I. Informacje podstawowe Analiza matematyczna I. Informacje podstawowe WYKŁAD 1 Wartości logiczne i rachunek zbiorów Krzysztof Kucab Rzeszów, 2012

Plan wykładu oznaczenia i wartości logiczne, zbiory, rachunek zbiorów.

Oznaczenia i wartości logiczne Oznaczenia logiczne Niech litery p i q oznaczają dwa zdania orzekające. Korzystając z funktorów możemy utworzyć wyrażenia rachunku zdań: Suma logiczna (alternatywa): (p lub q) Iloczyn logiczny (koniunkcja): (p i q) Implikacja (z p wynika q): (jeśli p, to q) Równoważność ( i ): (p w.t.w. gdy q) Negacja (nieprawda, że p): (nie p)

Oznaczenia i wartości logiczne Tabela wartości logicznych zdań złożonych p q p pq pq pq pq 1

Oznaczenia i wartości logiczne Prawa rachunku zdań (tautologie) Prawa de Morgana: prawo zaprzeczenia koniunkcji: prawo zaprzeczenia alternatywy: Prawo kontrapozycji:

Oznaczenia i wartości logiczne Kwantyfikatory Mówimy, że przedmiot a spełnia funkcję zdaniową F(x), gdy zdanie powstające z F(x) przez zastąpienie argumentu x (argumentu logicznego) nazwą przedmiotu a, tzn. F(a), jest zdaniem prawdziwym.

Oznaczenia i wartości logiczne Kwantyfikatory Kwantyfikator ogólny: Jeżeli dla każdego argumentu x zdanie F(x) jest prawdziwe to fakt ten zapisujemy: i czytamy: dla każdego x zachodzi F(x). Często używamy także symbolu:

Oznaczenia i wartości logiczne Kwantyfikatory Kwantyfikator szczegółowy: Jeżeli dla jakiegoś argumentu x zdanie F(x) jest prawdziwe to fakt ten zapisujemy: i czytamy: istnieje takie x, że F(x) jest prawdziwe. Często używamy także symbolu:

Oznaczenia i wartości logiczne Twierdzenia dotyczące operowania kwantyfikatorami

Zbiory Zbiory oznaczamy dużymi literami alfabetu łacińskiego, Elementy zbiorów oznaczamy małymi literami alfabetu łacińskiego, oznacza, że a jest elementem zbioru A , oznacza, że a nie jest elementem zbioru A, Zbiór pusty oznaczamy symbolem , Zapis oznacza zbiór tych (wszystkich) elementów x, dla których F(x) jest zdaniem prawdziwym.

Rachunek zbiorów Rachunek zbiorów Suma zbiorów: Iloczyn (przekrój) zbiorów: Różnica zbiorów A i B:

Rachunek zbiorów Rachunek zbiorów Zbiory A i B są rozłączne gdy: Zbiór A jest podzbiorem zbioru B: Zbiór A jest równy zbiorowi B (A=B) gdy: Dopełnienie zbioru B w A to różnica A\B w przypadku gdy

Własności operacji na zbiorach: Rachunek zbiorów Własności operacji na zbiorach:

Zbiory Zbiory ograniczone Zbiór XR, jest ograniczony z dołu, jeżeli: Liczbę m nazywamy ograniczeniem z dołu zbioru X. Zbiór XR, jest ograniczony z góry, jeżeli: Liczbę M nazywamy ograniczeniem z góry zbioru X.

Zbiory Zbiory ograniczone Zbiór XR, jest ograniczony, w.t.w., gdy jest ograniczony z dołu i z góry, tzn.: Zbiór, który nie jest ograniczony nazywamy nieograniczonym. Uwaga – można tak dobrać stałe, aby: 0<M=-m, wtedy:

Zbiory Kresy zbioru Mówimy, że liczba a jest najmniejszym elementem zbioru XR, co zapisujemy: wtedy i tylko wtedy, gdy: Mówimy, że liczba b jest największym elementem zbioru XR, co zapisujemy:

Zbiory Kresy zbioru – kres dolny zbioru Niech zbiór XR będzie ograniczony z dołu. Liczba d jest kresem dolnym tego zbioru, co zapisujemy: wtedy i tylko wtedy, gdy: Jeżeli zbiór X nie jest ograniczony z dołu, to:

Zbiory Kresy zbioru – kres górny zbioru Niech zbiór XR będzie ograniczony z góry. Liczba g jest kresem górnym tego zbioru, co zapisujemy: wtedy i tylko wtedy, gdy: Jeżeli zbiór X nie jest ograniczony z góry, to:

Zbiory Kresy zbioru Aksjomat ciągłości: każdy niepusty podzbiór zbioru R ograniczony z dołu ma kres dolny każdy niepusty podzbiór zbioru R ograniczony z góry ma kres górny

Zbiory Zbiór liczb rzeczywistych N - zbiór liczb naturalnych (Natural) Z - zbiór liczb całkowitych (Zahl) Q - zbiór liczb wymiernych (Quotient) R - zbiór liczb rzeczywistych (Real)

Zbiory Zbiór liczb całkowitych i wymiernych Zasada Archimedesa: Jeżeli to istnieje takie, że: W przypadku x=1 otrzymamy: Liczbę n-1 nazywamy częścią całkowitą y i oznaczamy symbolem [y].

Zbiory Odcinek Załóżmy, że Odcinkiem domkniętym [a,b] nazywamy zbiór: Odcinkiem otwartym (a,b) nazywamy zbiór:

Każdy odcinek otwarty zawiera liczbę wymierną Zbiory Odcinek Każdy odcinek otwarty zawiera liczbę wymierną Dowód na podstawie twierdzenia Archimedesa

Zbiory Rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych Niech Rozszerzona relacja porządku w zbiorze R:

Zbiory Rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych Na zbiór przenoszą się pojęcia odcinka domkniętego i otwartego. Odcinki domknięte w postaci gdzie wyznaczają półproste domknięte w R. Zapisujemy to odpowiednio: Odcinki otwarte w postaci gdzie wyznaczają półproste w R.

Rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych Ważne zależności w zbiorze Zbiory Rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych Ważne zależności w zbiorze

Rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych Działania niewykonalne w zbiorze Zbiory Rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych Działania niewykonalne w zbiorze