Podstawy analizy matematycznej II Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w przemyśle" POKL.04.01.02-00-189/10

Granica i ciągłość funkcji Mówimy, że liczba g jest granicą lewostronną (prawostronną) funkcji f (x ) w punkcie x = c, co zapisujemy lim f (x ) = g ( lim f (x ) = g ), x  c  0 x  c + 0 jeżeli dla każdego  > 0 istnieje taka liczba  > 0, że | f (x )  g | <  dla c   < x < c (c < x < c +  ). Mówimy, że + jest granicą lewostronną (prawostronną) funkcji f (x ) w punkcie x = c, jeżeli dla każdej liczby M > 0 istnieje taka liczba  > 0, że f (x ) > M dla c   < x < c (c < x < c + ). Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Granica i ciągłość funkcji Mówimy, że  jest granicą lewostronną (prawostronną) funkcji f (x ) w punkcie x = c, jeżeli dla każdej liczby M > 0 istnieje taka liczba  > 0, że f (x ) < M dla c   < x < c (c < x < c + ). Są to definicje w sensie Cauchy’ego. Definicja granicy funkcji w sensie Heinego : Mówimy, że liczba g (+, ) jest granicą lewostronną (prawostronną) funkcji f (x ) w punkcie x = c, jeżeli dla każdego ciągu {xn} zbieżnego do c i takiego, że dla każdego n zachodzi xn < c (xn > c), mamy lim f (xn) = g (+, ). n   Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Granica i ciągłość funkcji Mówimy, że liczba g jest granicą funkcji f (x ) w punkcie x = c, co zapisujemy lim f (x ) = g, x  c jeżeli istnieją granice lewostronna i prawostronna w punkcie x = c i obie są sobie równe. Mówimy, że liczba g jest granicą funkcji f (x ) przy x  + (x  ), co zapisujemy lim f (x ) = g ( lim f (x ) = g ), x  + x   jeżeli dla dowolnej liczby  > 0 istnieje taka liczba K > 0, że | f (x)  g | <  dla każdej wartości x > K (x < K ). Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Granica i ciągłość funkcji Mówimy, że funkcja f (x) dąży do + () przy x  +, co zapisujemy lim f (x ) = + ( lim f (x ) =  ), x  + x  + jeżeli dla dowolnej liczby M > 0 istnieje taka liczba K > 0, że f (x ) > M ( f (x ) < M ) dla każdej wartości x > K. Granice lim f (x ) = + i lim f (x ) =  x   x   określamy podobnie. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Granica i ciągłość funkcji Jeżeli istnieją granice lim f (x ) i lim g (x ), to x  c x  c lim (f (x )  g (x )) = lim f (x )  lim g (x ) x  c x  c x  c lim (f (x )  g (x )) = lim f (x )  lim g (x ) x  c x  c x  c lim (f (x )/g (x )) = lim f (x ) / lim g (x ), jeśli lim g (x )  0. x  c x  c x  c Funkcję f (x ) nazywamy funkcją ciągłą w punkcie x = c, jeżeli istnieje granica lim f (x ) i jeśli granica ta jest równa f (c ). x c Suma i iloczyn funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą. Iloraz funkcji ciągłych o dzielniku różnym od zera jest funkcją ciągłą. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Granica i ciągłość funkcji Przykład 1. Obliczyć granicę funkcji f (x ) = (3x 2  5x  2)/(5x 2  20) w punkcie x = 2. Dla x = 2 licznik i mianownik jest równy 0, a więc funkcja nie jest określona w tym punkcie. Zauważmy, że 3x 2  5x  2 = 3(x  2)(x + 1/3) i 5x 2  20 = 5(x  2)(x + 2). Możemy zatem funkcję f (x ) zapisać w postaci f (x ) = {3(x + 1/3)/[5(x + 2)]}  {(x  2)/(x  2)} = g (x )  h (x ). Pierwszy czynnik g (x ) jest funkcją wymierną, ciągłą w punkcie x = 2, więc lim g (x ) = g (2) = [3(2 + 1/3)]/[5(2+2)] = 7/20. x  2 Drugi czynnik h (x ) równa się 1 dla x  2, a dla x = 2 nie jest zdefiniowany. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Granica i ciągłość funkcji W myśl definicji granicy lim h (x ) istnieje i równa się 1. x  2 Na podstawie twierdzenia o granicy iloczynu funkcji mamy lim (3x 2  5x  2)/(5x 2  20) = (7/20)  1 = 7/20. Przykład 2. Wyznaczyć granicę funkcji [x ] w punkcie x = 3. Mamy lim [x ] = 3, gdyż dla 3  x < 4 jest [x ] = 3, x  3+0 natomiast lim [x ] = 2, bo dla 2  x < 3 jest [x ] = 2. x  30 Zatem granica funkcji [x ] w punkcie x = 3 nie istnieje. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Granica i ciągłość funkcji Przykład 3. Obliczyć lim (10x )/tg(3x ). x  0 Dla x = 0 licznik i mianownik są równe 0. Przekształcamy wyrażenie: (10x )/tg(3x ) = [10x cos(3x )]/sin(3x ) = (10/3)  cos(3x )  3x /sin(3x ). Na podstawie jednego z podstawowych wzorów teorii granic: lim sinx /x = 1 mamy lim 3x /sin(3x ) = lim 1/[sin(3x )/(3x )] = 1. Ponadto x  0 x  0 lim cos(3x ) = cos 0 = 1. Zatem lim (10/3)  cos(3x )  3x /sin(3x ) = (10/3)  1  1 = (10/3). Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Granica i ciągłość funkcji Przykład 4. Obliczyć lim f (x ) dla f (x ) = {x [x  (x 2  1)1/2]}1/2. x  + Po pomnożeniu i podzieleniu funkcji f (x ) przez [x + (x 2  1)1/2]1/2 mamy f (x ) = x 1/2/[x + (x 2  1)1/2]1/2. Dzieląc teraz licznik i mianownik przez x 1/2 otrzymujemy f (x ) = 1/[1+(1  1/x 2)], skąd ostatecznie lim f (x ) = 1/(1 + 11/2)1/2 = 1/21/2. Przykład 5. Wyznaczyć granicę funkcji exp[1/(1  x 2)] w punkcie x = 1. Przy wyznaczaniu granic funkcji wykładniczej korzystamy często z wzorów lim a x = +, lim a x = 0 dla a > 1 i lim a x = 0, lim a x = + dla 0 < a < 1. x  + x   x  + x   Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Granica i ciągłość funkcji Obliczmy najpierw w punkcie x = 1 granicę funkcji g (x ) = 1/(1  x 2). Funkcja ta nie jest określona w podanym punkcie. Przedstawiamy ją w postaci g(x ) = 1/(1 + x )  1/(1  x ). Pierwszy czynnik jest funkcją ciągłą w punkcie x = 1, w którym granica jest równa ½. Drugi czynnik ma granice lewostronną i prawostronną różne: lim 1/(1  x ) = +, lim 1/(1  x ) = . x  10 x  1+0 Z powyższego i na podstawie podanych wzorów wynika, że lim exp(1/(1  x 2) = 0, lim exp(1/(1  x 2) = +. x  1+0 x  10 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Pochodne funkcji Pochodną funkcji y = f (x ) w punkcie x nazywamy granicę, do której dąży stosunek przyrostu wartości funkcji y do przyrostu argumentu x , gdy przyrost argumentu dąży do zera, tj. granicę lim y/x = lim [f (x + x )  f (x )]/x . x  0 x  0 Pochodna funkcji y = f (x ) w danym punkcie jest równa współczynnikowi kątowemu (kierunkowemu) stycznej do wykresu funkcji w tym punkcie. Jeżeli funkcja ma w danym punkcie pochodną skończoną (jest różniczkowalna), to jest w tym punkcie ciągła (ale nie na odwrót, np. funkcja y = |x |w punkcie x = 0). Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Pochodne funkcji Pochodna sumy (różnicy) funkcji. Jeżeli y = u  v, to Pochodna iloczynu funkcji. Jeżeli y = u  v, to y’ = u’ v + uv’. Pochodna ilorazu funkcji. Jeżeli y = u /v i v  0, to y’ = (u’v  uv’ )/v 2. Pochodna funkcji złożonej. Jeżeli funkcja y = f (g (x )) jest określona w pewnym otoczeniu punktu x = x0 , funkcja g (x ) jest różniczkowalna w punkcie x = x0 oraz funkcja f (u ) jest różniczkowalna w punkcie u = u0 , gdzie u0 = g (x0), to (dy/dx)x =x0 = (dy/du)u =u0  (du/dx)x =x0 . Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Pochodne funkcji Pochodna funkcji odwrotnej. Jeżeli funkcja różniczkowalna y = f (x ) ma funkcję odwrotną x =g(y ), to pochodna funkcji odwrotnej jest równa odwrotności pochodnej danej funkcji, o ile dy/dx  0, tj. dx/dy = 1/ (dy/dx ). Ważniejsze wzory rachunku różniczkowego (wzory na pochodne) dotyczą funkcji potęgowej, trygonometrycznych, cyklometrycznych, hiperbolicznych, odwrotnych względem hiperbolicznych, wykładniczych oraz logarytmicznych. Wzory te należy znać! Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Pochodne funkcji Przykład 1. Obliczyć pochodną funkcji y = (3x 2  4x x 2/3)/(2x 1/2). Funkcja jest ciągła, gdy x > 0. Po podzieleniu licznika i mianownika przez x 1/2 mamy y = (3/2)x 3/2  2x 7/6, skąd y’ = (9/4)x 1/2  (7/3)x 1/6. Przykład 2. Wyznaczyć pochodną funkcji y = (2  x 2)/(2x 3 + x + 3). Stosujemy wzór na pochodną ilorazu. Pochodna licznika jest równa 2x, a pochodna mianownika wynosi 6x 2 + 1. Zatem y’ = [2x (2x 3 + x + 3)  (2  x 2)(6x 2 +1)]/(2x 3 + x + 3)2 = (2x 4  13x 2  6x  2)/(2x 3 + x + 3)2. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Pochodne funkcji Przykład 3. Obliczyć pochodną funkcji y = sin3[(1  2x )/x ]1/2. Funkcja ta jest określona w przedziale 0 < x < ½. Można ją przedstawić za pomocą czterech funkcji prostych: y = z 3, z = sinu, u = t 1/2, t = (1  2x )/x. Mamy dy/dz = 3z 2, dz/du = cosu, du/dt = 1/(2t 1/2), dt/dx = 1/x 2. Na podstawie wzoru na pochodną funkcji złożonej otrzymujemy dy/dx = 3z 2  cosu  1/2t 1/2  (1/x 2). Wracając do zmiennej x, po wykonaniu działań mamy dy/dx = 3/{2x [x (1  2x )]1/2}  sin2[(1  2x )/x ]1/2  cos[(1  2x )/x ]1/2. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Pochodne funkcji Przykład 4. Obliczyć pochodną funkcji y = x x, gdzie x > 0. Ponieważ e lnx = x, więc x x = e x lnx. Stosując wzór na pochodną funkcji złożonej mamy y’ = e x lnx [1  lnx + x  (1/x )] = x x (lnx + 1). Przykład 5. Wyznaczyć pochodną funkcji y = (sinx )tgx w przedziale 0 < x < /2. Ponieważ e lnu = u, więc sinx = e ln sinx. Po podniesieniu obu stron do potęgi tgx mamy y = (sinx )tgx = e tgx ln sinx. Jest to funkcja postaci e f(x ) i z wzoru na pochodną funkcji złożonej otrzymujemy, że jej pochodna wynosi e f(x )f’ (x ). Zatem y’ = e tgx ln sinx [(1/cos2x )ln sinx + tgx  (1/sinx )  cosx ] = (sinx )tgx [ln(sinx )/cos2x + 1]. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Pochodne funkcji Pochodną rzędu drugiego funkcji f (x ) nazywamy pochodną z pochodnej tej funkcji. Podobnie definiujemy pochodne wyższych rzędów. Przykład 1. Obliczyć pochodną rzędu szóstego wielomianu y = x 5  2x 4 + 4x 2  16x + 15. Mamy y’ = 5x 4  8x 3 + 8x  16, y” = 20x 3  24x 2 + 8, y’’’ = 60x 2  48x, y (4) = 120x  48. y (5) = 120, y (6) = 0. Pochodne wielomianu rzędu wyższego niż jego stopień są równe zeru. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Pochodne funkcji Przykład 2. Obliczyć pochodną rzędu n funkcji y = sinx. Mamy y’ = cosx, y” = sinx, y’’’ = cosx, y (4) = sinx = y i pochodne wyższych rzędów powtarzają się: y (5) = y’, y (6) = y” itd. Ponieważ y’ = cosx =sin(x + /2), y” = sinx = sin(x + 2  /2), y’’’ = cosx = sin(x + 3  /2), y (4) = sinx = sin(x + 4  /2), więc można podać ogólny wzór na pochodną rzędu n funkcji y = sinx : y (n ) = sin(x + n  /2). Wyprowadzenie ogólnych wzorów na pochodną dowolnego rzędu danej funkcji jest w ogólności zadaniem trudnym. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Pochodne funkcji Jeżeli funkcja ma postać lub daje się przedstawić w postaci iloczynu dwóch prostszych funkcji (y = uv ), dla których można łatwo znaleźć wzory na pochodne rzędu n, to pochodną rzędu n danej funkcji y wyznaczamy z wzoru Leibniza: y (n ) = u (n )v + (n1)u (n  1)v’ + (n2)u (n  2)v” + … + (nk)u (n  k )v (k ) + … + uv (n ). Przykład. Wyznaczyć pochodną rzędu n funkcji y = e x sinx. Przyjmując u = e x i v = sinx mamy u (n ) = (1)ne x, v (n ) = sin(x + n  /2) i na podstawie wzoru Leibniza: y (n ) = (1)n e x sinx + … + (1)n k (nk)e x sin(x + k  /2) + … + e x sin(x + n  /2). Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Pochodne funkcji Dla funkcji określonej równaniami parametrycznymi x = f (t ), y = g (t ), pochodną obliczamy z wzoru dy/dx = (dy/dt )/(dx/dt ), jeśli dx/dt  0. Przykład. Obliczyć pochodną dy/dx funkcji określonej równaniami parametrycznymi x = sint  t cost, y = cost + t sint . Mamy dx/dt = cost + t sint  cost = t sint , dy/dt = sint + t cost + sint = t cost . Zatem dy/dx = t cost /(t sint ) = ctgt . Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Pochodne funkcji Pochodną rzędu drugiego d 2y/dx 2 funkcji danej w postaci parametrycznej obliczamy następująco: d 2y/dx 2 = d/dx (dy/dx) = [d/dt (dy/dx)]/(dx/dt), gdzie d/dt (dy/dx) = d/dt [(dy/dt)/(dx/dt )] = (d 2y/dt 2  dx/dt  d 2x/dt 2  dy/dt )/(dx/dt )2 Przykład. Obliczyć d 2y/dx 2 funkcji określonej równaniami parametrycznymi x = sint  t cost, y = cost + t sint . Korzystając z poprzedniego przykładu i powyższego wzoru mamy d 2y/dx 2 = [d/dt (ctgt )]/(dx/dt ) = (1/sin2t )/(t sint ) = 1/(t sin3t ). Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Pochodne funkcji Mówimy, że funkcja f (x ) określona w przedziale [a, b] jest wypukła w tym przedziale, jeśli dla każdej liczby x = x1 + (1   )x2 , gdzie x1 < x2 i 0    1 zachodzi nierówność f (x)  y , gdzie y = f (x1)+ (1   )f (x2). Jeżeli funkcja f (x ) jest w przedziale [a, b] różniczkowalna i jej pochodna jest w tym przedziale funkcją rosnącą, to funkcja f (x ) jest wypukła w przedziale [a, b]. Jeżeli funkcja f (x ) jest w przedziale [a, b] dwukrotnie różniczkowalna i f” (x ) > 0 w [a, b], to funkcja f (x ) jest w tym przedziale wypukła. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Pochodne funkcji Mówimy, że funkcja f (x ) określona w przedziale [a, b] jest wklęsła w tym przedziale, jeśli dla każdej liczby x = x1 + (1   )x2 , gdzie x1 < x2 i 0    1 zachodzi nierówność f (x)  y , gdzie y = f (x1)+ (1   )f (x2). Jeżeli funkcja f (x ) jest w przedziale [a, b] różniczkowalna i jej pochodna jest w tym przedziale funkcją malejącą, to funkcja f (x ) jest wklęsła w przedziale [a, b]. Jeżeli funkcja f (x ) jest w przedziale [a, b] dwukrotnie różniczkowalna i f” (x ) < 0 w [a, b], to funkcja f (x ) jest w tym przedziale wklęsła. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Pochodne funkcji Punktem przegięcia wykresu funkcji y = f (x ), gdy funkcja f (x ) ma ciągłą pochodną drugiego rzędu, nazywamy taki jej punkt, w którym styczna do krzywej przechodzi z jednej strony krzywej na drugą. Jeżeli funkcja y = f (x ) ma ciągłą pochodną rzędu drugiego, to w punktach przegięcia wykresu funkcji mamy f” (x ) = 0. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego