Kombinatoryka w rachunku prawdopodobieństwa. Dane INFORMACYJNE Nazwa szkoły: IX Liceum Ogólnokształcące w Poznaniu ID grupy: 97/44_mf_g1 Kompetencja: matematyczno - fizyczna Temat projektowy: Kombinatoryka w rachunku prawdopodobieństwa. Semestr/rok szkolny: V / 2011/2012

Spis treści Elementy kombinatoryki Klasyczna definicja prawdopodobieństwa Symbol n! Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa Permutacje Wariacje bez powtórzeń Własności prawododobieństwa Wariacje z powtórzeniami Bibliografia Kombinacje

Elementy kombinatoryki Kombinatoryką nazywamy dziedzinę matematyki, której zadaniem jest obliczanie ilości zbiorów, w jakie można łączyć w określony sposób przedmioty (elementy) należące do danego zbioru skończonego. Powstała dzięki grom hazardowym, a swój rozwój zawdzięcza między innymi rachunkowi prawdopodobieństwa. Kombinatoryka posługuje się terminologią nie występującą w innych działach matematyki, stąd pozorna jej odrębność.

Symbol n! Symbol n! (czytaj: n silnia) oznacza liczbę 1, gdy n=0 lub n=1, natomiast gdy n≥2, oznacza iloczyn wszystkich liczb naturalnych od 1 do n włącznie. np.

Zadanie. Rozwiąż równanie : Rozwiązanie: Rozwiązaniem równania jest liczba 5.

PERMUTAcje Permutacją zbioru n – elementowego nazywamy każdy n - wyrazowy ciąg utworzony z wszystkich elementów tego zbioru. Liczba permutacji zbioru złożonego z n różnych elementów wyraża się wzorem: Dwie permutacje tego samego zbioru elementów różnią się między sobą kolejnością elementów.

Permutacje - zadania Zad.1. Ile różnych permutacji można utworzyć z elementów zbioru {a,b,c}? Rozwiązanie: Z trzech liter można utworzyć sześć różnych ciągów: (a,b,c), (b,a,c), (c,a,b), (a,c,b), (b,c,a), (c,b,a). Zatem: Zad.2. Na ile sposobów można ustawić w kolejce do kasy biletowej 6 osób? Tworzymy sześciowyrazowe ciągi, czyli otrzymujemy permutacji. Zad.3. Ile wyrazów dziesięcioliterowych (mających sens lub nie) można utworzyć z wyrazu MATEMATYKA? Rozwiązanie: Tworzymy ciągi dziesięciowyrazowe, przy czym litera M występuje 2 razy, A – 3 razy, T - 2 razy zatem liczba różnych permutacji wynosi:

Symbol Newtona Symbolem Newtona (czytamy „n po k”) nazywamy wyrażenie: np.:

Warto zapamiętać, że: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Zadanie: Rozwiąż równanie: Rozwiązanie: kolejne liczby naturalne

KoMbinacje Kombinacją k-elementową zbioru n-elementowego nazywamy każdy podzbiór k–elementowy tego zbioru, gdzie 0≤k≤n. Liczba różnych kombinacji k-elementowych spośród n elementów wyraża się wzorem:

Kombinacje - zadania Zad.1. Na ile sposobów można wybrać trzy osobową delegację spośród 10 osób? Rozwiązanie: Tworzymy 3 elementowe podzbiory zbioru 10 elementowego zatem: Zad.2. W pudełku jest 50 długopisów, w tym 8 wadliwych. Na ile sposobów można wyjąć z pudełka 4 długopisy, tak aby wśród nich były co najmniej 3 wadliwe? Rozwiązanie:

Wariacje bez powtórzeń Ciąg k-wyrazowy, którego wszystkie wyrazy są różne i należą do n–elementowego zbioru Z (0≤k≤n), nazywamy k-elementową wariacją bez powtórzeń n-elementowego zbioru. Liczba wszystkich k-elementowych wariacji bez powtórzeń zbioru n-elementowego wyraża się wzorem:

Wariacje bez powtórzeń - zadania Zad. 1. Ile jest możliwości posadzenia 6 osób na 10 krzesłach ustawionych w rzędzie? Rozwiązanie: Zad.2. Ile jest liczb pięciocyfrowych o niepowtarzających się cyfrach?

Wariacje z powtórzeniami Każdy k-wyrazowy ciąg o wyrazach należących do n – elementowego zbioru Z nazywamy k – elementową wariacją z powtórzeniami n-elementowego zbioru. Liczba wszystkich k-elementowych wariacji z powtórzeniami zbioru n-elementowego wyraża się wzorem:

Wariacje z powtórzeniami - zadania Zad.1. Rzucamy 3 razy sześcienną kostką do gry. Liczbę wyrzuconych oczek zapisujemy jako kolejną cyfrę liczby trzycyfrowej. Ile można otrzymać takich licz? Rozwiązanie: tworzymy 3 wyrazowe ciągi wybierając wyrazy z 6-elementowego zbioru, zatem: Zad.2. Ile jest możliwych wyników w rzucie 3 monetami? Rozwiązanie: tworzymy 3 wyrazowe ciągi z elementów zbioru {O,R}, zatem:

Doświadczenie losowe, zdarzenie losowe Doświadczeniem losowym nazywamy takie doświadczenie, które może być powtarzane dowolnie wiele razy w warunkach identycznych i którego wynik nie daje się przewidzieć jednoznacznie. Wynik doświadczenia nazywamy zdarzeniem losowym, np.: wypadnięcie orła w rzucie monetą, uzyskanie parzystej liczby oczek przy rzucie kostką do gry, wytypowanie dokładnie 5 liczb przy losowaniu w Lotto

Zbiór zdarzeń elementarnych Zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych w danym doświadczeniu lodowym nazywamy przestrzenią zdarzeń elementarnych i oznaczamy . Np. Doświadczenie polega na rzucie symetryczną kostką do gry. Zbiór zdarzeń elementarnych ={1,2,3,4,5,6} Liczba zdarzeń elementarnych wynosi:

Zdarzenie losowe jako podzbiór zbioru zdarzeń elementarnych O zdarzeniach elementarnych, które są elementami ustalonego zdarzenia mówimy, sprzyjają zdarzeniu A. Zdarzenie nazywamy pewnym, jeżeli zbiorem zdarzeń sprzyjających jest zbiór , np. „wyrzucenie liczby oczek mniejszej od 7 w rzucie kostką do gry” Zdarzenie nazywamy niemożliwym, jeżeli zbiorem zdarzeń sprzyjających jest zbiór pusty, np. „wyrzucenie liczby oczek większej od 6 w rzucie kostką do gry”

Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa Jeżeli każdemu zdarzeniu jest przyporządkowana dokładnie jedna liczba P(A) taka, że: 1. 2. Dla każdej pary wykluczających się zdarzeń zachodzi 3. to mówimy, że w zbiorze  określone jest prawdopodobieństwo, a liczbę P(A) nazywamy prawdopodobieństwem zdarzenia A.

Klasyczna definicja prawdopodobieństwa Jeżeli  jest skończonym zbiorem zdarzeń elementarnych jednakowo prawdopodobnych A, to prawdopodobieństwem zdarzenia A nazywamy liczbę:

Własności prawdopodobieństwa Niech  będzie danym zbiorem zdarzeń elementarnych, zaś P prawdopodobieństwem określonym w zbiorze  i A,B. Wówczas: P()=0 Jeżeli AB, to P(A)≤P(B), Dla każdego A  zachodzi nierówność P(A)≤1, P(A)+P(A’)=1 P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)

Przykłady obliczania prawdopodobieństw Zad.1. Z talii 52 kart wyciągamy losowo jedną. Jakie jest prawdopodobieństwo, że będzie to: As Trefl lub walet? Rozwiązanie:

Przykłady - c.d. Zad.2. Rzucamy dwukrotnie symetryczna monetą. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania: Dokładnie jednego orła, Co najwyżej jednego orła. Rozwiązanie: ={( O,O), (O,R), (R,O), (R,R)},

Przykłady – c.d. Zad. 3. Z urny zawierającej 3 kule białe i 4 czarne losujemy kolejno 2 kule (bez zwracania). Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kul różnokolorowych. Rozwiązania (metoda drzewa) b c c b c b

Bibliografia „Zbiór zadań z rachunku prawdopodobieństwa”, S.Słowikowski „Matematyka dla klasy III liceum i technikum”, R. Kalina, T. Szymański Encyklopedia Szkolna Matematyka http://www.askompetencji.eduportal.pl/ http://www.math.edu.pl

Dziękujemy za uwagę!