Elementy Rachunku Prawdopodobieństwa i Statystyki Wykład 6 Momenty, moda, mediana i kwantyle Wartości oczekiwane i wariancje dla Z.L. wielowymiarowych Kowariancja i korelacja Prawo przenoszenia błędów (1) Tomasz Szumlak, WFiIS, 12/04/2013

Momenty Wartość oczekiwana zdefiniowana na ostatnim wykładzie: Wybierzmy funkcję g(x) jak poniżej: wówczas, wyrażenie nazywamy momentem rzędu „r” względem punktu „a”. Jeżeli wybierzemy punkt „a” jako: dostaniemy tzw. momenty centralne (szczególnie ważne w statystyce)

Momenty W szczególności mamy: czyli, drugi moment centralny, możemy zidentyfikować jako wariancję Z.L. X Uwaga! Powyższe rozważania dotyczą oczywiście obu rodzajów Z.L. jakie dyskutowaliśmy, tzn. ciągłych i dyskretnych: Podobnie możemy zdefiniować momenty główne:

Momenty Istnieje prosty związek, pomiędzy momentami centralnymi i głównymi: Zauważmy, że: Można również łatwo pokazać, że gdy wartość oczekiwana dla danej Z.L. E(X) = 0, wówczas momenty centralne równe są momentom głównym. To ciekawa obserwacja, np. dla zmiennej standardowej (ostatni wykład) oba typy momentów są równe z definicji!

Momenty – skośność Jeżeli funkcja R.G.P. jest niesymetryczna, można wprowadzić pewną miarę, która będzie opisywać stopień odkształcenia rozkładu, nazywamy ją skośnością Dla rozkładów symetrycznych skośność zanika!

Można pokazać, że dowolny R.G.P. można określić używając momentów Momenty – kurtoza Ostatnią z najczęściej stosowanych miar, określających własności funkcji R.G.P. jest kurtoza. Stosuje się ją, do określenia stopnia skupienia wartości Z.L. wokół maksimum, podobnie jak w przypadku skośności wprowadza się wygodny parametr bezwymiarowy: „Mała” kurtoza „Duża” kurtoza Można pokazać, że dowolny R.G.P. można określić używając momentów

Moda, mediana, kwantyle Poza wartością oczekiwaną, która jest najczęściej używana do określania tendencji centralnej danej Z.L., stosujemy również inne miary: Moda xm (wartość modalna) – wartość zmiennej losowej, X, odpowiadająca maksimum (globalne lub lokalne) prob. : Jeżeli jedno max. globalne – rozkład nazywamy jednomodalnym, jeżeli więcej max. wówczas nazywamy go wielomodalnym Poniżej rozkład dwumodalny, większe z maksimów nazywamy dominantą Mody

Moda, mediana, kwantyle Mediana x1/2 R.G.P. zdefiniowana jest jako wartość Z.L., dla której mamy: Mediana, dzieli powierzchnię pod krzywą reprezentującą R.G.P. na dwie równe części (w przypadku Z.L. dyskretnej sytuacja może być nieco bardziej skomplikowana – dyskusja na ćwiczeniach). Analogicznie, mediana może zostać wyrażona przez dystrybuantę Z.L. Jeżeli mamy Z.L., która posiada R.G.P. będący funkcją ciągłą oraz symetryczną wokół swojego globalnego maksimum, wówczas wartość średnia, moda oraz mediana są sobie równe!

Moda, mediana, kwantyle Kwantyle, są blisko związane z pojęciem mediany. Np. kwartyle definiujemy jako: powyższe nazywamy dolnym i górnym kwartylem Podobnie, możemy zdefiniować decyle: Ogólnie, kwantylem x nazywamy:

Kowariancja i korelacja Momenty zdefiniowane dla jednowymiarowych zmiennych losowych mogą być łatwo przeniesione do „świata” zmiennych wielowymiarowych. Zdefiniujmy zmienną losową posiadającą n-składowych: Funkcję R.G.P. oraz dystrybuantę oznaczymy jako: Momenty centralne, zdefiniujemy jak poniżej: W szczególności momenty drugiego rzędu zapiszemy jako:

Kowariancja i korelacja Dla wprawy popatrzmy na przypadek dwuwymiarowy: Zakładamy, że rozkład zmiennych X i Y opisany jest przez f(x,y) Wartości oczekiwane dla zmiennych X oraz Y definiujemy jako: Odpowiednio, wariancje:

Kowariancja i korelacja Zarówno wartości oczekiwane jak i wariancje definiujemy podobnie jak w przypadku Z.L. jednowymiarowej. Nowością jest następujące wyrażenie mieszane to samo w postaci jawnej: Można pokazać, że prawdziwe są poniższe tożsamości: Z.L. niezależne

Kowariancja i korelacja Kowariancja nie ma odpowiednika w przypadku jednowymiarowych Z.L. Zawiera ona informacje dotyczące liniowej zależności pomiędzy zmiennymi losowymi X1 (X) oraz X2 (Y), np. gdy zdarzenie: „Tradycyjnie”, najwygodniej jest wprowadzić wielkość bezwymiarową do określenia zależności pomiędzy Z.L. – współczynnik korelacji Łatwo pokazać (np. korzystając z definicji Z.L. w postaci standardowej):

Kowariancja i korelacja Uwaga! Jeżeli wsp. korelacji jest różny od zera, mówimy wówczas, że Z.L. są liniowo zależne – skorelowane W przypadku, gdy wsp. korelacji jest równy „0” (zanika kowariancja) Z.L. nazywamy nieskorelowanymi liniowo (mogą jednak być zależne!)

Przekształcenia liniowe Formalnie zapisujemy T Wróćmy do rozważań dotyczących Z.L. wielowymiarowych, w tym przypadku, możemy zdefiniować tzw. macierz kowariancji (używając wprowadzonych wcześniej oznaczeń) Jest to macierz rzeczywista, symetryczna (ckl = clk), wyrazy diagonalne są po prostu wariancjami: Wprowadźmy zapis: Mamy wówczas: Formalnie zapisujemy T

Przekształcenia liniowe Załóżmy, że chcemy dokonać pomiaru zmiennej losowej Y Może okazać się, że bezpośredni pomiar jest trudny i zamiast tego mierzymy inne zmienne losowe, związane ze zmienną X (np. pomiar rezystancji elementu elektronicznego – mierzymy prąd, I, i napięcie, V) Rozważmy przykład następującej transformacji liniowej Wartość oczekiwana:

Przekształcenia liniowe To prowadzi nas do sformułowania tzw. twierdzenia o przenoszeniu niepewności pomiarowych: Załóżmy, że zachodzi związek pomiędzy Z.L. taki jak na poprzednim slajdzie. Jeżeli znamy wartości oczekiwane, wariancje oraz kowariancje wszystkich Z.L. Xi, to: