MECHANIKA NIEBA WYKŁAD 8 23.04.2008 r

Zagadnienie dwóch ciał Rozwinięcia w szereg W rzeczywistości dokładnych rozwiązań w mechanice nieba (i nie tylko ) jest niewiele. Bardzo często posługujemy się rozwiązaniami przybliżonymi bazującymi na rozwinięciach w szeregi. W Układzie Słonecznym korzystamy często z faktu, że orbity różnią się niewiele od koła (rozwijanie względem małych e), tworzą małe kąty z płaszczyzną ekliptyki (małe I). Innym zagadnieniem, w którym często korzysta się z rozwinięć w szereg jest teoria perturbacji

Zagadnienie dwóch ciał Trygonometryczny szereg Fouriera Dana jest pewna funkcja okresowa f(x) bezwzględnie całkowalna w przedziale (-T/2, T/2), gdzie T jest okresem. Rozwinięcie f(x) w szereg Fouriera ma postać: współczynniki an i bn są określone wzorami:

Zagadnienie dwóch ciał Trygonometryczny szereg Fouriera

Zagadnienie dwóch ciał Rozwinięcia w szereg Napiszmy równanie Keplera w postaci: różnica E-M jest nieparzystą funkcją okresową stąd prawą stronę możemy rozwinąć w szereg Fouriera biorąc tylko wyrazy nieparzyste: gdzie: pierwszy czynnik w tym wyrażeniu jest równy 0.

Zagadnienie dwóch ciał Rozwinięcia w szereg Korzystając znów z równania Keplera możemy napisać: wtedy: Pierwsza z tych całek jest równa 0, natomiast drugą można przekształcić (znów przy użyciu równania Keplera) do postaci: Całka występująca w tym równaniu może być zapisana przy użyciu funkcji Bessela pierwszego rodzaju.

Zagadnienie dwóch ciał Rozwinięcia w szereg Dla dodatnich wartości s możemy napisać: ten szereg jest zbieżny dla wszystkich x. Funkcje Bessela dla s=1,…,5

Zagadnienie dwóch ciał Rozwinięcia w szereg Możemy ostatecznie napisać rozwiązanie równania Keplera w postaci: szereg jest szybko zbieżny dla małych wartości e. W przypadku e>0.6627434 staje się jednak rozbieżny.

Zagadnienie dwóch ciał Rozwinięcia w szereg Zależność między promieniem i wielką półosią daje: rozwijając czynnik ecosE dostajemy: po uwzględnieniu jawnej postaci funkcji Bessela mamy ostatecznie: To rozwinięcie będzie wykorzystywane m.in. w tzw. przybliżeniu „guiding centre” oraz przy analizie perturbacji.

Zagadnienie dwóch ciał Rozwinięcia w szereg Przekształcając znów wyrażenie: dostajemy: Uwzględniając otrzymane wcześniej rozwinięcie r/a możemy wyznaczyć rozwinięcie cosE:

Zagadnienie dwóch ciał Rozwinięcia w szereg Różniczkując równanie Keplera dostaniemy: prawa strona jest równa a/r. Różniczkując otrzymane wcześniej wyrażenie: otrzymujemy: stąd mamy rozwinięcie a/r w szereg przy użyciu funkcji Bessela

Zagadnienie dwóch ciał Rozwinięcia w szereg Korzystając z otrzymanego rozwinięcia a/r możemy wyznaczyć: które jest przydatne przy analizie perturbacji planetarnych

Zagadnienie dwóch ciał Rozwinięcia w szereg Korzystając z równania biegunowego elipsy: możemy napisać: które po uwzględnieniu rozwinięcia a/r daje:

Zagadnienie dwóch ciał Rozwinięcia w szereg Rozwinięcie sinν otrzymujemy w nieco bardziej skomplikowany sposób. Równanie biegunowe elipsy zapiszemy w postaci: Różniczkujemy po M: korzystając z całki pól, definicji anomalii średniej i trzeciego prawa Keplera: otrzymamy:

Zagadnienie dwóch ciał Rozwinięcia w szereg Korzystając z otrzymanego wyrażenia mamy: skąd: i ostatecznie: Te rozwinięcia są użyteczne przy badaniu rezonansu typu „spin-orbita” oraz przy badaniu perturbacji.

Zagadnienie dwóch ciał Rozwinięcia w szereg Kolejne rozwinięcie dotyczy różnicy anomalii ν-M zwanego równaniem środka. Dzięki niemu jesteśmy w stanie wyrazić anomalię prawdziwą w funkcji czasu jaki upłynął od przejścia ciała przez perycentrum. Korzystamy z całki pól w postaci: Korzystając z: otrzymamy:

Zagadnienie dwóch ciał Rozwinięcia w szereg Uwzględniając w otrzymanym wyrażeniu wyznaczoną wcześniej postać dE/dM i całkując dostajemy: które będzie używane w przybliżeniu „guiding centre”.

Zagadnienie dwóch ciał Rozwinięcia w szereg Lagrange opracował użyteczną metodę odwracania rozwinięć w szeregi, która może być przydatna w mechanice nieba. Pokazał, że jeśli zmienna z jest wyrażona jako funkcja ζ w postaci: to zmienna ζ może być przedstawiona jako funkcja z poprzez zależność: Przykładem zastosowania tej własności może być wyrażenie anomalii prawdziwej w funkcji anomalii średniej. Z całki pól mamy:

Zagadnienie dwóch ciał Rozwinięcia w szereg Całkując to wyrażenie i podstawiając za r równanie biegunowe elipsy dostajemy: Wyrażenie podcałkowe możemy rozwinąć wykorzystując uogólniony dwumian Newtona. Następnie całkując wyraz po wyrazie: Przekształcamy:

Zagadnienie dwóch ciał Rozwinięcia w szereg Otrzymane wyrażenie możemy zapisać wykorzystując twierdzenie Lagrange’a o odwracaniu: które po rozwinięciu daje otrzymane już wcześniej równanie: Metoda Lagrange’a jest często wykorzystywana przy wyznaczaniu punktów równowagi w kołowym ograniczonym zagadnieniu trzech ciał

Zagadnienie dwóch ciał Rozwinięcia w szereg Problem zbieżności szeregów w mechanice nieba różni się nieco od zbieżności w matematyce. Poincaré (1892) podał przykład dwóch szeregów: Pierwszy szereg jest zbieżny bo od wyrazu milionowego następne bardzo szybko maleją. Drugi szereg jest rozbieżny bo wyraz ogólny rośnie nieograniczenie. W mechanice nieba pierwszy szereg jest nieużyteczny w praktycznych zastosowaniach , gdyż początkowy tysiąc wyrazów wzrasta. Odwrotnie jest w przypadku drugiego szeregu gdzie początkowe tysiąc wyrazów bardzo szybko maleją.

Zagadnienie dwóch ciał Orbity perturbowane Planety oddziałują na siebie i wzajemnie zaburzają (perturbują?) swój ruch wokół Słońca. Z tego względu musimy pamiętać, że parametry orbit obiektów w Układzie Słonecznym ulegają zmianom. Jeżeli mamy wyznaczone położenie i prędkość danego obiektu to możemy wyliczyć tzw. parametry oskulacyjne (orbita po jakiej poruszałoby się ciało tylko pod wpływem Słońca)

Zagadnienie dwóch ciał Orbity perturbowane Burns (1976) pokazał jak wyznaczyć zmiany elementów orbity wychodząc od elementarnej dynamiki. Rozpatrzmy małą siłę zaburzającą: gdzie R, T i N są odpowiednio składową radialną, tangencjalną (poprzeczną) i normalną siły zaburzającej. Wyrazimy pochodne elementów orbitalnych po czasie za pomocą powyższych składowych Burns, J.A. 1976, Am. J. Phys., 44, 10

Zagadnienie dwóch ciał Orbity perturbowane Wielka półoś Stała energii w ruchu po elipsie jest równa: Jeśli teraz zróżniczkujemy to równanie po czasie otrzymamy: pierwsze równanie elementu perturbowanego. Można stąd zauważyć, że zaburzenie, które „odbiera” energię powoduje skurczenie orbity. Zmiana energii jest wykonaną pracą, liczoną na jednostkę masy i jednostkę czasu, przez siłę zaburzającą:

Zagadnienie dwóch ciał Orbity perturbowane Jeżeli uwzględnimy równania: to otrzymamy: opisujące zmiany wielkiej półosi. Widać stąd, że zmiany te mogą być wywołane jedynie przez składowe siły zaburzającej leżące w płaszczyźnie orbity.

Zagadnienie dwóch ciał Orbity perturbowane 2. Mimośród Używając równań: możemy napisać: po zróżniczkowaniu:

Zagadnienie dwóch ciał Orbity perturbowane Ponieważ zmiana momentu pędu jest równa przyłożonemu momentowi więc: Drugi czynnik zmienia jedynie kierunek wektora c, ale nie wpływa na jego długość stąd: Wykorzystując to równanie, wyrażenie na da/dt oraz równania: otrzymujemy ostatecznie: co oznacza, że kształt orbity może być zmieniony jedynie przez składowe siły działające w płaszczyźnie orbity