ZDERZENIA SPRĘŻYSTE CENTRALNE

Zderzenie sprężyste centralne Przed zderzeniem Po zderzeniu x Zasada zachowania energii mechanicznej: m2v2’2 2 + m1v1’2 m2v22 m1v12 = Zasada zachowania pędu : m1v1 + (- m2v2) = ( - m1v1‘ ) + m2v2’

Zderzenie sprężyste centralne Przed zderzeniem Po zderzeniu m2v2’2 2 + m1v1’2 m2v22 m1v12 = m1v1 + (- m2v2) = ( - m1v1‘ ) + m2v2’ m2v2’2 + m1v1’2 m2v22 m1v12 = m1v1 - m2v2 = - m1v1‘ + m2v2’

Zderzenie sprężyste centralne Przed zderzeniem Po zderzeniu m2v2’2 + m1v1’2 m2v22 m1v12 = m1v1 - m2v2 = - m1v1‘ + m2v2’ Grupowanie względem mas: m2v2’2 - m1v1’2 m2v22 m1v12 = m1v1 + m1v1‘ = m2v2’ + m2v2

Zderzenie sprężyste centralne Przed zderzeniem Po zderzeniu m2v2’2 - m1v1’2 m2v22 m1v12 = m1v1 + m1v1‘ = m2v2’ + m2v2 m2 (v2’2 - v1’2 v22) m1 (v1 2 ) = m1 (v1 + v1‘) = m2 (v2’ + v2 ) Wykorzystanie wzoru (a2 – b2 )=(a-b)(a+b): m2 (v2’- v2)(v2’+ v2) v1’)(v1+ v1’) - m1 (v1 = m1 (v1 + v1‘) = m2 (v2’ + v2 )

Zderzenie sprężyste centralne Przed zderzeniem Po zderzeniu m2 (v2’- v2)(v2’+ v2) v1’)(v1+ v1’) - m1 (v1 = m1 (v1 + v1‘) = m2 (v2’ + v2 ) m2 (v2’- v2)(v2’+ v2) v1’)(v2’+ v2) - m2 (v1 = (v2’- v2) v1’) - (v1 = v2’- v2 v1’ - v1 = v2’- v2 - v1 -v1’ =

Zderzenie sprężyste centralne Przed zderzeniem Po zderzeniu v2’- v2 - v1 -v1’ = v2’ + v2 + v1 v1’ =- Podstawienie do zasady zachowania pędu: m1v1 + (- m2v2) = ( - m1v1‘ ) + m2v2’ m1v1 - m2v2 = - m1v1‘ + m2v2’ m1v1 - m2v2 = - m1(-v2’ + v2 + v1 ) + m2v2’ m1v1 - m2v2 = m1v2’ – m1v2 – m1v1 + m2v2’ v2’ =? m1v1 - m2v2 = v2’(m1+ m2) - m1v2 – m1v1

Zderzenie sprężyste centralne Przed zderzeniem Po zderzeniu m1v1 - m2v2 = v2’(m1+ m2) - m1v2 – m1v1 v2’ =? m1v1 - m2v2+ m1v2 + m1v1 = v2’(m1+ m2) 2m1v1 + v2(- m2+m1) = v2’(m1+ m2) 2m1v1 + v2(m1- m2) = v2’(m1+ m2) v2’ = (m1+ m2) 2m1v1 + v2(m1- m2)

Zderzenie sprężyste centralne Przed zderzeniem Po zderzeniu v2’ = (m1+ m2) 2m1v1 + v2(m1- m2) v1’ =? Podstawienie do: v2’ + v2 + v1 v1’ =- v1’ = - + v2 + v1 2m1v1 + v2(m1- m2) (m1+ m2) v1’ = -[2m1v1 + v2(m1- m2)] + (v2 + v1) (m1+ m2) (m1+ m2)

Zderzenie sprężyste centralne Przed zderzeniem Po zderzeniu v1’ =? v1’ = -[2m1v1 + v2(m1- m2)] + (v2 + v1) (m1+ m2) (m1+ m2) v1’ = -2m1v1 - v2(m1- m2) + (v2 + v1) (m1+ m2) (m1+ m2) v1’ = -2m1v1 - m1v2+ m2v2 + m1v2 + m2v2 +m1v1 + m2v1 (m1+ m2)

Zderzenie sprężyste centralne Przed zderzeniem Po zderzeniu v1’ =? v1’ = -2m1v1 + m2v2 + m2v2 +m1v1 + m2v1 (m1+ m2) v1’ = -m1v1 + 2m2v2 + m2v1 (m1+ m2) v1’ = (m1+ m2) 2m2v2 + v1(m2- m1)

Zderzenie sprężyste centralne Przed zderzeniem Po zderzeniu KOMENTARZ: jeśli wektory prędkości kul przed zderzeniem mają przeciwne zwroty niż te na rysunku, to ich wartości bierzemy ze znakiem ujemnym. KOMENTARZ: Wynik obliczenia wartości v1’ lub v2’ dodatni oznacza, że zwrot tych wektorów jest zgodny z ilustracją powyżej. Wynik ujemny oznacza, że zwrot tych wektorów jest przeciwny niż wektorów na ilustracji powyżej. v1’ = (m1+ m2) 2m2v2 + v1(m2- m1) v2’ = (m1+ m2) 2m1v1 + v2(m1- m2)

Ćwiczenie 1 v1’ =? v2’ =? v1’ = (5+5) 2·5·2 + 0·(5-5) = 2 v2’ = (5+5) m1= 5kg m2= 5kg v1’ =? 2 m/s v2’ =? v1= 0 m/s v2= 2 m/s 2 m/s v1’ = (5+5) 2·5·2 + 0·(5-5) = 2 v2’ = (5+5) 2·5·0 + (-2)·(5-5) = 0

Ćwiczenie 2 m2= 6kg m1= 4kg 10m/s 12m/s 2m/s

Ćwiczenie 3 m1= 6kg m2= 4kg 10m/s 8m/s 2m/s

Ćwiczenie 4 2m2v2 + 0·(m2- m1) v1’ = (m1+ m2) 2m2v2 v1’ = m1+ m2 v1’ = v1’ = m1+ m2 = 1+ v1’ ≈ 0 / (1+0)=0

Ćwiczenie 4 v1’ = (m1+ m2) 2m2v2 + 0·(m2- m1) v2’ = (m1+ m2) m2 v1’ = m1+ m2 v2 (1- ) m1 v2’ = = 1+ 1+ v1’ ≈ 0 / (1+0)=0 v2’ ≈ v2 (1-0)/ (1+0)= v2

Ćwiczenie 4 v1’ = (m1+ m2) 2m2v2 + 0·(m2- m1) v2’ = (m1+ m2) v2’ ≈ v2 (1-0)/ (1+0)= v2

koniec