Dane INFORMACYJNE (do uzupełnienia) Nazwa szkoły: I Liceum Ogólnokształcące im. Adama Asnyka w Kaliszu ID grupy: 97_60_MF_G2 Opiekun: Ewelina Lis-Jarnuszkiewicz Kompetencja: Matematyczno- fizyczna Temat projektowy: Kombinatoryka w rachunku prawdopodobieństwa Semestr/rok szkolny: 2011/2012

Kombinatoryka w rachunku prawdopodobieństwa

Nasz projekt: Pojęcie kombinatoryki i silni. Zasada mnożenia, permutacje, kombinacje, wariacje. Definicje prawdopodobieństwa. Własności prawdopodobieństwa. Wykorzystanie kombinatoryki w zadaniach z rachunku prawdopodobieństwa.

Czym jest kombinatoryka? Kombinatoryka to teoria obliczania liczby elementów zbiorów skończonych. Powstała dzięki głównie grom hazardowym, a swój rozwój zawdzięcza rachunkowi prawdopodobieństwa, teorii grafów, teorii informacji i innym działom matematyki stosowanej. Stanowi jeden z działów matematyki dyskretnej. Zajmuje się głównie konstrukcją odwzorowań idących z jednego zbioru skończonego do drugiego, ale muszą być spełnione pewne określone warunki oraz znajdowaniem wzorów na ilość tych odwzorowań.

silnia Silnią liczby naturalnej n nazywamy iloczyn wszystkich dodatnich liczb naturalnych nie większych niż n. Oznaczenie symboliczne n! (czytamy n silnia) wprowadził w 1808 roku francuski matematyk Christian Kramp. n! = 1 · 2 · 3 · ... · n oraz dodatkowo 0! = 1 Przykład: 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24 6! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 = 720

Silnia ma zastosowanie w kombinatoryce… …ale nie tylko. Silnia pojawia się w bardzo wielu zadaniach maturalnych. Zetknęliśmy się z nią nawet w zadaniu z ciągów.

Zanim przejdziemy do definicji warto zastanowić się co różni: Ciąg od… …podzbioru. Ciąg to pewien podzbiór danego zbioru, przy czym kolejność elementów jest istotna. Zatem 1,2,3,4,5 oraz 2,1,3,4,5 to inne ciągi. Podziór A to zbiór złożony pewnej ilości elementów innego zbioru B.

1. Reguła mnożenia Liczba różnych ciągów ( x1, x2, …,xn ) takich, że xk można wybrać na mk sposobów, gdzie k zmienia się od 1 do n, jest równa m1·m2·…·mn Np. Ania ma 4 pary butów, 4 pary spodni i 6 bluzek. Na ile sposobów może się ubrać Ania? 4·4·6=96 Odp. Ania może się ubrać na 96 sposobów.

2. permutacje Permutacją zbioru n - elementowego nazywamy każdy n - elementowy ciąg złożony ze wszystkich wyrazów tego zbioru. Liczba wszystkich permutacji określona jest wzorem: Pn= n! Np. Na ile sposobów można ustawić 6 osób w kolejce? Odp. 6!=720 sposobów.

2. Permutacje z powtórzeniami Niech A oznacza zbiór złożony z k różnych elementów | A = {a1,a2,...,ak}. Permutacją n elementową z powtórzeniami, w której elementy a1,a2,...,ak powtarzają się odpowiednio n1,n2,...,nk razy, n1 + n2 + ... + nk = n, jest każdy n - wyrazowy ciąg, w którym elementy a1,a2,...,ak powtarzają się podaną liczbę razy. Liczba takich permutacji z powtórzeniami wynosi:

Przykład zastosowania permutacji z powtórzeniami: Ile różnych wyrazów mających sens lub nie można utworzyć ze wszystkich liter wyrazu MATEMATYKA? Odp. Różnych wyrazów jest 151200.

Symbol Newtona W kolejnych definicjach używany będzie tzw. symbol Newtona, który rozumie się w następujący sposób: lub rekurencyjnie:

3. Kombinacje bez powtórzeń Kombinacja bez powtórzeń to każdy podzbiór zbioru skończonego. Kombinacją k - elementową zbioru n - elementowego A nazywa się każdy k - elementowy podzbiór zbioru A (0 ≤ k ≤ n). Używa się też terminu "kombinacja z n elementów po k elementów" lub wręcz "kombinacja z n po k".

zastosowanie kombinacji Ile jest możliwych „szóstek” w Dużym Lotku? Ile musielibyśmy zainwestować, czy obstawić wszystkie możliwości? Cóż mogłoby zabraknąć kumulacji…

4. Kombinacje z powtórzeniami Kombinacja z powtórzeniami, to każdy multizbiór (to zbiór, w którym jeden element może występować kilka razy) którego elementami są elementy pewnego zbioru skończonego. k - elementową kombinacją z powtórzeniami zbioru n - elementowego A nazywa się każdy k - elementowy multizbiór składający się z elementów zbioru A. W odróżnieniu do kombinacji bez powtórzeń tu elementy mogą się powtarzać.

Przykład kombinacji z powtórzeniami Ile jest kombinacji 2-elementowych z powtórzeniami zbioru 4-elementowego A = {a, b, c, d}? Odp. Można je wymienić: {a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b, d}, {c, d}, {a, a}, {b, b}, {c, c}, {d, d}. Kolejność nie ma tutaj znaczenia, równie dobrze można napisać {c, d}, jak {d, c}.

5. Wariacje bez powtórzeń Wariacją bez powtórzeń k - wyrazową zbioru n - elementowego A (1 ≤ k ≤ n) nazywa się każdy k - wyrazowy ciąg k różnych elementów tego zbioru (kolejność tych elementów ma znaczenie). Gdy k = n, wariację bez powtórzeń nazywa się permutacją. Liczba wszystkich k - wyrazowych wariacji bez powtórzeń zbioru n - elementowego wyraża się wzorem:

Przykład zastosowania wariacji bez powtórzeń Na ile sposobów można rozmieścić na 7 półkach 5 książek tak, aby każda książka stała na innej półce? Odp. Książki można rozmieścić na 2520 sposobów. Na ile sposobów 9 pasażerów może wysiąść z pociągu, jeśli pociąg zatrzymuje się na 14 stacjach i każdy wysiada na innej stacji? Odp. Pasażerowie mogą wysiąść na 726485760 sposobów.

6. Wariacje z powtórzeniami Wariacją z powtórzeniami k - wyrazową zbioru n - elementowego A nazywa się k - wyrazowy ciąg elementów tego zbioru (dowolny element może wystąpić wielokrotnie w ciągu). Należy zauważyć, iż kolejność elementów ma znaczenie. Liczba wszystkich k - wyrazowych wariacji z możliwymi powtórzeniami zbioru n - elementowego jest równa

Przykład zastosowania wariacji z powtórzeniami Na ile sposobów możemy rozmieścić w 4 szufladach 5 par butów? Odp. Buty można rozmieścić na 1024 sposoby. Ile jest możliwych wyników rzutu 3 monetami? Odp. W rzucie trzema monetami możemy uzyskać 8 różnych wyników.

Podsumowując…

Czym jest prawdopodobieństwo? Prawdopodobieństwo – ogólne określenie wielu pojęć matematycznych, służących do mierzenia szansy zajścia zdarzenia. Mówimy często: jakie są szanse, że trafimy w lotto, jakie jest prawdopodobieństwa, że nie będę pytany na biologii, jakie jest prawdopodobieństwo, że będzie dziś ładna pogoda…

Definicja klasyczna prawdopodobieństwa Prawdopodobieństwem zajścia zdarzenia A nazywamy iloraz liczby zdarzeń sprzyjających zdarzeniu A do liczby wszystkich możliwych przypadków, zakładając, że wszystkie przypadki wzajemnie się wykluczają i są jednakowo możliwe. Prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A możemy zapisać w postaci. gdzie |D| oznacza ilość elementów zbioru.

Definicja aksjomatyczna prawdopodobieństwa Prawdopodobieństwo określone w przestrzeni zdarzeń elementarnych to funkcja P, która każdemu zdarzeniu A zawartemu w przestrzeni Ω przyporządkowuje liczbę rzeczywistą P(A) taką, że: P(A)≥0 P(Ω)=1 P(AυB)=P(A)+P(B) dla każdej pary rozłącznych zdarzeń A i B.

Na zajęciACH … Zadanie: Na naszej tablicy: Rozpatrujemy zbiór 5-wyrazowych ciągów o wyrazach -1, 0 lub 1. oblicz prawdopodobieństwo, że losowo wybrany ciąg ma dokładnie jeden wyraz równy 0 i suma wszystkich wyrazów równa się 0.

Własności prawdopodobieństwa Jeżeli A zawiera się w B, to P(A)≤P(B) P(A)≤1 P(A’)=1-P(A) P(AυB)=P(A)+P(B)-P(A∩B) P(AυB)=P(A)+P(B), jeśli A i B wykluczają się, czyli zdarzenia A i B są niezależne.

Nie zawsze było łatwo Kombinatoryka w zadaniach maturalnych, silnia niejedno ma imię… Kuba udowadnia nierówność, w której wykorzystany był symbol Newtona..

Paradoks Monty Halla czyli ciekawa matematyka Nazwa paradoksu pochodzi od Monty'ego Halla, autora teleturnieju „Idź na całość” Zawodnik stoi przed trzema zasłoniętymi bramkami. Za jedną z nich (za którą – wie to tylko prowadzący program) jest nagroda (umieszczana całkowicie losowo). Gracz wybiera jedną z bramek. Prowadzący program odsłania inną bramkę (co istotne – anonsując, że jest to bramka pusta), po czym proponuje graczowi zmianę wyboru.

Zatem… Intuicyjnie nie ma znaczenia, czy zawodnik pozostanie przy swoim wyborze, czy nie. Okazuje się jednak, że jest inaczej. Przy wyborze strategii pozostawania przy swoim pierwszym wyborze prawdopodobieństwo wygranej wynosi 1/3. Natomiast przy wyborze "strategii zmiany" wynosi 2/3. Innymi słowy poprzez otwarcie jednej z pustych bramek, prowadzący zmniejsza liczność zbioru "pustych bramek", a w rezultacie prawdopodobieństwo przegranej z 2/3 do 1/3. "Pozostałe" prawdopodobieństwo wygranej musi wynosić więc obecnie 2/3.

… Bo warto czasem zająć się inną stroną matematyki…

Kombinatoryka w rachunku prawdopodobieństwa… Zadanie 1. Oblicz prawdopodobieństwo, że przy losowym rozmieszczeniu 10 osób wokół okrągłego stołu osoby A i B usiądą obok siebie. UWAGA! Jeśli ustawiamy n osób wokół stołu, to ustawień jest: n!/n=(n-1)! |A|=2·8! |Ω|=9! Zatem P(A)=2/9.

Zadania niestandardowe Zadanie 2. Każdy z n patyków przełamano na dwie części długą i krótką. Otrzymano w ten sposób 2n kawałków. Połączono je w pary, z których każda tworzy nowy patyk. Oblicz prawdopodobieństwo, że: Wszystkie kawałki zostały połączone w pierwotnym układzie, Wszystkie długie kawałki zostały połączone z długimi.

Rozwiązanie… |A|= n! ( podział jest jeden, ale można ułożyć w różnej kolejności ) |B|=(n!)² ( mamy n! ustawień dłuższej części i n! krótszej części )

Zadania niestandardowe Zadanie 3. Oblicz prawdopodobieństwo, że wybierając z powtórzeniami losowo i w kolejności trzy liczby x, y, z spośród 0, 1, 2, …, 10 otrzymamy rozwiązanie równania x+y+z=1. Zatem |Ω|=11³=1331

Rozwiązanie… Sposób pierwszy: x=0, y+z=10 mamy 11 rozwiązań …. x=10, y+z=0 mamy jedno rozwiązanie zatem 1+2+…+11=66

Inaczej… Sposób drugi Możemy skorzystać z gotowego wzoru na ilość rozwiązań równania x1 +x2 +…+xn =k zatem więc

Zadania niestandardowe Zadanie 4. Oblicz prawdopodobieństwo wypadnięcia k orłów w n rzutach monetą. Mamy: zatem

Zadania niestandardowe Zadanie 5. Rzucamy 5 razy kostką. Oblicz prawdopodobieństwo, że uzyskamy tylko dwie różne wartości np. tylko 1 i 3. W nawiasie odejmujemy 2, by nie uzyskać ciągu np. samych trójek, czy jedynek. Zatem

Wytrwale pracujemy i rozgryzamy zadania kombinatoryczne maturalne… ciekawe…

… na koniec… 

Dziękujemy za uwagę…

Nasza grupa: Jakub Horny Michał Szafrański Agnieszka Balcerzak Sylwia Witczak Aleksandra Porada Dominika Tyc Mateusz Bilich Karolina Kruk Aleksandra Oleszczuk Aleksandra Pietrzak