Biomechanika przepływów WYKŁAD 4 : RÓWNANIA KONSTYTUTYWNE

WYKŁAD 4 : Równania Konstytutywne Właściwości materiałów opisywane są za pomocą Równań Konstytutywnych Ogólnie rzecz ujmując podają one relacje pomiędzy tensorem naprężeń a tensorem odkształceń w danym ciele. W przyrodzie występuje ogromna liczba materiałów , których właściwości opisywane są równie ogromną liczbą równań konstytutywnych. Okazuje się jednak że trzy wyidealizowane relacje naprężenia – odkształcenia tj.: Lepki płyn Newtonowski Płyn nielepki Elastyczne ciało Hooka w bardzo dobry sposób opisują mechaniczne właściwości wielu materiałów. Niestety materiały biologiczne nie mogą być opisywane za pomocą tych relacji… Równania konstytutywne opisują fizyczne własności materiałów, z tego powodu muszą być niezależne od wyboru układu odniesienia. Równania konstytutywne muszą być więc równaniami tensorowymi: każdy element równania musi być tensorem

WYKŁAD 4 : Równania Konstytutywne PŁYN NIELEPKI Dla płynu nielepkiego tensor naprężeń przybiera postać: skalar zwany ciśnieniem delta Kroneckera Ciśnienie p jest dla gazu idealnego związane z gęstością i temperaturą przez równanie stanu: Dla gazów rzeczywistych równanie to jest bardziej skomplikowane ale osiągalne: stała gazowa

WYKŁAD 4 : Równania Konstytutywne przypomnijmy że równanie ruchu dla ośrodka ciągłego : równanie ruchu Eulera jeżeli podstawimy wyrażenie na naprężenia korzystając z równania konstytutywnego:

WYKŁAD 4 : Równania Konstytutywne PŁYN LEPKI NEWTONOWSKI Płyn Newtonowski lepki to taki dla którego naprężenia ścinające są liniowo proporcjonalne do szybkości odkształcenia. Równanie konstytutywne przybiera postać: tensor naprężenia ciśnienie statyczne tensor szybkości odkształcenia tensor współczynników lepkości płynu

WYKŁAD 4 : Równania Konstytutywne dla płynów Newtonowskich zakładamy, że elementy tensora mogą zależeć od temperatury ale nie mogą zależeć od naprężeń i od szybkości deformacji . Jest to tensor rzędu 4 a więc ma 34=81 elementów. Nie wszystkie elementy są niezależne. Jeżeli założymy, że tensor Dijkl jest izotropowy to może być przedstawiony jako suma dwóch niezależnych stałych λ i μ :

WYKŁAD 4 : Równania Konstytutywne Podstawiając to wyrażenie do równania na tensor naprężeń otrzymujemy: jest to izotropowe równanie konstytutywne materiał który je spełnia musi być materiałem izotropowym Dla izotropowego płynu Newtonowskiego równanie to można uprościć:

WYKŁAD 4 : Równania Konstytutywne Jeżeli założymy że średnie naprężenia normalne 1/3 σkk są niezależne od szybkości deformacji Vkk to musimy przyjąć iż: i równanie konstytutywne przybiera postać: równanie to wyprowadził George G. Stokes płyny je spełniające noszą nazwę płynów Stokesa

WYKŁAD 4 : Równania Konstytutywne Jeżeli płyn jest nieściśliwy to Vkk = 0 i otrzymujemy równanie konstytutywne dla nieściśliwych płynów lepkich: a przy zerowej lepkości otrzymujemy: po podstawieniu do równania Eulera i odpowiednich przekształceniach otrzymamy równanie N-S

WYKŁAD 4 : Równania Konstytutywne w równaniach tych występuje jedna stała fizyczna opisująca cechy materiału – współczynnik lepkości μ Newton zaproponował następującą relację naprężenie styczne Jednostką lepkości w systemie SI jest [N*s/ m2]

WYKŁAD 4 : Równania Konstytutywne Ciało elastyczne Hooka Jest to ciało spełniające prawo Hooka które głosi iż tensor naprężeń jest liniowo proporcjonalny do tensora odkształcenia: tensor naprężenia tensor odkształcenia jeżeli przemieszczenie jest nieskończenie małe to: tensor stałych sprężystych lub modułów materiału jeżeli jest skończone to eij jest tensorem przemieszczeń Almansiego

WYKŁAD 4 : Równania Konstytutywne Jest to tensor rzędu 4 a więc ma 34=81 elementów. Dla ciał sprężyście izotropowych liczba niezależnych elementów tensora C redukuje się do 2 a więc uogólnione prawo Hooka można zapisać w postaci: stałe λ i G są zwane stałymi Lamego

WYKŁAD 4 : Równania Konstytutywne Dla kartezjańskiego układu współrzędnych równanie można rozpisać w postaci: albo w formie odwrotnej:

WYKŁAD 4 : Równania Konstytutywne w równaniach tych pojawiają się stałe E, ν . Stała E nosi nazwę modułu Younga natomiast stała ν nosi nazwę liczby Poissona. (Liczby te charakteryzują właściwości materiałów)

WYKŁAD 4 : Równania Konstytutywne Należy pamiętać że Lepki płyn Newtonowski, Płyn nielepki i Elastyczne ciało Hooka są tylko wyidealizowanymi modelami i żaden materiał nie zachowuje się w pełni zgodnie z przedstawionymi relacjami. Oczywiście w pewnych zakresach temperatury, naprężeń i odkształceń niektóre materiały spełniają te prawa.