METODY NUMERYCZNE Katedra Mikroelektroniki i Technik Informatycznych Zygmunt Ciota, pok. 24 web: http://fiona.dmcs.pl/~ciota/ Literatura 1. L.O. Chua, P.M. Lin: „Komputerowa analiza układów elektronicznych. Algorytmy i metody obliczeniowe” 2. Bjorck, G. Dahlquist: „Metody numeryczne” 3. Z. Korzec: „Układy półprzewodnikowe. Analiza i projektowanie przy użyciu maszyn cyfrowych”

Droga Zbiór gałęzi (krawędzi) b1, b2, … bn w grafie jest drogą miedzy wierzchołkami Vj i Vk , jeżeli gałęzie te można następująco uporządkować: - kolejne gałęzie bi i bi+1 mają zawsze wspólny wierzchołek, żaden wierzchołek nie jest wierzchołkiem końcowym więcej niż dwóch gałęzi zbioru, Vj jest wierzchołkiem końcowym dokładnie jednej gałęzi zbioru, tak samo jak i Vk. Graf spójny Graf jest spójny, jeżeli istnieje droga miedzy dwoma dowolnymi wierzchołkami grafu. Cykl (obwód) Wyodrębniamy z grafu podrgaf Gs. Gs jest cyklem, jeżeli jest spójny oraz jeżeli każdy wierzchołek w Gs ma dokładnie dwie powiązane z nim w Gs krawędzie.

Drzewo Podgraf Gs grafu spójnego G jest drzewem, jeżeli: Gs jest spójny, Gs zawiera wszystkie wierzchołki grafu G, Gs nie zawiera cykli. Wniosek: Jeżeli graf spójny G zawiera n wierzchołków, to drzewo zawiera dokładnie n-1 gałęzi (oznaczamy indeksami: T gałęzie drzewa, L pozostałe gałęzie (przeciwdrzewo). Rozcięcie Zbiór gałęzi grafu spójnego jest rozcięciem, jeżeli: usunięcie tego zbioru (bez wierzchołków końcowych) usuwa spójność grafu, po usunięciu tego zbioru gałęzi dołączenie dowolnej gałęzi z tego zbioru przywraca spójność grafu.

jeżeli krawędź j nie jest połączona z wierzchołkiem i, to aij = 0. Macierz incydencji Aa Dla grafu zorientowanego zawierającego n wierzchołków i b gałęzi macierz Aa ma wymiar n x b, przy czym: jeżeli gałąź j jest połączona z i-tym wierzchołkiem i skierowana od wierzchołka i, to aij = 1 (jeżeli skierowana do wierzchołka i, to aij = -1), jeżeli krawędź j nie jest połączona z wierzchołkiem i, to aij = 0. 1 2 3 4 a b c d e f

Twierdzenie 1 Rozpatrujemy graf spójny zawierający n wierzchołków. n-1 kolumn macierzy A jest liniowo niezależnych wtedy i tylko wtedy, gdy krawędzie odpowiadające tym kolumnom tworzą drzewo w grafie.

Fundamentalna macierz cykli B Każda cięciwa przeciwdrzewa TL tworzy, razem z jedyną drogą w drzewie T łączącą wierzchołki tej cięciwy, cykl fundamentalny. Orientacja tego cyklu jest przyjmowana jako zgodna ze zwrotem cięciwy. 1 3 2 a b c e d

Uogólnione I prawo Kirchhoffa Algebraiczna suma wszystkich prądów płynących przez rozcięcie (z jednej części do drugiej) jest w dowolnej chwili czasowej równa zeru. 1 2 3 4 a b c d e f

Fundamentalna macierz rozcięć D Każda krawędź drzewa T tworzy w połączeniu z pewnymi cięciwami (lub bez nich) rozcięcie fundamentalne. Orientację tego rozcięcia przyjmujemy za zgodną ze zwrotem gałęzi drzewa. 1 a c b d e 2 3 4

[ i-ty wiersz w B ] x [ j-ty wiersz w D ]T = 0 (a) Twierdzenie 2 Jeżeli kolumny macierzy B i D są uporządkowane w tej samej kolejności gałęzi to dla każdego i i j zachodzi zależność: [ i-ty wiersz w B ] x [ j-ty wiersz w D ]T = 0 (a) Dowód Lewą stronę równania (a) można zapisać w postaci: i w B oznacza i-ty cykl (i - cięciwa, b-n+1 cykli), j w D oznacza j-te rozcięcie (j – gałąź drzewa, n-1 rozcięć). Iloczyn pod znakiem sumy jest niezerowy, jeżeli pewna gałąź należy jednocześnie do i-tego cyklu i j-tego rozcięcia i może być równa +1 lub -1. Jeżeli cykl i rozcięcie mają wspólna gałąź, to liczba tych wszystkich wspólnych gałęzi musi być parzysta …

j i

Metoda potencjałów węzłowych k-ta gałąź

(1) (2) (3) (4)

Opis elementów

Rezystancje: Źródła sterowane:

(5) ponieważ czyli (6)

Transformacja węzłowa: (7) (8)

Przykład:

2 1 3

Metoda potencjałów węzłowych: sieci liniowe, wymuszenia sinusoidalne Rezystor R Impedancja Z Konduktancja G Admitancja Y Cewka: ZL=jωL Kondensator: ZC=1/jωC Funkcja czasu u(t) Wskaz U(ω) Funkcja czasu i(t) Wskaz I(ω) R, G, u, i są liczbami rzeczywistymi Z, Y, V, I są liczbami zespolonymi

Indukcyjności sprzężone

Przykład

5 6 5 6 5 6 5 6

1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6

BEZPOŚREDNIE WYZNACZANIE RÓWNANIA WĘZŁOWEGO

METODA ELIMINACJI GAUSSA Eliminacja wprzód Podstawienie wstecz

ETAP I: eliminacja wprzód

ETAP II: podstawienie wstecz

Macierz trójkątna górna Macierz trójkątna dolna ROZKŁAD LU Macierz trójkątna górna Macierz trójkątna dolna

Zastosowanie rozkładu LU (b)

Algorytm Crouta

Analiza sieci nieliniowych metodą potencjałów węzłowych

dowolne napięcie gałęziowe Jeżeli nie ma źródeł sterowanych:

Metoda iteracji prostej (metoda punktu stałego) Szukamy: x = x*

Algorytm: Wybierz wartość początkową x0 Jeżeli STOP

Interpretacja geometryczna

Metoda iteracji prostej dla układu równań

Algorytm Newtona-Raphsona Szukamy takiego F(x)=x, którego rozwiązanie x* jest jednocześnie rozwiązaniem (a)

(b) Każde x*, które jest rozwiązaniem równania (a), jest punktem stałym F(x), ponieważ

Jeżeli x = x* jest punktem stałym dla F(x) i jeżeli K(x) jest macierzą nieosobliwą, to x* jest rozwiązaniem równania f(x)=0

Równanie (b) w postaci iteracyjnej:

Algorytm Newtona-Raphsona dla układu n równań punkt w j-tej iteracji

Rozwijamy funkcję wielu zmiennych w szereg Taylora wokół punktu x(j) :

Podstawiamy x = x(j+1) :

Jeżeli jesteśmy „blisko” rozwiązania, pomijamy wyrazy wyższych rzędów:

Jeżeli x(j+1) jest już rozwiązaniem naszego równania, czyli f(x(j+1)) = 0, to:

Dyskretny obwód równoważny

Definiujemy: Podstawiamy do algorytmu N-R:

(A)

Interpretacja obwodowa: k-ty element wektora o wymiarze bx1 stanowi napięcie na rezystancji Rk w j-tej iteracji II. k-ty element wektora o wymiarze bx1 stanowi prąd płynący przez rezystor Rk w j-tej iteracji

III. k-ty element macierzy Jakobiego o wymiarze bxb jest konduktancją różniczkową (czyli nachyleniem krzywej ik = gk(uk) obliczonym przy ), czyli:

Wstawiamy I, II i III do (A): Z równania I:

Definiujemy wektor źródeł prądowych dla j-tej iteracji:

Zmodyfikowana metoda potencjałów węzłowych Idea: I. Do układu równań węzłowych uzyskanych z prądowego prawa Kirchhoffa dołączamy dodatkowe równania uzyskane z napięciowego prawa Kirchhoffa, napisane dla następujących gałęzi: - zawierających źródła napięciowe: niezależne i sterowane, - gałęzi w postaci zwarcia, - zawierające elementy uzależnione prądowo (od prądu płynącego przez tą samą lub inną gałąź)

II. Prądy gałęzi z p. I. są traktowane jako dodatkowe zmienne pierwotne na równi z potencjałami węzłowymi

Przykład: u1 = E 1 2 i1 1 2 i1

lub: i j ik i j ik

ale czyli:

i j m n ik i j m n ik

gdzie:

gdzie:

Metody macierzy rzadkich

1. 2. 3. 4.

Algorytm Doolittle’a rozkładu LU Dana jest macierz A. Wyznaczamy Q: Przepisz do Q pierwszą kolumnę z A W 1-szym wierszu dziel el. niediagonalne przez diag. Od elementu o wsk. (i,j) {dla i>1, j>1} odejmij iloczyn elementów o wsk. (i,1) i (1,j) Jeżeli n>=2 oznacz tą podmacierz jako A, go to 1 STOP

Przykład

Przykład

Określanie nowych elementów niezerowych metodą grafu

i j k m j k m i

Przykład 3 2 4 5 1

3 2 4 5 1 (4,2 i 2,4) 3 2 4 5 (4,2 i 2,4) (5,3 i 3,5) (4,3 i 3,4) 5 5 5 4 3 4

3 2 4 5 1 4 2 1 2 5 5 4 = 1 1 3 3 2 2 1 = 2 3 = 3 2 = 4 5 5 = 5 3 3

Analiza obwodu w dziedzinie czasu (1)

Definicja funkcji wykładniczej eAt Przykład:

Właściwości funkcji eAt

K – dowolny n-wymiarowy wektor o składowych stałych Sprawdzenie:

(2)

Wstawiamy do (2): (3)

Wyznaczenie K(t0) Równanie (2) dla t =t0: Wstawiamy do (3): (4)

Przekształcenie do postaci różnicowej Niech (5)

Funkcja u(t) jest przedziałami stała, czyli: zatem całka w (5) jest równa

Podstawiając do (5) otrzymujemy:

Analiza hybrydowa

  Definicje

(a) (b)

Przykład (wyznaczanie macierzy hybrydowej i wektora źródeł)

Macierz hybrydowa

Wektor źródeł

Sieci sprzeczne lub nieoznaczone