Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu www.szkolnictwo.pl Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu www.szkolnictwo.pl mogą być wykorzystywane przez jego Użytkowników wyłącznie w zakresie własnego użytku osobistego oraz do użytku w szkołach podczas zajęć dydaktycznych. Kopiowanie, wprowadzanie zmian, przesyłanie, publiczne odtwarzanie i wszelkie wykorzystywanie tych treści do celów komercyjnych jest niedozwolone. Plik można dowolnie modernizować na potrzeby własne oraz do wykorzystania w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.

„Największym nierozwiązanym problemem w matematyce jest to, dlaczego niektórzy ludzie rozumieją ją lepiej od innych.” Adrian Mathesis

PODZIAŁ ODCINKA NA RÓWNE CZĘŚCI. Konstrukcyjne podzielenie odcinka na dwie równe części jest bardzo proste, tak samo jak podzielenie go na cztery, osiem, szesnaście czy wreszcie 2n równych części. Problem pojawia się w momencie, gdy musimy podzielić odcinek na trzy czy siedem równych części. W takich przypadkach z pomocą przychodzi twierdzenie Talesa, dzięki niemu możemy podzielić odcinek na dowolną ilość równych części.

PODZIAŁ ODCINKA. Jak przeprowadzić podział odcinka na równe części za pomocą cyrkla i linijki pokażemy na przykładzie podziału odcinka AB na trzy równe części. A B

PODZIAŁ ODCINKA. 1. Rysujemy dowolną półprostą o początku w punkcie A nachyloną do odcinka AB (pod kątem różnym od 180°)

PODZIAŁ ODCINKA. 2. Wbijamy nóżkę cyrkla w punkcie A i zaznaczamy na prostej k odcinek dowolnej długości – otrzymujemy punkt M (oczywiście dobieramy długość odcinka rozsądnie – nie za długi, nie za krótki).

PODZIAŁ ODCINKA. 3. Nie zmieniając rozwartości cyrkla wbijamy nóżkę w punkcie M i odkładamy kolejny odcinek – otrzymujemy punkt N. Całość powtarzamy tyle razy, na ile części musimy podzielić odcinek(my dzielimy na 3 części).

PODZIAŁ ODCINKA. 4. Rysujemy prostą przechodzącą przez ostatni narysowany punkt i koniec odcinka, w tym przypadku przez punkty L i B.

PODZIAŁ ODCINKA. 5. Kreślimy proste równoległe do narysowanej prostej tak aby przechodziły przez pozostałe punkty – u nas N i M. Dzielą one odcinek AB na trzy równe części.

PODZIAŁ ODCINKA. Oto animacja przedstawiająca podział odcinka na 5 równych części:

PROSTE RÓWNOLEGŁE. Jak podczas podanej konstrukcji narysować proste równoległe? Najlepiej użyć do tego ekierki i linijki. Pierwszą prostą rysujemy „od ekierki” ustawiając ją w następujący sposób:

PROSTE RÓWNOLEGŁE. Przytrzymując linijkę przesuwamy ekierkę tak, aby można było narysować linię przechodzącą przez kolejny punkt:

PROSTE RÓWNOLEGŁE. Kontynuujemy przesuwanie aż do narysowania wszystkich prostych.

PODZIAŁ ODCINKA W DANYM STOSUNKU. Często istnieje potrzeba podzielenia odcinka w danym stosunku, np. 1 : 2; 2: 3 itp. Co to oznacza? Punkt C dzieli odcinek AB w stosunku 2 : 3, jeśli |AC|:|CB| = 2 : 3 Aby podzielić odcinek w stosunku 2 : 3, trzeba go najpierw podzielić na 5 równych części. Aby podzielić odcinek w stosunku a : b, należy go najpierw podzielić na a + b równych części.

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 1. Odcinek AB o długości 6,3 cm podzielono w stosunku 3 : 4. Jaką długość ma dłuższy z otrzymanych odcinków? Odcinek podzielony jest w stosunku 3 : 4, a więc można w nim wyróżnić 3 + 4 = 7 równych części. Z tego wynika, że dłuższa część odcinka stanowi długości całego odcinka. Obliczamy więc długość tej części:

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 2. Punkt O dzieli odcinek NM w stosunku 2 : 5. Dłuższy z otrzymanych odcinków – odcinek OM, ma długość 20 cm. O ile krótszy od odcinka OM jest odcinek ON? Mamy długość jednego z odcinków, możemy więc ułożyć prostą proporcję: 20 cm – 8 cm = 12 cm Odcinek ON jest o 12 cm krótszy od odcinka OM.

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 3. Narysuj dowolny trójkąt i prostymi przechodzącymi przez jeden z wierzchołków podziel go na 3 części o równych polach. Trójkąty mają równe pola, gdy mają wspólną wysokość i jednakowe podstawy.

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 3 – ciąg dalszy. Aby rozwiązać to zadania wystarczy podzielić podstawę trójkąta na 3 równe części, wtedy każda część będzie miała tę samą wysokość i podstawę. Rysujemy dowolny trójkąt:

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 3 – ciąg dalszy. Dzielimy jego podstawę na 3 równe części:

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 3 – ciąg dalszy. Łączymy punkty podziału z wierzchołkiem.

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 3 – ciąg dalszy. Każdy z trzech otrzymanych trójkątów ma takie samo pole. Dla niedowiarków zamieszczamy rysunek na którym pole zostało wyliczone przez specjalny program komputerowy: