Paradoks Żukowskiego wersja 2.1 2017-03-28 Wydział Inżynierii Środowiska i Geodezji Katedra Inżynierii Wodnej Paradoks Żukowskiego wersja 2.1 Anna Stopka, Małgorzata Słonina II rok IŚ, rok akademicki 2005/2006 dr inż. Leszek Książek Kraków, styczeń 2006

Plan prezentacji: Przedstawienie problemu Obliczenia Dyskusja wyników Wstecz Składowa parcia Px Składowa parcia Py Napór całkowity P Dalej

Przedstawienie problemu W poziomej ściance zbiornika, wypełnionego cieczą o ciężarze właściwym , znajduje się prostokątny otwór, w który wstawiono walec o średnicy D i tworzącej równej L. Walec może obracać się wokół centralnej osi O, leżącej na głębokości H. Dane: D, L, H Udowodnić, że wypadkowy napór hydrostatyczny nie wywołuje momentu obrotowego walca . Slajd poprzedni Składowa parcia Px Składowa parcia Py Napór całkowity P Slajd następny

Wypadkowy napór hydrostatyczny (PARCIE) nie będzie wywoływał momentu obrotowego, gdy ramię działania parcia będzie wynosiło zero. Przypadek będzie miał miejsce wtedy, gdy kierunek działania wypadkowej parcia będzie przechodził przez punkt O. W takim przypadku kąty  i  powinny mieć taką samą wartość. Jednocześnie: tg = tg Px β α P Py Slajd poprzedni Składowa parcia Px Składowa parcia Py Napór całkowity P Slajd następny

1) Składową poziomą Px wyznaczymy z zależności: gdzie: hs – głębokość punktu przyłożenia Px Ax – pole powierzchni na jaką działa Px W układzie współrzędnych, takim jak na rys.: (1a) (1b) stąd: (1) Slajd poprzedni Składowa parcia Px Składowa parcia Py Napór całkowity P Slajd następny

Kierunek działania wektora Px leży na głębokości hc: Iξ - moment bezwładności prostokąta o bokach D, L podstawiając (1a), (1b) oraz Iξ=LD3/12 do równania (2a) otrzymamy: Slajd poprzedni Składowa parcia Px Składowa parcia Py Napór całkowity P Slajd następny

po przekształceniu otrzymujemy: Ostatecznie po skróceniu licznika i mianownika przez LD otrzymujemy głębokość punktu przyłożenia wypadkowej pacia Px: (2) Slajd poprzedni Składowa parcia Px Składowa parcia Py Napór całkowity P Slajd następny

2) Składowa pionowa Py jest sumą naporu na powierzchnię MN, skierowanego w dół oraz wektora naporu na powierzchnię MU, zwróconego ku górze, a zatem: (3a) gdzie: V1- objętość zakreskowana linią poziomą, V2- zakreskowana. linią pionową. Stąd: (3b) gdzie: Vz- objętość bryły parcia Slajd poprzedni Składowa parcia Px Składowa parcia Py Napór całkowity P Slajd następny

Podstawiając (3b) do równania (3a) otrzymujemy wypadkowe parcie pionowe Py: (3) Slajd poprzedni Składowa parcia Px Składowa parcia Py Napór całkowity P Slajd następny

Linia działania składowej Py przechodzi przez środek ciężkości objętości bryły parcia Vz,, w związku z tym: (4) gdzie: xc – środek ciężkości koła o średnicy D Slajd poprzedni Składowa parcia Px Składowa parcia Py Napór całkowity P Slajd następny

3) Napór całkowity (wypadkowa parcia) P wynosi: Wstawiając równanie (1) oraz (3) do (5a) mamy: (5) Slajd poprzedni Składowa parcia Px Składowa parcia Py Napór całkowity P Slajd następny

Kierunek działania wypadkowej parcia P tworzy z poziomem kąt α: podstawiając równanie (1) oraz (3) do (6a) otrzymujemy: (6) Slajd poprzedni Składowa parcia Px Składowa parcia Py Napór całkowity P Slajd następny

4) Z rysunku wynika zależność trygonometryczna kąta β: w której: (7b) Wstawiając (1a) oraz (2) do równania (7b) otrzymujemy: z równania (4) mamy xc: Slajd poprzedni Składowa parcia Px Składowa parcia Py Napór całkowity P Slajd następny

Po podstawieniu powyższych zależności otrzymamy: (7) Porównując równanie (6) z (7) możemy stwierdzić, że: c.b.d.u. Slajd poprzedni Składowa parcia Px Składowa parcia Py Napór całkowity P Slajd następny

Dyskusja wyników Wobec tego kierunek działania wypadkowej parcia przecina oś obrotu walca (punkt O). A zatem, moment pochodzący od naporu hydrostatycznego, względem osi obrotu, jest równy zeru. Źródło: Eustachy S. Burka, Tomasz J. Nałęcz, „Mechanika płynów w przykładach” Warszawa: PWN 2002