Wielocelowe problemy decyzyjne I

Problemy podejmowania decyzji wielokryterialnych mogą być ogólnie zakwalifikowane do dwóch kategorii:  problemy decyzji wieloatrybutowych (Multiple Attribute Decision Problem - MADP)  problemy decyzji wielocelowych (Multiple Objective Decision Problem - MODP)

Problemy decyzji wieloatrybutowych Cechą wyróżniającą problemy decyzji wieloatrybutowych MADP jest to, że istnieje ograniczona (i przeliczalnie mała) liczba ustalonych wcześniej opcji decyzyjnych. Każda opcja posiada określony, związany z nią, poziom osiągnięcia uznanych za istotne przez decydenta atrybutów/cech (które niekoniecznie muszą być kwantyfikowalne) i na których podstawie podejmowana jest decyzja

Problemy decyzji wielocelowych W przypadku problemów decyzji wielocelowych MODP nie określana jest wcześniej liczba opcji z wartościami właściwych dla problemu atrybutów. Zamiast tego problemy te posiadają: (1) zbiór kwantyfikowalnych celów na podstawie których podejmowana jest decyzja o wyborze określonej opcji decyzyjnej; (2) zbiór dobrze określonych ograniczeń na wartości różnorakich czynników kształtujących możliwości wyboru możliwych opcji (zmiennych decyzyjnych)

Zadanie, które posłuży do ilustrowania różnych podejść optymalizacji wielocelowej Firma produkuje dwa produkty. Zarząd wyraził życzenie, aby znaleźć program produkcji, który:  maksymalizuje całkowity zysk,  maksymalizuje spodziewaną ,,przechwytywaną” część rynku (udziały na rynku),  spełnia ograniczenia procesu produkcji (tzn. dostępności surowców),  nie doprowadza do nasycenia rynku (tzn. mamy możliwość sprzedania całej wytworzonej produkcji). Ponadto wiadomo:  jedna jednostka produktu 1. zapewnia dochód w wysokości 3 jednostek pieniężnych (jp.), a jedna jednostka produktu 2. - 1 jp.;  oszacowano, że każda sprzedana jednostka produktu 1. powiększy rynek o dwie jednostki udziału na rynku, a jedna jednostka produktu 2. - o 3 jednostki;  wytworzenie jednostki produktu 1. wymaga zużycia 2 jednostek surowca, a jednostki produktu 2. - 1 jednostki; tylko 50 jednostek surowca jest dostępnych w rozważanym okresie czasu;  badania rynku wskazują, że nie więcej niż 20 jednostek produktu pierwszego i nie więcej niż 30 jednostek produktu drugiego.

Analityczne sformułowanie zagadnienia: Oznaczmy: - liczba wyprodukowanych jednostek produktu 1 - liczba wyprodukowanych jednostek produktu 2 Znaleźć wartości i takie, które: (czyli całkowity zysk w rozważanym okresie czasu) maksymalizują spełniając: (czyli przechwycone w rozważanym okresie czasu udziały w rynku) (ograniczenie dostępności surowca) (ograniczenie nasycenia rynku produktu 1.) (ograniczenie nasycenia rynku produktu 2.) (warunki nieujemności)

Graficzne rozwiązanie zagadnienia Punkty wierzchołkowe:

Ogólne sformułowanie wielocelowego zagadnienia programowania liniowego; k - fukncji celu, m - ograniczeń gdzie

Wielość funkcji celu Nie będą nas interesowały przypadki, kiedy możliwe jest znalezienie całkowicie optymalnego rozwiązania Np. jeżeli dla przykładowego zagadnienia

Wielość funkcji celu Rozwiązanie całkowicie optymalne (przypadek minimalizacji) Mówi się, że jest rozwiązaniem całkowicie optymalnym, wtedy i tylko wtedy, jeżeli istnieje takie, że

Optymalizacja z jedną funkcją celu (jednocelowa)  Funkcja celu z odwzorowuje punkty przestrzeni decyzyjnej w Rn w wartość skalarną w R  W R istnieje naturalny kanoniczny porządek Konsekwencja:  Zdefiniowanie optymalnego rozwiązania np. minimalizacji jest proste

Optymalizacja z wieloma funkcjami celu (wielocelowa)  Funkcja celu z=[z1, z2, ......, zK] odwzorowuje punkty przestrzeni decyzyjnej w Rn w wartość wektorową w RK, K>1  Problem: W RK nie istnieje naturalny kanoniczny porządek Konsekwencja:  Istnieją różne pojęcia optymalności, które zależą od wybranego w RK porządku

Weźmy przykład – dwucelowe zagadnienie programowania liniowego Wielość funkcji celu Weźmy przykład – dwucelowe zagadnienie programowania liniowego

Przedstawienie w przestrzeni opcji decyzyjnych (w przestrzeni decyzji)

Transformacja

Przedstawienie w przestrzeni kryteriów (w przestrzeni celów)

Optymalizacja z wieloma funkcjami celu (wielocelowa) Wybór porządku zależy od problemu decyzyjnego  Jeżeli można podać ranking funkcji celu – np. z1 jest ważniejsza niż z2 , wybrany zostanie porządek leksykograficzny

Optymalizacja z wieloma funkcjami celu (wielocelowa)  Jeżeli interesują nas rozwiązania dla których poprawienie wartości jednej funkcji np. z1 nie może się odbyć bez pogorszenia co najmniej jednej z pozostałych, wybrany zostanie porządek Pareto

Optymalizacja z wieloma funkcjami celu (wielocelowa) Ilustracja nierówności Pareto Stożki nierówności Pareto

Rozwiązanie optymalne w sensie Pareto (rozwiązanie Pareto optymalne) Rozwiązanie jest nazywane Pareto optymalnym (zagadnienie minimalizacji), jeżeli nie istnieje Określenia:  Jeżeli jest rozwiązaniem Pareto optymalnym, to o jest nazywany punktem efektywnym  Jeżeli oraz i mówimy, że dominuje nad oraz, że dominuje nad

Graficzne wyznaczenie zbioru Pareto dla rozważanego przykładu a) w przestrzeni decyzji

b) w przestrzeni celów

Wykorzystanie stożków Pareto (przypadek minimalizacji) Lepsze Gorsze Nieporównywalne

Słabe rozwiązanie Pareto optymalne) Rozwiązanie jest nazywane słabym rozwiązaniem Pareto optymalnym, wtedy i tylko wtedy, jeżeli nie istnieje inny taki, że

Alternatywy postępowania I. Wykorzystanie klasycznych metod optymalizacji jednocelowej operujących na pojedynczych punktach przestrzeni decyzyjnej – poszukiwany jest jeden punkt zbioru Pareto – wyrażenie preferencji decydenta odbywa się przed optymalizacją II. Wykorzystanie metod optymalizacji operujących na populacjach punktów przestrzeni decyzyjnej (np.. algorytmy genetyczne) – poszukiwanie zbioru punktów Pareto – wyrażenie preferencji decydenta odbywa się po optymalizacji

Wybrane metody poszukiwania rozwiązań wielocelowych zagadnień liniowych 1. Sprowadzenie do jedno-celowego zagadnienia liniowego poprzez zamianę wszystkich funkcji celu poza jedną w ograniczenia

(czyli całkowity zysk w rozważanym okresie czasu) Przykład Przyjmiemy całkowity zysk jako pojedynczy cel i będziemy traktować powiększenie udziału na rynku jako ograniczenie. To ostatnie przekształcenie możemy zrealizować przez przyjęcie pewnego akceptowalnego lub pożądanego powiększenia udziału na rynku. Przykładowo przyjmijmy, że takim pożądanym powiększeniem udziału na rynku jest 100. Model naszego przykładowego problemu będzie miał wówczas postać Znaleźć wartości i taki, które: maksymalizują (czyli całkowity zysk w rozważanym okresie czasu) spełniając: (pożądane powiększenie udziału na rynku) (ograniczenie dostępności surowca) (ograniczenie nasycenia rynku produktu 1.) (ograniczenie nasycenia rynku produktu 2.) (warunki nieujemności)

Graficzne rozwiązanie Punkty wierzchołkowe Rozwiązanie optymalne

Zalety  Możemy bezpośrednio zastosować istniejące algorytmy lub oprogramowanie PL do rozwiązania zaproponowanego modelu. Wady Jeżeli nie jesteśmy ostrożni (i/lub szczęśliwi), konwersja celu w (twarde) ograniczenie może prowadzić do modelu, który jest matematycznie niedopuszczalny (np. w naszym przykładzie, jeżeli użylibyśmy wartości 120 zamiast 100 dla PS ograniczenia powiększenia udziałów na rynku, nasz model byłby matematycznie niedopuszczalny)

Wady  Przetworzony cel, lub cele, są traktowane jako twarde ograniczenia przez algorytmy PL. Zatem jeżeli nawet bylibyśmy skłonni pogodzić się z udziałem mniejszym niż 100 w rozważanym okresie, rozwiązanie takie nie zostanie wygenerowane przez algorytmy PL  Ma miejsce duża subiektywność w wyborze pojedynczego celu, który będzie wykorzystany w przetransformowanym modelu - wynik może różnić się istotnie w zależności od wyboru

Graficzna ilustracja Znalezione rozwiązanie

Czy ten wynik ma cechy ogólności? Pokazaliśmy graficznie na jednym przykładzie, że metoda sprowadzenia do jedno-celowego zagadnienia liniowego poprzez transformację części funkcji celu prowadzi do znalezienia/wybrania jednego z rozwiązań Pareto optymalnych Czy ten wynik ma cechy ogólności? Będziemy rozważaną metodę skalaryzacji nazywali metodą ograniczenia (MO) (ang. constraint method) lub metodą 

Sformułowanie oryginalne (WCPL) Sformułowanie metody ograniczenia Niech będzie optymalnym rozwiązaniem zagadnienia metody ograniczenia (MO)

Twierdzenie MO1 Jeżeli jest unikatowym rozwiązaniem optymalnym zagadnienia MO, dla pewnych wartości to jest rozwiązaniem Pareto optymalnym zagadnienia WCPL Jeżeli unikatowość rozwiązania zagadnienia MO nie jest gwarantowana, wówczas jedynie słabe rozwiązanie Pareto optymalne jest gwarantowane

Twierdzenie MO2 Jeżeli jest jest rozwiązaniem Pareto optymalnym zagadnienia WCPL, to jest optymalnym rozwiązaniem zagadniena MO, dla pewnych wartości

Przykład:

Wybrane metody poszukiwania rozwiązań wielocelowych zagadnień liniowych 2. Sprowadzenie do jedno-celowego zagadnienia liniowego poprzez agregację funkcji celu (metoda ważenia (ang. weighting method))

Przykład Jeden cel mierzony jest w dolarach (zysk) a drugi w uzyskiwanym udziale na rynku (np. pewna miara ,,lojalności" kupujących dany produkt przejawiająca się w większym prawdopodobieństwie powtórzenia zakupu danego towaru). Jeżeli można przetworzyć jeden z nich, powiedzmy pozyskane udziały na rynku, w dolary zysku (lub alternatywnie, dolary zysku w jednostki udziału na rynku), to będziemy mogli złożyć obydwa cele w jeden, który będzie mierzony w jednakowych jednostkach

Załóżmy, że jesteśmy w stanie, dla naszego przykładu, wybrać wagi: dla pierwszego celu 0.6, a dla drugiego, 0.4. Uzyskamy wówczas następujący model naszego zagadnienia: Znaleźć wartości i takie, które: maksymalizują (zagregowane funkcje celu w wybranych jednostkach użyteczności) spełniając: (ograniczenie dostępności surowca) (ograniczenie nasycenia rynku produktu 1.) (ograniczenie nasycenia rynku produktu 2.) (warunki nieujemności)

Graficzne rozwiązanie Rozwiązanie optymalne

Zalety  Możemy bezpośrednio zastosować istniejące algorytmy lub oprogramowanie PL do rozwiązania zaproponowanego modelu. Wady  Istotny czas i ostrożność są potrzebne dla określenia odpowiednich wag

Graficzna ilustracja Znalezione rozwiązanie

Czy ten wynik ma cechy ogólności? Podobnie jak poprzednio, pokazaliśmy graficznie na jednym przykładzie, że metoda sprowadzenia do jedno-celowego zagadnienia liniowego poprzez zaproponowanie zagregowanej – ważonej funkcji celu prowadzi do znalezienia/wybrania jednego z rozwiązań Pareto optymalnych Czy ten wynik ma cechy ogólności?

Sformułowanie oryginalne (WCPL) Sformułowanie metody ważenia (MW) gdzie Niech będzie optymalnym rozwiązaniem zagadnienia metody ważenia

Twierdzenie MW1 Jeżeli jest rozwiązaniem optymalnym zagadnienia MW, dla pewnych wartości to jest rozwiązaniem Pareto optymalnym zagadnienia WCPL Warunek twierdzenia może być zamieniony innym brzmiącym: unikatowym rozwiązaniem optymalnym zagadnienia MW, dla pewnych wartości

jest jest rozwiązaniem Pareto optymalnym zagadnienia WCPL, to Twierdzenie MW2 Jeżeli jest jest rozwiązaniem Pareto optymalnym zagadnienia WCPL, to jest optymalnym rozwiązaniem zagadnienia MW, dla pewnych wartości Geometrycznie dla przypadku ogólnego k funkcji celu, czyli w przestrzeni celów jest hiperpłaszczyzną z normalnym do niej wektorem

Rozwiązując zagadnienie MW dla danych wartości uzyskujemy najmniejszą wartość dla której hiperpłaszczyzna ważonej funkcji celu staje się hiperpłaszczyzna podpierającą zbioru rozwiązań dopuszczalnych

Zapraszam na kolejny wykład Dziękuję za uwagę Zapraszam na kolejny wykład