Metody numeryczne SOWIG Wydział Inżynierii Środowiska III rok 2017-03-28 07:30:55 Metody numeryczne SOWIG Wydział Inżynierii Środowiska III rok dr inż. Jerzy Kotowski Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki

Metody numeryczne Interpolacja 2017-03-28 07:30:55 Metody numeryczne Interpolacja dr inż. Jerzy Kotowski Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki

Interpolacja Definicje Interpolacja jest to wstawienie do cudzego tekstu wyrazów, zwrotów, zdań, których pierwotnie nie zawierał; (przybliżone) oblicze, oszacowanie wartości (zwł. funkcji mat.) znajdujących się między dwiema znanymi wartościami. http://www.slownik-online.pl /kopalinski/D6DC7462CB749143C12565E30055DDD5.php Ekstrapolacja jest to wnioskowanie o tendencjach rozwojowych, stosunkach, warunkach, wartościach (zwł. funkcji mat.) na zewnątrz jakiegoś przedziału na podstawie znanych, zaobserwowanych tendencji, wartości itp. wewnątrz niego. Załóżmy że dane są wartości funkcji f(x) na zbiorze punktów x0,x1,…,xn zwanych węzłami interpolacji. Zadaniem interpolacji jest wyznaczenie przybliżonych wartości funkcji f(x) zwanej funkcją interpolowaną w punktach nie będących węzłami interpolacji. Przybliżoną wartość funkcji f(x) obliczamy za pomocą funkcji F(x) zwanej funkcją interpolującą, która w węzłach ma te same wartości co funkcja interpolowana.

Interpolacja Definicje Funkcja interpolująca – przybliżenie zadanej funkcji musi przechodzić przez zadane punkty, inaczej niż w aproksymacji. Interpolację stosuje się najczęściej gdy nie znamy analitycznej postaci funkcji (jest ona tylko stablicowana) lub gdy jej postać analityczna jest zbyt skomplikowana. Funkcja interpolująca F(x) jest funkcją z pewnej klasy. Najczęściej będzie to wielomian algebraiczny, wielomian trygonometryczny, funkcja wymierna lub funkcja sklejana. W dalszej części wykładu ograniczymy się do przypadku gdy funkcja aproksymująca jest uogólnionym wielomianem. Przypomnienie: wielomian uogólniony jest kombinacją liniową pewnych funkcji bazowych qi(x), i=0,1,2,…,n. Szczególnym przypadkiem wielomianu uogólnionego jest klasyczny wielomian: qi(x)=xi, i=0,1,2,…,n.

Interpolacja Sformułowanie problemu x x0 x1 … xn y y0 y1 Węzły interpolacji: (x0,y0) (x1,y1) (xn,yn) To jest układ n+1 równań liniowych z n+1 niewiadomymi a0,a1,…,an

Interpolacja Zapis macierzowy Układ równań: Oznaczenie: vij=qj(xi)

Interpolacja Własności wielomianu interpolującego Wektor funkcji bazowych: Funkcja aproksymująca: Po podstawieniu rozwiązania z poprzedniego slajdu otrzymujemy: q(x) jest wektorem wierszowym zawierającym funkcje bazowe. Wartości tych funkcji zależą tylko od zmiennej niezależnej x. V jest macierzą kwadratową, której elementy zależą wyłącznie od wartości funkcji bazowych w węzłach interpolacji (x-ach) Wektor kolumnowy Y zależy od składowych y-kowych węzłów interpolacji

Interpolacja Własności uogólnionego wielomianu Mnożenie macierzy jest łączne: A(BC)=(AB)C Dlatego można napisać: Qn(x)=q(x)(V-1Y)=(q(x)V-1)Y Wprowadzamy oznaczenie: Rn(x)=q(x)V-1 Rn(x) jest wektorem wierszowym o n+1 składowych: Rn(x)=[l0,l1,…,ln] Wszystkie te składowe są funkcjami zmiennej niezależnej x i zależą od składowych x-owych węzłów interpolacji: li=li(x,x0, x1,…, xn), i=0,1,2,…,n. Ostatecznie: Qn(x)= Rn(x)Y. Oznacza to, że poszukiwany uogólniony wielomian interpolujący jest liniową kombinacją składowych y-kowych węzłów interpolacji. Współczynnikami w tej liniowej kombinacji są funkcje l0,l1,…,ln.

Interpolacja Klasyczny wielomian interpolacyjny Pytanie: czy można wyznaczyć analitycznie funkcje li, i=0,1,2,…,n? Jeżeli się to uda, to wtedy wyznaczanie wartości wielomianu interpolującego sprowadzi się do podstawiania do wzoru. Z tym (tzn. z obliczaniem wartości wyrażenia) komputery radzą sobie najlepiej. Jest to możliwe dla wybranych wektorów funkcji bazowych. W tym zbiorze ważnym przypadkiem jest klasyczny wielomian interpolacyjny qi(x)=xi, i=0,1,2,…,n:

Interpolacja Wyznacznik Vandermonde’a Macierz V przypomina macierz X z wykładu o aproksymacji. Istotna różnica: V jest zawsze macierzą kwadratową. Można obliczyć jej wyznacznik. Jest to znany z algebry wyznacznik Vandermonde’a. Jak widać z wzoru |V|0 wtedy i tylko wtedy, gdy współrzędne x-owe węzłów interpolacji są różne. Jest to warunek istnienia i jednoznaczności rozwiązania

Interpolacja Wzór Lagrange’a Twierdzenie 1 Jeżeli |V|0 to wtedy zadanie interpolacji wielomianowej posiada jednoznaczne rozwiązanie, czyli istnieje tylko jeden wielomian Ln(x) stopnia nie większego niż n spełniający warunek Ln(xi)=yi, i=0,1,2,…,n Szukany wielomian ma postać: Powyższy wzór nosi nazwę wzoru Lagrange’a Funkcje Lagrange’a:

Interpolacja Przykład 1: n=1 x x0 x1 y y0 y1 Jest to znany ze szkoły wzór na równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty. Zarys dowodu: Jest to prosta niewątpliwie równanie linii prostej y(x0)=y0, y(x1)=y1

Interpolacja Przykład 2: n=2 x x0 x1 x2 y y0 y1 y2 Jest to na pewno parabola y(x0)=y0, y(x1)=y1, y(x2)=y2 Jest to zatem to, czego szukaliśmy.

Interpolacja Przykład 3: n=2 (historyczny) x -1 1 y a Wniosek: poprawianie kartkówek przedświątecznych nie musi być zajęciem bardzo wyczerpującym.