KOMBINATORYKA Zaczynamy…… Kombinatoryka to teoria obliczania liczby elementów zbiorów skończonych. Do jej elementów należą: permutacje, wariacje z powtórzeniami, bez powtórzeń oraz kombinacje. …Kombinatoryka jest tajemniczą częścią matematyki… Zaczynamy……

POJĘCIE SILNI Silnią liczby naturalnej n (w notacji matematycznej n! co czytamy n silnia) nazywamy iloczyn wszystkich liczb naturalnych dodatnich nie większych niż n. Oznaczenie n! wprowadził Christian Kramp.

PRZYKŁADY… Wzór ogólny: Przykłady:

PERMUTACJE Permutacją zbioru skończonego nazywamy każde ustawienie wszystkich jego elementów w dowolnej kolejności. Pn=n! W permutacjach… Ważna jest kolejność Wszystkie elementy są istotne

ZABAWY PRZYJEMNE I POŻYTECZNE Trzy osoby stały obok siebie. Ile jest różnych możliwości ustawień tych osób? Odp.: Możliwości jest sześć

PERMUTACJE W SYTUACJI PODBRAMKOWEJ

A TERAZ WYBIERAJ… 2 6 2 6 6 2 6 2 6 2 2 6 2 6 6 2 6 2 2 6 6 2 2 6

A TAK TO SIĘ OBLICZA:

WARIACJA BEZ POWTÓRZEŃ Wariacją bez powtórzeń k-wyrazową zbioru n-elementowego nazywamy każdy k-wyrazowy ciąg różnych elementów tego zbioru.

Liczba wszystkich k-wyrazowych wariacji bez powtórzeń zbioru n-elementowego wyraża się wzorem: k- liczba elementów ciągu n- liczba wszystkich elementów zbioru V-wariacja bez powtórzeń

CECHY CHARAKTERYSTYCZNE WARIACJI BEZ POWTÓRZEŃ - ważna jest kolejność! - elementy nie mogą się powtarzać! - nie koniecznie wszystkie elementy bierzemy pod uwagę!

OLIMPIADA W VANCOUVER Ile jest możliwości podziału trzech medali (złotego, srebrnego i brązowego) pomiędzy 3 polskich zawodników? Odp.: Możliwości jest sześć

WARIACJE Z KULAMI W urnie są 4 kule ponumerowane liczbami: 11 12 13 14 11 12 13 14 Losujemy kolejno bez zwracania 2 kule. Po każdym losowaniu zapisujemy numer kuli. Ile jest możliwych wyników losowania?

ACH TE KULKI… … jak widać można je ułożyć na 12 sposobów.

MATEMATYKA NA POLSKICH DROGACH… W miejscowości Kozieryje wójt Solejuk postanowił zamontować dwa znaki drogowe. Ma do dyspozycji pięć rodzajów znaków: Pomóżmy mu je ustawić! Jak to obliczyć!

JAK TO ZROBIĆ? Wójt ma problem… musi wybrać 1 z 20 możliwości… Ale dla takiego wójta to przecież drobnostka. Byle by były środki finansowe!

Wariacja z powtórzeniami Wariacją z powtórzeniami k-wyrazową zbioru n-elementowego nazywamy każdy k-wyrazowy ciąg elementów tego zbioru. Dowolny element może wystąpić wielokrotnie w ciągu.

Wzór: wariacja z powtórzeniami liczba wyrazów ciągu elementów zbioru liczba elementów w zbiorze

Cechy charakterystyczne: elementy mogą się powtarzać! ważna jest kolejność! niekoniecznie wszystkie elementy bierzemy pod uwagę!

Przykłady:

ROZWIKŁANIE zaGADKI n=10 (ilość możliwych cyfr) k=3 ( ilość dostępnych miejsc)

3-wyrazowe wariacje z powtórzeniami ze zbioru 2-elementowego: {a,b} ZWARIOWANE LITERKI 3-wyrazowe wariacje z powtórzeniami ze zbioru 2-elementowego: {a,b} aaa aab aba abb baa bab bba bbb

2-wyrazowe wariacje z powtórzeniami ze zbioru 3-elementowego WARIACJE Z OBRAZKAMI 2-wyrazowe wariacje z powtórzeniami ze zbioru 3-elementowego

Rzucamy 3 monetami. Ile istnieje wszystkich możliwych wyników? Czas na pieniążki … Rzucamy 3 monetami. Ile istnieje wszystkich możliwych wyników?

A TERAZ POKOMBINUJEMY …………….

SYMBOL NEWTONA Symbol Newtona (czytane n nad k, n po k lub k z n) jest to funkcja dwóch argumentów całkowitych nieujemnych, zdefiniowana jako

WŁASNOŚCI SYMBOLU NEWTONA 1. 2. 3. 4. 5.

PRZYKŁADOWE OBLICZENIA 1. 2. 3. 4.

Kombinacją k - elementową zbioru n – elementowego nazywamy każdy k – elementowy podzbiór tego zbioru. W kombinacjach nie jest ważna kolejność!

Z cyfr od 1 do 49 skreślamy 6 okienek Z cyfr od 1 do 49 skreślamy 6 okienek. Ile jest wszystkich możliwych skreśleń? n=49 k=6 Odp.: Wszystkich możliwych skreśleń jest 13 983 816.

ŻEBY WYGRAĆ TRZEBA PŁACIĆ… Ilość możliwych skreśleń Kwota, którą trzeba zapłacić aby wygrać.. Cena kuponu

A CO NA DESER? Z koszyka owoców: gruszka, jabłko, banan i mandarynka wybieramy 3 owoce do sałatki owocowej. Ile jest sposobów wyboru tych owoców?

Odp. Są 4 sposoby wyboru owoców. n- ilość wszystkich owoców = 4 k- ilość wybieranych owoców = 3 Odp. Są 4 sposoby wyboru owoców.

Ile słów można utworzyć ze słowa WANNA przestawiając dowolnie litery. PROBLEM ŁAZIENKOWY… Ile słów można utworzyć ze słowa WANNA przestawiając dowolnie litery. W A N N A - litera W - litera N - litera A Odp. Ze słowa WANNA można utworzyć 30 dowolnych słów (które nie koniecznie mają sens polonistyczny).

MOŻE WPADNIESZ NA PARTYJKĘ? Z talii 24 kart wybieramy losowo 5 kart, w których muszą się znaleźć 4 Asy i 1 Król. Ile jest wszystkich sposobów wyboru tych kart? Odp.: Są 4 sposoby wyboru tych kart.

Odp. Istnieje 48 334 sposobów wyboru tych kart. Z talii 52 kart wybieramy losowo 5 kart. Ile jest sposobów wyboru tych kart tak, aby były wśród nich 3 trefle, 1 karo i 1 kier? Odp. Istnieje 48 334 sposobów wyboru tych kart.

A na koniec żarcik…. Kiedyś dawno, dawno temu Ktoś powiedział bratu swemu “Kombinować każdy może, Ale mu to nie pomoże”. Więc od dawien, dawna, Przeważnie dziewczyna ładna, Kombinować strasznie musi,

….cd żarciku Aby z rodziców choć mały grosz wydusić. Lecz nie tylko w życiu codziennym Kombinatoryka przydać nam się może. Dzięki niej możemy obliczyć ułożenie świni w oborze, Lub jaki procent mamy, Aby ustrzec się groźby mamy. Jednak cała prawda o kombinowaniu Jest widoczna w łamigłówek łamaniu

KONIEC Dziękujemy za uwagę i poświęcony czas….