami, czyli odstęp próbkowania (∆t). fpr=1/∆t Ilustrację graficzną tego zagadnienia przedstawiono na rysunku 1.

Rys 1 Częstotliwość i odstęp próbkowania

Za jednostkę częstotliwości próbkowania przyjęto liczbę próbek pobieranych w czasie jednej sekundy (s) [S/s]. Próbkowanie sygnału możemy prowadzić z dowolną częstotliwością ograniczoną możliwościami posiadanego przez nas sprzętu. Powstaje jednak pytanie, jaką szybkością musi być próbkowany dany sygnał, aby dokładnie została odwzorowana zawarta w nim informacja. W dziedzinie częstotliwości istnieje niejednoznaczność związana z próbkami sygnału o czasie dyskretnym, która nie istnieje w świecie sygnałów ciągłych. Zagadnienie to można zilustrować następującym przykładem. Posiadamy ciąg wartości liczbowych x(1)=0, x(2)=0,866, x(3)=0, 866 x(4)=0, x(5)=-0,866, x(6)=0, o którym wiadomo, że reprezentuje pewien przebieg sinusoidalny ( rys. 2a). Jeżeli będziemy chcieli narysować teraz ten przebieg to okaże się, że możemy to zrobić na wiele różnych sposobów używając sinusoid o różnych częstotliwościach (rys. 2b). W przypadku wyników próbkowania taki zbiór punktów interpretowalibyśmy jako sinusoidą o najniższej możliwej częstotliwości.

Rys 2 Niejednoznaczność cyfrowego przedstawienia sygnału

Z przedstawionego wyżej przykładu wynika, że próbkowanie ze zbyt niską częstotliwością prowadzi do mylnej interpretacji częstotliwości sygnału odtworzonego jako niższa niż rzeczywista. To „ukrywanie” się sygnału za „pseudonimem” (alias) nazywamy aliasingiem. Zgodnie z twierdzeniem Shanona, w celu uniknięcia aliasingu, sygnał musi być próbkowany z częstotliwością większą niż dwukrotność najwyższej częstotliwości występującej w sygnale. Maksymalna częstotliwość sygnału, która może być właściwie (bez aliasingu) zinterpretowana przy określonej częstotliwości próbkowania nosi nazwę częstotliwości Nyquista i jest równa połowie częstotliwości próbkowania. Sygnały o częstotliwości wyższej ukażą się zniekształcone w postaci „aliasów” o częstotliwościach pomiędzy 0 a częstotliwością Nyquista. Tę zniekształconą częstotliwość można wyznaczyć jako wartość bezwzględną różnicy między rzeczywistą częstotliwością sygnału, a najbliższą wielokrotnością częstotliwości próbkowania. Przykłady pokazano na rys. 3.

Rys. 3. Przykład aliasingu

W celu uniknięcia aliasingu, należy zastosować częstotliwość próbkowania, co najmniej dwukrotnie wyższą, niż najwyższa interesująca nas częstotliwość występująca w sygnale. Co zrobić jednak, gdy w sygnale występują (lub mogą występować) składowe o wyższych częstotliwościach? Należy zastosować filtr dolnoprzepustowy, eliminujący składowe o wyższych częstotliwościach niż tzw. częstotliwość odcięcia filtru. Mówiąc ściśle, tak moglibyśmy postąpić dysponując filtrem idealnym, który odcina dokładnie wszystkie składowe „od razu”. Filtry rzeczywiste jednak mają pewne pasmo przejściowe, w którym osłabienie sygnału rośnie wraz z oddalaniem się od częstotliwości odcięcia. Szybkość tego osłabiania zależy od zastosowanego filtru. Żeby tymczasem nie wnikać w szczegóły powiedzmy tyko dla uproszczenia, że jako ogólne zalecenie można przyjąć częstotliwość próbkowania 4-krotnie wyższą niż najwyższa interesująca nas częstotliwość, a częstotliwość odcięcia filtru dolnoprzepustowego równą maksymalnej interesującej nas częstotliwości.

Znacznie lepiej jest jednak zbadać charakterystykę wykorzystywanego filtru. Znaleźć rzeczywistą częstotliwość odcięcia i rzeczywistą częstotliwość zaporową (o wymaganym stopniu tłumienia). Charakterystykę filtru (przykładowy przebieg zaznaczono grubą różową linią na rysunku 4) można uzyskać podając sygnał o stałej amplitudzie i rejestrując osłabienie sygnału dla zadawanych kolejno częstotliwości. Zakres badanych częstotliwości długość kroku zmian częstotliwości należy dobrać w zależności od zakładanej częstotliwości odcięcia i stopnia osłabienia wymaganego dla częstotliwości zaporowej.

Rys. 4. Filtr antyaliasingowy