Dane INFORMACYJNE Nazwa szkoły: Zespół Szkół Ogólnokształcących i Zawodowych w Pogorzeli ID grupy: 97/63_MF_G1 Kompetencja: matematyczno- fizyczna Temat projektowy: Kombinatoryka w rachunku prawdopodobieństwa Semestr/rok szkolny: IV/ 2011/2012

KOMBINATORYKA W RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA

KOMBINATORYKA W RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA Rachunek prawdopodobieństwa to dział matematyki zajmujący się zdarzeniami jakie zachodzą, gdy przeprowadzamy doświadczenia losowe. Doświadczenie jest losowe, jeżeli można je wielokrotnie powtarzać w tych samych warunkach i wyniku doświadczenia nie potrafimy z góry przewidzieć. Przykładem takich doświadczeń jest rzut monetą, rzut kostką do gry, losowanie karty z talii kart, itp.

Silnia KOMBINATORYKA W RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA Jeśli mamy wyrażenie, którym jest ciąg mnożeń kolejnych liczb od 1, np. 1 * 2 * 3 * 4 * 5, możemy zapisać go w skrócie jako 5! (pięć silnia).

KOMBINATORYKA W RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA PERMUTACJA - przestawienie, zmiana; układanie elementów (pewnego ciągu, serii) w różnej kolejności; każdy z różnych możliwych układów danych elementów. Permutacja wyraża się wzorem : Pn = n! Dowód. Przeprowadzimy dowód tego twierdzenia stosując zasadę indukcji matematycznej. Jeśli n=1, tzn. dysponujemy tylko jednym elementem, to możemy utworzyć tylko jeden ciąg. Ponieważ 1! =1 , zatem twierdzenie jest prawdziwe dla n=1. Założenie indukcyjne: Dla pewnego k, liczba permutacji w zbiorze k- elementowym wynosi k!. Teza: Liczba permutacji w zbiorze (k+1)- elementowym wynosi (k+1)!.

KOMBINATORYKA W RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA Dowód tezy : Przedstawmy zbiór (k+1)-elementowy X' w postaci X È {x k+1}, gdzie X jest zbiorem k- elementowym i x k+1 do niego nie należy. Permutację zbioru X' możemy uzyskać biorąc jakąkolwiek permutację zbioru X i uzupełnić ją wstawiając na wszystkie możliwe pozycje element xk+1 . Pozycji, na których możemy umieścić nowy element, jest oczywiście (k+1) (przed pierwszym elementem, przed drugim itd. ..., po ostatnim). Na mocy założenia indukcyjnego, k- elementowych permutacji jest k!. Zatem wszystkich (k+1)-elementowych permutacji jest k! *(k+1) , czyli (k+1)!. Ponieważ wszystkie założenia zasady indukcji matematycznej zostały spełnione, więc twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich liczb naturalnych.

Na ile sposobów można ułożyć owoce: KOMBINATORYKA W RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA Na ile sposobów można ułożyć owoce: jabłko, banan P2 = 2! = 2, - permutacje 2-elementowe zbioru 2-elementowego jabłko, banan, kiwi P3 = 3! = 6 - permutacje 3-elementowe zbioru 3-elementowego, istnieje 6 różnych ciągów 3-wyrazowych 4 owoce P4 = 4! = 24 jabłko banan Jabłko, banan, kiwi Banan, jabłko, kiwi Kiwi, jabłko, banan Jabłko, kiwi, banan Banan, kiwi, jabłko Kiwi, banan, jabłko

KOMBINATORYKA W RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA ZADANIE: Na ile sposobów możemy ustawić 3 książki na półce? P(3)=3!=1*2*3=6 Książkę można ustawić na 6 różnych sposobów. 1 2 3

ELEMENTY PRAWODPODOBIEŃSTWA Kombinacje KOMBINATORYKA W RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA ELEMENTY PRAWODPODOBIEŃSTWA Kombinacje Kombinacją (bez powtórzeń) k- elementową (kϵN) zbioru Z n- elementowego (nϵ N+) o różnych elementach jest każdy podzbiór k- elementowy (k≤n) utworzony z elementów zbioru Z. Liczba wszystkich różnych k- elementowych kombinacji zbioru n- elementowego wyraża się wzorem:

KOMBINATORYKA W RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA

KOMBINATORYKA W RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA Na ile sposobów można wybrać z koszyka 3 owoce spośród 5: jabłka, gruszki, śliwki, banana i kiwi ? Jabłko, gruszka, śliwka Jabłko, gruszka, banan Jabłko, gruszka, kiwi Jabłko, śliwka, banan Jabłko, śliwka , kiwi Gruszka, śliwka, banan Gruszka, śliwka, kiwi Śliwka, banan, kiwi Banan, gruszka, kiwi Jabłko, banan, kiwi

Elementy kombinatoryki Wariacje bez powtórzeń KOMBINATORYKA W RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA Elementy kombinatoryki Wariacje bez powtórzeń Wariacją (bez powtórzeń) k- wyrazową (kϵN) zbioru Z n- elementowego (nϵ N+) o różnych elementach jest każdy k- wyrazowy (k≤n) ciąg utworzony z elementów zbioru Z. Liczba wszystkich różnych k- wyrazowych wariacji bez powtórzeń utworzonych ze zbioru n- elementowego wyraża się wzorem:

KOMBINATORYKA W RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA Przykład Z okazji święta szkoły uczniowie postanowili udekorować budynek trójkolorowymi chorągiewkami. Ile mogą uszyć różnych trójkolorowych chorągiewek, mając do dyspozycji materiał w 8 kolorach i zakładając, że pasy materiału są jednakowej wielkości i każdy jest innego koloru? Uczniowie mogą uszyć 336 chorągiewek.

Elementy kombinatoryki Wariacje z powtórzeniami KOMBINATORYKA W RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA Elementy kombinatoryki Wariacje z powtórzeniami Wariacją z powtórzeniami k- wyrazową (kϵN) zbioru Z n- elementowego (nϵ N+) jest każdy k- wyrazowy (k≤n) ciąg utworzony z elementów zbioru Z. Liczba wszystkich różnych k- wyrazowych wariacji z powtórzeniami zbioru n- elementowego wyraża się wzorem: Ciągów 3-wyrazowych o niekoniecznie różnych wyrazach ze zbioru 5-elementowego można utworzyć:

Bluzki można umieścić na 2187 sposobów. KOMBINATORYKA W RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA PRZYKŁADy Na ile sposobów można umieścić w 3 szufladach 7 bluzek? Trzech pasażerów wsiada do pociągu złożonego z 5 wagonów. Na ile sposobów mogą być rozmieszczeni w wagonach ? Bluzki można umieścić na 2187 sposobów. Pasażerowie mogą być rozmieszczeni na 125 sposobów.

Rachunek prawdopodobieństwa KOMBINATORYKA W RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA Rachunek prawdopodobieństwa Rachunek prawdopodobieństwa to dział matematyki zajmujący się badaniem zjawisk losowych oraz praw nimi rządzących. Doświadczenie losowe to eksperyment dający się wielokrotnie powtórzyć w prawie identycznych warunkach. Zdarzenie losowe to niedający się przewidzieć wynik doświadczenia losowego. Zdarzenie elementarne (pojęcie pierwotne) – pojedynczy wynik doświadczenia losowego.

Klasyczna definicja prawdopodobieństwa KOMBINATORYKA W RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA Klasyczna definicja prawdopodobieństwa Jeżeli Przestrzeń zdarzeń elementarnych jest zbiorem skończonym Zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne to: - oznacz liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A - oznacz liczbę wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych

KOMBINATORYKA W RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA Aby ułatwić sobie korzystanie ze wzorów przy rozwiązywaniu zadań można skorzystać z algorytmu postępowania :

KOMBINATORYKA W RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA Zadania Zad.1 Na ile sposobów Agata może umieścić 4 sweterki w 6 szufladach tak, aby: Każdy sweterek był w innej szufladzie, Sweterki były rozmieszczone dowolnie Wszystkie sweterki były w jednej szufladzie?

Każdy urodził się w innym dniu tygodnia KOMBINATORYKA W RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA Zad.2 Sześciu kolegów postanowiło obliczyć, ile jest przyporządkowań dni tygodnia, w których się urodzili, jeżeli: Każdy urodził się w innym dniu tygodnia Urodzili się w dowolnym dniu tygodnia

Iloczyn wyrzuconych oczek jest równa 6 KOMBINATORYKA W RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA Zad.3 Rzucamy dwiema kostkami sześciennymi. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń: Iloczyn wyrzuconych oczek jest równa 6 Suma wyrzuconych oczek jest liczbą podzielną przez 3 Suma wyrzuconych oczek jest mniejsza od 10

na obu częściach wylosowanej kostki jest taka sama liczba oczek KOMBINATORYKA W RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA Zad.4 Z zestawu kostek do gry w domino (28 różnych kostek) losujemy jedną kostkę. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że: na obu częściach wylosowanej kostki jest taka sama liczba oczek A={ (0;0); (1;1); (2;2); (3;3); (4;4); (5;5); (6;6)} Odp. Prawdopodobieństwo wynosi

KOMBINATORYKA W RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA Zad.5 Z urny, w której znajdują się 4 ponumerowane kule białe i 3 czarne, losujemy bez zwracania dwie kule. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń: A-obie wylosowane kule będą białe, B-dokładnie jedna z wylosowanych kul będzie biała.

KOMBINATORYKA W RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA ,

Liczby podzielnej przez 4 KOMBINATORYKA W RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA Zad.6 Ze zbioru liczb {1,2,3,4...,10} wybieramy losowo jedną. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania: Liczby nieparzystej Liczby podzielnej przez 4

KOMBINATORYKA W RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA Zad. 7 Z talii 52-kartowej wybieramy losowo jedną kartę. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania: Karty koloru pikowego Asa

Karty koloru pikowego lub asa KOMBINATORYKA W RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA Karty koloru pikowego lub asa Karty młodszej od piątki lub starszej od trójki

KOMBINATORYKA W RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA Zad. 8 Wybieramy losowo jedną literę ze słów AS KOMPETENCJI. Oblicz prawdopodobieństwo, że będzie to litera E.

Źródła: KOMBINATORYKA W RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA http://pl.wikibooks.org/wiki/Matematyka_dla_liceum http://megamatma.com/uczniowie/szkola-srednia/teoria-prawdopodobienstwa- kombinatoryka-elementy-statystyki-opisowej http://matematyka.pisz.pl/ http://pl.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Skarbnica_Wikipedii/Przegląd_zagadnień_z_zakres u_matematyki http://www.edupress.pl/pdf/12/1644.pdf http://www.edukator.pl/portal-edukacyjny/kombinatoryka/760.html