Dane INFORMACYJNE Nazwa szkoły: Zespół Szkół Ogólnokształcących ID grupy: 97/57_MF_G1 Kompetencja: Matematyczno-Fizyczna Temat projektowy: Metody kombinatoryczne w rachunku prawdopodobieństwa. Semestr/rok szkolny: II semestr 2011/2012

METODY KOMBINATORYCZNE W RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA

Czym jest kombinatoryka? Kombinatoryka to teoria obliczania liczby elementów zbiorów skończonych. Powstała dzięki grom hazardowym, a swój rozwój zawdzięcza rachunkowi prawdopodobieństwa, teorii grafów, teorii informacji i innym działom matematyki stosowanej

Główne pojęcia kombinatoryczne Silnia Symbol Newtona Wariacje Permutacje Kombinacje

Silnia Silnia zapisywana jest symbolem n!; jest to iloczyn kolejnych liczb do liczby n. 0!=1 1!=1 n!=1*2* … *n

Silnia - przykłady 2!=1*2=2 3!=1*2*3=6 5!=1*2*3*4*5=120 10!=1*2*3*4*5*6*7*8*9*10 = 3628800

Symbol Newtona inaczej współczynnik dwumianowy; jest to funkcja dwóch argumentów całkowitych nieujemnych, zdefiniowana jako przy czym 0 ≤ k ≤ n

Symbol Newtona- przykład

Wariacje Dzieli się je na: Z powtórzeniami Bez powtórzeń

Wariacje z powtórzeniami Wariacją z powtórzeniami k-wyrazową zbioru n- elementowego nazywa się k-wyrazowy ciąg elementów tego zbioru (dowolny element może wystąpić wielokrotnie w ciągu). Należy zauważyć, iż kolejność elementów ma znaczenie. Jej wartość wynosi n^k.

Wariacje z powtórzeniami- przykład Zad. 1. W urnie znajduje się sześć kul ponumerowanych od 1 do 6. Losujemy kolejno 4 kule, zawracając je za każdym razem po zapisaniu ich numerów. Ile różnych czterocyfrowych liczb możemy w ten sposób otrzymać?

Wariacje z powtórzeniami- przykład Rozwiązanie ilość elementów n=6 ilość wyrazów w losowaniu k=4 podstawiając do wzoru n^k otrzymujemy wyrażenie 6^4 którego wartość wynosi 1296 czyli istnieje 1296 możliwości otrzymania w taki sposób liczby czterocyfrowej.

Wariacje bez powtórzeń Wariacja k-wyrazową zbioru n-elementowego A (1 ≤ k ≤ n) nazywa się każdy k-wyrazowy ciąg k różnych elementów tego zbioru. Należy zauważyć, że kolejność ma znaczenie. Jej wartość wynosi

Wariacje bez powtórzeń- przykład Zad. 1. Na ile sposobów można ustawić pięcioosobową kolejkę wybierając z grupy 10 osób?

Wariacje bez powtórzeń- przykład Rozwiązanie ilość osób (elementów) n=10 ilość osób w kolejce (wyrazów) k=5 Taką kolejkę można ustawić na 30240 sposobów.

permutacje Dzieli się je na: Z powtórzeniami Bez powtórzeń

Permutacje bez powtórzeń Permutacją zbioru n-elementowego nazywamy każdy n-wyrazowy ciąg utworzony ze wszystkich elementów tego zbioru, czyli każde ustawienie wszystkich elementów zbioru w dowolnej kolejności i jej wartość wynosi n!

Permutacje - przykład Zad. 1 Na ile sposobów można ułożyć 6 książek na półce? Rozwiązanie ilość sposobów równa jest 6!, czyli 720, ponieważ na pierwszym miejscu mamy możliwość wyboru z 6 książek, na kolejnym już z 5 itd.. Można zapisać to inaczej jako 6*5*4*3*2*1= 720.

Permutacje z powtórzeniami Permutacja z powtórzeniami rozpatruje przypadki, gdy ilość powtórzeń danego elementu jest ściśle określona. Permutacją z powtórzeniami zbioru n-elementowego, nazywamy każdy ciąg n- wyrazowy utworzony z elementów tego zbioru, wśród których pewne elementy powtarzają się odpowiednio n1, n2, ..., nk razy. Jeżeli spośród elementów: a, b i c, element a weźmiemy dwa razy, element b jeden raz i element c jeden raz, możemy utworzyć następujące permutacje z powtórzeniami. {a, a, b, c}, {a, a, c, b},{a, b, a, c}, {a, b, c, a}, {a, c, a, b}, {a, c, b, a},{b, a, a, c}, {b, a, c, a},{b, c, a, a}, {c, a, a, b},{c, a, b, a}, {c, b, a, a}. Liczba permutacji z powtórzeniami zbioru n-elementowego, wśród których pewne elementy powtarzają się odpowiednio n1, n2, ..., nk razy wyraża się wzorem:

Permutacje z powtórzeniami - przykład Zad. 1 Na ile sposobów można utworzyć słowa mające sens lub nie ze wszystkich liter wyrazu MATEMATYKA Rozwiązanie litery M – 2 razy, A - 3 razy, T- 2 razy, E,Y,K – 1 raz Liczba słów jest równa:

Kombinacje Dzieli się je na: Z powtórzeniami Bez powtórzeń

kombinacje z powtórzeniami Kombinacją k-elementową z powtórzeniami utworzoną z n- elementowego multizbioru (k ≤ n, n > 0) nazywamy każdy k- elementowy multizbiór. Z trzech danych elementów: a, b, c, można utworzyć następujące dwuelementowe kombinacje z powtórzeniami: {a, a}, {a, b}, {a, c}, {b, b}, {b, c}, {c, c}. Liczba k-elementowych kombinacji z powtórzeniami multizbioru n-elementowego wyraża się wzorem:

kombinacje z powtórzeniami - przykład Zad. 1 Święty Mikołaj ma pięć różnych prezentów. Na ile sposobów może obdarować troje dzieci wszystkimi prezentami pod warunkiem, że każde dziecko otrzyma co najmniej jeden prezent? Rozwiązania:

kombinacje z powtórzeniami – rozwiązania Każde z trojga dzieci otrzymuje co najmniej jeden prezent oraz wszystkie prezenty są rozdane. Możliwa jest zatem sytuacja, w której dwoje dzieci otrzymuje po dwa prezenty, a jedno dziecko 1 prezent: (2,2,1), (2,1,2), (1,2,2) oraz sytuacja w której jedno dziecko otrzymuje trzy prezenty, a dwoje dzieci po jednym prezencie: (3,1,1), (1,3,1), (1,1,3). W pierwszej sytuacji dla jednego dziecka możemy wybrać dwa spośród 5 prezentów na =10 sposobów, dla drugiego dziecka 2 prezenty spośród 3 na =3 sposoby oraz dla trzeciego dziecka ostatni prezent tylko na 1 sposób. W drugiej sytuacji dla jednego dziecka możemy wybrać 3 spośród 5 prezentów na =10 sposobów, dla drugiego dziecka 1 prezent spośród 2 na 2 sposoby oraz dla trzeciego dziecka ostatni prezent tylko na 1 sposób. Łącznie razem mamy 3·(10 · 3 · 1) + 3·(10 · 2 · 1) = 150 sposobów.

Kombinacje bez powtórzeń Liczba sposobów, na które spośród n różnych elemetów można wybrać k ( 0 ≤ k ≤ n )elementów, jest równa

Kombinacje k- elementowa kombinacja bez powtórzeń ze zbioru n- elementowego A ( n ≥ k ) jest to każdy k- elementowy podzbiór zbioru A. Liczbę wszystkich k- elementowych podzbiorów zbioru n- elementowego oblicza się ze wzoru:

Kombinacje przykład Na ile sposobów można spośród 7 uczniów wybrać trójkę klasową? n = 7 , k = 3 zatem

Prawdopodobieństwo Niech Ω będzie skończonym zbiorem wszystkich zdarzeń elementarnych. Jeżeli wszystkie zdarzenia jednoelementowe są jednakowo prawdopodobne, to prawdopodobieństwo zdarzenia A należącego do zbioru Ω jest równe P(A)=A/Ω gdzie A oznacza liczbę elementów zbioru A, zaś Ω – liczbę elementów zbioru Ω .

Przykłady zadań Zad. 1 Ile liczb 6-cyfrowych można utworzyć z cyfr 0, 1, 2, 3, 4 i 5, tak aby liczba ta była podzielna przez 25? Jakie to są przypadki, że liczba jest podzielna przez 25? Kończy się cyframi: 00, 25, 50 lub 75. Tylko dwie z nich możemy uzyskać w tym zadaniu, 25 i 50 -rozpatrzmy je oddzielnie. Liczba z końcówką 25: pierwszą cyfrę wybieramy spośród 3 cyfr (bez 2, 5, 0), następną spośród 3 cyfr (bez 2, 5 i bez tej, która była już wybrana), potem spośród 2 cyfr oraz 1 następną, po której następuje końcówka 25. Liczba z końcówką 50: pierwszą cyfrę wybieramy spośród 4 cyfr (bez 0, 5), drugą spośród 3 pozostałych, następną spośród 2 oraz 1 ostatnią, przed końcówką 50. Wynik:

Przykłady zadań Zad.2 Z talii 52 kart losujemy 3 karty. Ile jest możliwych wyników losowań, tak aby wśród wylosowanych były co najwyżej 2 piki. Możliwości wylosowania 3 kart spełniających warunki: losujemy 2 spośród 13 (piki) oraz losujemy 1 spośród 39 (pozostałe), lub losujemy 1 spośród 13 oraz losujemy 2 spośród 39 (pik + dwie jakieś), lub nie mamy żadnych pików oraz losujemy 3 spośród 39 (co spełnia warunek 'nie więcej niż 2 piki').

Przykłady zadań Zad. 3 Ile różnych słów (mających sens lub nie) można ułożyć przez przestawienie liter w wyrazie "matematyka"? Treść można przedstawić jako "na ile sposobów można ułożyć 10-wyrazowy ciąg mając 10 elementów", należy jednak odjąć powtórzenia. Możemy przecież zamienić litery 'm' w wyrazie matematyka, uzyskując ten sam wyraz ponownie. Nasze rozwiązanie zmniejszy się o te powtórzenia (gdy wyraz się nie zmienia). Możemy zamienić: 2! razy literę m, ponownie 2! razy literę t oraz na 3! sposoby literę a. Podzielimy rozwiązanie (permutacja 10 elementów: 10!) przez ilości powtórzeń. Wynikiem jest:  

Przykłady zadań Zad.4 W urnie jest 20 kul, w tym 6 czarnych. Na ile sposobów można wybrać 3 kule, tak aby były wśród nich przynajmniej 2 czarne? . Są 2 przypadki, rozpatrzymy je oddzielnie (i zsumujemy wyniki): 2 czarne oraz inna kula 3 czarne kule Przypadek 1. Wybieramy 2 czarne kule spośród zbioru 6 kul czarnych oraz 1 kulę innego koloru spośród 14 pozostałych: Przypadek 2. Wybieramy 3 kule spośród 6 czarnych kul: Razem mamy 20+210 = 230 sposobów.