MECHANIKA NIEBA WYKŁAD 10 14.05.2008 r

Zagadnienie n ciał Całki ruchu z całka środka masy: Qi(xi,yi,zi) Pj(xj,yj,zj) Qi(xi,yi,zi) całka środka masy: całka pól: całka energii (sił żywych):

Zagadnienie n ciał Osobliwości gdzie: Powyższy układ może nie mieć rozwiązania dla pewnego momentu czasu t=t1 – osobliwość Osobliwości należą do dwóch klas: 1. zderzeniowe 2. niezderzeniowe

Zagadnienie n ciał Osobliwości Problem analizy osobliwości w zagadnieniu n ciał został zapoczątkowany przez P.Painlevé w 1895 r. Szczególnie istotne było poruszenie przez niego problemu istnienia osobliwości niezderzeniowych (rozwiązanie zostało podane sto lat później). Równanie ruchu n ciał (przyjmując taki układ współrzędnych gdzie G=1):

Zagadnienie n ciał Osobliwości zdefiniujmy zbiór zderzeń: gdzie: to zbiór takich konfiguracji układu, w których dochodzi do zderzenia pewnej liczby punktów P. Strzelecki 2005, O osobliwych rozwiązaniach zagadnienia n ciał, POSTĘPY FIZYKI, Tom 56, Zeszyt 2

Zagadnienie n ciał Osobliwości zdefiniujmy zbiór zderzeń: gdzie: to zbiór takich konfiguracji układu, w których dochodzi do zderzenia pewnej liczby punktów Poza zbiorem zderzeń (R3n\Z), prawa strona układu: jest funkcją gładką. P. Strzelecki 2005, O osobliwych rozwiązaniach zagadnienia n ciał, POSTĘPY FIZYKI, Tom 56, Zeszyt 2

Zagadnienie n ciał Osobliwości Załóżmy, że rozwiązanie r(t) zagadnienia n ciał posiada osobliwość w pewnej chwili t* (przy czym t*<∞), wtedy mamy dwie możliwości: 1. w tym wypadku wektor q jest pewnym ustalonym punktem – zderzenie trajektoria nie dąży do ustalonego punktu (należącego do zbioru Z) – mamy osobliwość niezderzeniową P. Strzelecki 2005, O osobliwych rozwiązaniach zagadnienia n ciał, POSTĘPY FIZYKI, Tom 56, Zeszyt 2

Zagadnienie n ciał Osobliwości Osobliwość niezderzeniowa – ruch n punktów materialnych, w którym nie dochodzi do zderzenia żadnej ich pary, a jednocześnie po skończonym czasie suma wszystkich odległości tych par dąży do nieskończoności Painlevé zadał pytanie o możliwość istnienia osobliwości niezderzeniowej – pokazał jednocześnie, że w zagadnieniu trzech ciał takie osobliwości nie występują. W 1908 r. von Zeipel pokazał, że jeśli istnieje osobliwość niezderzeniowa, to maksymalna odległość między n punktami, poruszającymi się zgodnie z zasadami dynamiki Newtona, może w skończonym czasie wzrastać do nieskończoności. P. Strzelecki 2005, O osobliwych rozwiązaniach zagadnienia n ciał, POSTĘPY FIZYKI, Tom 56, Zeszyt 2

Zagadnienie n ciał Osobliwości Dopiero w McGehee (1974) oraz Mather i McGehee (1975) pokazują, że jest możliwe istnienie osobliwości niezderzeniowej w układach czterech i pięciu ciał. Jednak w ich pracach osobliwość niezderzeniowa pojawia się po nieskończonej ilość zlinearyzowanych zderzeń (tzw. „rozdmuchiwanie” osobliwości). Ostatecznie rozwiązanie problemu poruszonego przez Painlevé podaje Xia (1988) dla układu pięciu ciał. P. Strzelecki 2005, O osobliwych rozwiązaniach zagadnienia n ciał, POSTĘPY FIZYKI, Tom 56, Zeszyt 2

Zagadnienie n ciał Osobliwości Aby zrozumieć konstrukcję Xia dobrze jest zacząć od układu trzech ciał takiego jak na rysunku Układ dwóch ciał poruszających się bardzo szybko po ciasnych elipsach (przyciąganie zależy wtedy również od odległości między m1 i m2), tak że w pewnym położeniu prawie dochodzi do zderzeń. Trzeci ciało (cząstka) porusza się wzdłuż prostej przechodzącej przez barycentrum mas m1 i m2.

Zagadnienie n ciał Osobliwości Układ działa w taki sposób, że gdy m3 mija barycentrum to m1 i m2 również i dochodzi do „prawie” zderzenia. W efekcie m3 zostaje gwałtownie przyspieszona i zawrócona Xia ilustruje to za pomocą piłki do koszykówki z umieszczoną tuż nad nią piłką tenisową upuszczonych na ziemię Jeżeli piłka do koszykówki uderza w ziemię to piłka tenisowa odbija się od poruszającej się do góry piłki do koszykówki Pęd przekazany mniejszej piłce jest ogromny i powoduje jej „wystrzelenie” w górę

Zagadnienie n ciał Osobliwości Aby uniknąć wyrzucenia lekkiego ciała do nieskończoności , w układzie Xia mamy do czynienia z dwoma gwiazdami podwójnymi o parami równych masach. Do tego układu dodajemy, jako piąte ciało, lekki wahadłowiec poruszający się wzdłuż osi z. Środek masy pięciu ciał znajduje się w początku układu współrzędnych. Łączny moment pędu układu jest równy zeru. W chwili początkowej wahadłowiec znajduje się pomiędzy układami podwójnymi i porusza się w kierunku jednego z nich.

Zagadnienie n ciał Osobliwości Kiedy mija dany układ zostaje gwałtownie zawrócony i skierowany w stronę drugiego układu. Kiedy dociera do drugiego układu sytuacja powtarza się. Xia wykazał, że masy ciał i warunki początkowe można dobrać tak, że ruch wahadłowca można powtórzyć nieskończenie wiele razy w skończonym czasie Osobliwość niezderzeniowa pojawia się, bo w granicy t->t* odległość płaszczyzn obu gwiazd podwójnych rośnie do nieskończoności Przykład podany przez Xia może być uogólniony na dowolny układ n>5 ciał.

Zagadnienie n ciał Rozwiązania numeryczne „Zwykłe” całkowanie numeryczne równań ruchu. Jest bardzo powolne, bo czas obliczeń zależy od n2 Można go zredukować używając pewnych technik Jest bardzo czułe na błędy użytej metody całkowania (przykład)

Zagadnienie n ciał Rozwiązania numeryczne metoda Barnes-Hut – przykład analizy zagadnienia n ciał przy zredukowanej liczbie kroków obliczeniowych (czas obliczeń rośnie zgodnie z nlogn) Polega na utworzeniu „drzewa oddziaływań” poprzez podzielenie przestrzeni na komórki, które na najniższym poziomie zawierają pojedyncze ciała

Zagadnienie n ciał Rozwiązania numeryczne Ruch danej cząstki jest zdeterminowany przez oddziaływania grawitacyjne innych ciał. W metodzie B-H zakłada się, że tylko ciała leżące najbliżej danej cząstki muszą być traktowane indywidualnie. Oddziaływanie od bardziej odległych ciał wyznaczane jest poprzez uśrednianie po dużych komórkach. Metoda B-H nie ma nic wspólnego z modelami typu PIC (Particle In Cell)!

Zagadnienie n ciał Rozwiązania numeryczne Dzięki metodzie B-H można obecnie efektywnie badać zderzenia galaktyk, które modeluje się jako zbiory milionów (!) gwiazd.

Zagadnienie n ciał Rozwiązania numeryczne Modyfikacje metody Barnes-Hut polegają np. na innym sposobie dzielenie przestrzeni Mogą to być na przykład kule lub elipsy W niektórych wypadkach pozwala to uzyskać liniową zależność czasu obliczeń od liczby punktów Fast Multipole Method (Greengard i Rokhlin 1987)

Zagadnienie n ciał Rozwiązania numeryczne Metoda najbliższego sąsiada: dla danego punktu liczymy odległości od innych jako sąsiadów traktujemy punkty, których odległości są mniejsze od zadanego warunku (nie zapominamy o masie) wyznaczmy przyspieszenie pochodzące od sąsiadów Metoda pozwala uzyskać czas obliczeń proporcjonalny do liczby punktów (b. szybka)

Zagadnienie n ciał Rozwiązania szczególne Pierwsze, stabilne rozwiązania dla n>2 ciał podali Lagrange i Euler Skupili się oni głównie na zagadnieniu 3 ciał szukając symetrii pozwalających uzyskać dokładne rozwiązania. W trzech przypadkach ciała zawsze znajdowały się na jednej prostej (wcześniej taki przykład podał Euler), a w dwóch innych masy leżały w wierzchołkach trójkąta równobocznego. Ostatnio (Chenciner i Montgomery 2001) podany został jeszcze jeden przypadek, w którym trzy ciała poruszają się po figurze o kształcie ósemki (nieskończoności…?).

Zagadnienie n ciał Rozwiązania szczególne Duża część rozwiązań szczególnych jest uogólnieniem znanych rozwiązań dla układu 3 ciał. Ogólnie znane rozwiązania dla n ciał można podzielić na kilka klas: płaskie – jeśli w zagadnieniu n ciał możemy w każdym momencie zdefiniować płaszczyznę zawierającą wszystkie ciała. współliniowe – w przypadku gdy dla dowolnego momentu czasu wszystkie ciała znajdują się na jednej prostej homograficzne – kształt utworzony przez n ciał względem barycentrum jest zachowany, przykład:

Zagadnienie n ciał Rozwiązania szczególne - przykłady http://burtleburtle.net/bob/physics/