System dwójkowy i dziesiętny

SYSTEM DWÓJKOWY Najprostszym układem pozycyjnym jest dwójkowy układ numeracji zwany też systemem binarnym. Podstawę jego stanowi liczba 2, wszystkie więc liczby można pisać dwiema tylko cyframi: 0 i 1, a więc dowolna liczba dwójkowa zawiera same zera i jedynki. Liczby naturalne w systemie dwójkowym zapisujemy analogicznie jak w systemie dziesiętnym - zamiast kolejnych potęg liczby dziesięć, stosujemy kolejne potęgi liczby dwa.

Zamiana liczb z systemu dziesiętnego na dwójkowy Aby z liczby dziesiętnej uzyskać odpowiadającą jej liczbę dwójkowa należy dzielić dana liczbę przez 2, wyniki kolejnych dzieleń zapisać w słupku reszty z dzieleń zapisać po prawej stronie za kreska. Kolejne dzielenia wykonujemy do momentu a uzyskamy wynik z dzielenia mniejszy niż 1.Następnie wystarczy przepisać uzyskane reszty z dzieleń od dołu do góry i mamy wynik.

Przykłady zmiany z systemu dziesiętnego na dwójkowy 53 : 2 = 26, reszta 1 26 : 2 = 13, reszta 0 13 : 2 = 6, reszta 1 6 : 2 = 3, reszta 0 3 : 2 = 1, reszta 1 1 : 2 = 0, reszta 1 Uwaga! Wynik odczytujemy od dołu: 110101 53 (10) = 110101 (2) Liczba 53 została zapisana na 6 bitach (ma 6 cyfr)

Zamienimy liczbę 74(10) na jej postać dwójkową 74 : 2 = 37 reszta 0, zatem wynik = '0' 37 : 2 = 18 reszta 1, zatem wynik = '10' 18 : 2 = 9 reszta 0, wynik = '010' 9 : 2 = 4 reszta 1, wynik = '1010' 4 : 2 = 2 reszta 0, wynik = '01010' 2 : 2 = 1 reszta 0, wynik = '001010' 1 : 2 = 0 reszta 1, wynik = '1001010' Zatem 74(10) = 1001010(2)

Zamieniamy liczbę 10 (10) na jej postać dwójkową 10 : 2 = 5 reszta 0, zatem wynik ‘0’ 5 : 2 = 2 reszta 1, zatem wynik ‘1’ 2 : 2 = 1 reszta 0 1 : 2 = 0 reszta 1 Zatem 10 (10) = 1010

Zamieniamy liczbę 30 (10) na jej postać w systemie dwójkowym 30 : 2 = 15 r = 0 15 : 2 = 7 r =1 7 : 2 =3 r = 1 3 : 2 = 1 r = 1 1 :2 = 0 r =1 Zatem liczba 30 (10) w systemie dwójkowym przyjmuje postać 11110

Zamieniamy liczbę 173 (10) na jej postać w systemie dwójkowym 173 : 2 = 86 r = 1 86 : 2 = 43 r =0 43 : 2 = 21 r = 1 21 : 2 = 10 r = 1 10 : 2 = 5 r =0 5 : 2 = 2 r = 1 2: 2 = 1 r = 0 1: 2 = 0 r = 1 Zatem liczba 173 (10) = 10101101

System dziesiętny Jest to podstawowy system prezentacji liczb prawie we wszystkich krajach na świecie.   Do zapisu licz w tym systemie wykorzystuje się 10 cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.  Podstawą   pozycji zaś są kolejne potęgi liczby 10.

Liczby w systemie dziesiętnym Jak w każdym pozycyjnym systemie liczbowym, liczby zapisuje się tu jako ciąg cyfr, z których każda jest mnożnikiem kolejnej potęgi liczby stanowiącej podstawę systemu.   Jak w każdym systemie pozycyjnym o wartości cyfry stanowi pozycja na której ona stoi więc   cyfrę stojącą na pierwszej pozycji  mnożymy  razy 100 . Cyfrę na 2 pozycji  mnożymy razy 101,   cyfrę na 3 pozycji razy 102 itd.   Przykład:   4123 = 3*100 + 2*101 + 1*102  + 4*103 = 3 + 20 + 100 + 4000 = 4123

Zamiana licz z systemu dwójkowego na system dziesiętny Aby przeliczyć liczbę z systemu dwójkowego na dziesiętny musimy skorzystać z poniższego wzoru:

Zamiana liczby 10101101 na jej postać w systemie dziesiętnym- krok 1 W powyższym wzorze w miejsca x'ów wstawiamy na odpowiednie (kolejne) pozycje kolejne cyfry z przeliczanej liczby. Wyglądało by to tak:

Krok 2 Aby uzyskać ostateczny wynik musimy jeszcze to wszystko wyliczyć. Na pierwszy rzut oka może wydawać się to odrobinę skomplikowane ale przy odrobinie wprawy jest to proces bardzo prosty. Wystarczy zauważyć pewną zależność - każda następna potęga liczby 2 jest od swojego poprzednika dokładnie dwukrotnie większa. Co nam daje ta wiedza? Otóż nie musimy pracowicie wyliczać potęg tylko do wzoru wstawić gotowe liczby: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 (oczywiście kolejne liczby są tworzone tak samo 256, 512, 1024, 2048, itd.). Po podstawieniu do wzoru otrzymujemy:

Krok 3 I już jest trochę prościej, aby jeszcze całą sprawę ułatwić usuńmy z naszego równania wszystkie elementy które nie mają wpływu na jego ostateczny wynik tzn. wszystkie mnożenia przez zero . Jak widać zostały nam w równaniu mnożenia... ale mnożenie przez 1 nic nie zmienia, więc zróbmy kolejne uproszczenie. Wystarczy tylko dodać liczby a otrzymany wynik jest naszą "przeliczoną" z systemu dwójkowego na dziesiętny liczbą. W tym wypadku jest to liczba 173.

Zamieniamy 11110 (2) na jej postać w systemie dziesiętnym 11110 = 1 x 2 4 + 1 x 2 3 + 1 x 2 2+ 1 x 2 1+ 0 x 2 o = 16 + 8 + 4 + 2 =30

Zamieniamy liczbę 11101101 na jej postać w systemie dziesiętnym 11101101 = 1 · 27 + 1 · 26 + 1 · 25 + 0 · 24 + 1 · 23 + 1 · 22 + 0 · 21 + 1 · 20 = 128 + 64 + 32 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 237

Zamieniamy liczbę 10111110 na jej postać w systemie dziesiętnym 10111110 = 1 · 27 + 0 · 26 + 1 · 25 + 1 · 24 + 1 · 23 + 1 · 22 + 1 · 21 + 0 · 20 = 128 + 0 +32+16+8+4+2+0 = 190

Zamieniamy liczbę 101010 na jej postać w systemie dziesiętnym 101010 = 1 · 25 + 0 · 24 + 1 · 23 + 0 · 22 + 1 · 21 + 0 · 20 = 32 + 0 + 8 + 0 + 2 + 0 = 42

SYSTEM EGIPSKI

HISTORIA Informacje o poziomie matematyki w starożytnym Egipcie są bardzo ubogie. O stanie wiedzy z tamtego okresu świadczą głównie zabytki architektury egipskiej. Najdawniejsze matematyczne teksty pisane zachowały się mniej więcej z początku drugiego tysiąclecia p.n.e. To, że zachowało się tak niewiele egipskich tekstów matematycznych związane jest prawdopodobnie ze sposobem ich zapisywania. Teksty matematyczne pisane były na kruchym papirusie, czasem na skórze. Do naszych czasów przetrwały tylko teksty złożone w piramidach. Babilońskie teksty były pisane na glinianych tabliczkach. Dzięki temu zachowało się wiele matematycznych tekstów babilońskich pisanych pismem klinowym. Matematyka pozwalała na dokonywanie obliczeń potrzebnych do prac budowlanych, do poboru podatków, mierzenia pól i objętości tam i zbiorników zboża, zamiany miar wagi i objętości na inne jednostki. Po licznych obserwacjach zauważono , że cyfrom i liczbom przyporządkowano znaki lub symbole graficzne jak pałeczka czy zwinięty, liść palmy. Przy zapisywaniu liczb hieroglify oznaczające jedności , dziesiątki setki itd. pisano tyle razy, ile było w danej liczbie jedności w odpowiednich rzędach , przy czym rzędy pisano w porządku odwrotnym do naszego (starożytni Egipcjanie pisali od prawej do lewej ).

Na czym polega ? Egipski system zapisywania liczb opierał się na liczbie 10 jako na podstawie, lecz nie był to system pozycyjny. Do oznaczania kolejnych potęg liczby 10 istniały specjalne znaki - hieroglify. Znak dla jedynki przedstawiał tyczkę do mierzenia, zapisywano zaś go jako pionową kreskę.

Symbolika Kreskami takimi oznaczano liczby od 1 do 9. Znak dla 10 przypominał podkowę. Znak dla 100 przedstawiał zwinięty liść palmy, zwiniętą linię do mierzenia albo - jak niektórzy twierdzą - laskę kapłańską. Znak dla 1000 przedstawiał kwiat lotosu, symbol Nilu. Znakiem 10 000 jest wskazujący palec, a 100 000 - żaba. Liczba stu tysięcy w ich pojęciu była czymś tak wielkim, jak ilość żab w błotach Nilu po jego wylewach. Znak dla 1000000 przedstawia postać z podniesionymi rękoma. Jest to najprawdopodobniej obraz boga podtrzymującego sklepienie niebieskie jako symbol "wszystkiego". Liczbę 10 000 000 oznaczano podkreślając koło.

Zapisywanie 4200 Liczby zapisywano w Egipcie tak jak i u nas, to jest od lewej do prawej, umieszczając obok siebie jednostki danego rzędu, aż do jego wyczerpania. Dodawanie liczebników hieroglifowych jest dosyć proste. Zliczamy poszczególne symbole, gdy zliczymy pełną dziesiątkę jednakowych symboli, to zastępujemy ją hieroglifem wyższego liczebnika. W ten sposób wykonywali swoje rachunki starożytni pisarze przy zliczaniu danin, podatków, stad bydła, płodów rolnych, itp. Taki system zapisu liczb stosowany był powszechnie w Egipcie już 3000 lat p.n.e.

UŁAMKI EGIPSKIE

A zaczęło się od bochenka chleba… Nie zapominajmy jednak, że sztuka matematyczna starożytnych Egipcjan rozwinęła się głównie w kierunku praktycznym, zaś głównym powodem takiej reprezentacji ułamków egipskich był optymalny sposób podzielenia bochenków chleba . Zgodnie z zapiskami w papirusie Ahmesa była to metoda zalecana do dzielenia bochenków chleba między kilka osób . Na przykład jak rozdzielić 5 bochenków między 6 osób.5/6 możemy przedstawić jako 1/2 +1/3. Innymi słowy, 5 = 6(1/2 + 1/3) = 6(1/2) + 6(1/3). W myśl metody opisanej w Papirusie Ahmesa , musimy każdy z 6(1/2) = 3 bochenków podzielić na dwie równe części i każdy z 6(1/3) = 2 bochenków na trzy równe części . W rezultacie mamy 6 połówek i 6 trzecich bochenka. Każda z sześciu osób otrzyma 1/2 i 1/3 bochenka.

Podobnie jak w przypadku liczb naturalnych , nie potrafimy jednoznacznie odpowiedzieć na pytanie – kiedy odkryto ułamki. Dorysowanie owalu nad hieroglifem, było chyba jednak początkiem ułamków . Z całą pewnością wiadomo , że najwcześniej poznanymi spośród wszystkich ułamków są połowa i ćwierć. Egipcjanie do zapisywania tych ułamków stosowali znaki indywidualne

Sposób zapisywania pozostałych ułamków egipskich był bardzo prosty Sposób zapisywania pozostałych ułamków egipskich był bardzo prosty. Jedynkę w liczniku zapisywano za pomocą owalu, a liczbę w mianowniku przedstawiano sposobem podobnym do rzymskiego systemu zapisu liczb. Analizując poniższe przykłady bardzo łatwo zauważyć zasady ich tworzenia.

Tak na przykład w papirusie Rhinda Ahmes zapisał sposobem egipskim egipską wartość liczby π = 3 + 1/13 + 1/17 + 1/173 .W dokumencie znalazły się także następujące rozkłady : 4/5 = 1/2 + 1/5 + 1/10 1/3 = 1/6 + 1/6 1/2 = 1/6 + 1/6 + 1/6 1 = 1/2 + 1/3 + 1/6 2/3 = 1/2 + 1/6 Oprócz ułamków z jedynką w liczniku , Egipcjanie używali ułamka 2/3 ,który stanowił wyjątek a przedstawiany był następująco :

Dwunastkowy system liczbowy

Zapis liczbowy w systemie dwunastkowym Dwunastkowy system liczbowy – pozycyjny system liczbowy, w którym podstawą pozycji są kolejne potęgi liczby 12. Do zapisu liczb potrzebne jest dwanaście cyfr. Poza cyframi dziesiętnymi od 0 do 9 używa się pierwszych dwóch liter alfabetu łacińskiego: A i B. Zapis liczbowy w systemie dwunastkowym Liczby zapisuje się tu, jako ciągi cyfr, z których każda jest mnożnikiem kolejnej potęgi liczby stanowiącej podstawę systemu, np. liczba zapisana w dziesiętnym systemie liczbowym jako 1000, w dwunastkowym przybiera postać 6B4, gdyż: 6×12² + 11×121 + 4×120 = 864 + 132 + 4 = 1000.

TABLICZKA MNOŻENIA W SYSTEMIE DWUNASTKOWYM * 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10 12 14 16 18 1A 20 13 19 23 26 29 30 24 28 34 38 40 32 2B 39 42 47 50 36 46 56 60 41 48 53 5A 65 70 54 68 74 80 69 76 83 90 84 92 A0 A1 B0 100

PRZYKŁADY 6×12² + 11×121 + 4×120 = 864 + 132 + 4 = 1000 120-2×120=10 6×12² + 11×121 + 4×120 = 864 + 132 + 4 = 1000 120-2×120=10 120=1 (12)12=144 25=2×121+120 123=1728 1=120 100= 6×12² + 4×120

Zastosowanie systemu dwunastkowego w historii i obecnie System dwunastkowy używany był na Bliskim Wschodzie w Babilonii używano go równolegle z systemem dziesiętnym, z tym, że system dwunastkowy (o zapisie pozycyjnym) stosowano przy skomplikowanych obliczeniach (np. w zakresie astronomii), zaś systemu dziesiętnego używały szerokie masy ludności w życiu codziennym (aramejski system liczbowy). W niewielkim zakresie systemu dwunastkowego używano także w starożytnym Rzymie, gdzie starożytna jednostka monetarna As (jednostka monetarna lub wagowa) składała się z 12 uncji. Również średniowieczny system monetarny w Europie opierał się częściowo na systemie dwunastkowym: pieniądze liczono m.in. w solidach, które zawierały po 12 denarów. (pozostałość tego systemu monetarnego przetrwała do 2. połowy XX w. w krajach powiązanych kulturowo z Wielką Brytanią, a w samej Wielkiej Brytanii aż do roku 1971, gdzie aż do tej daty szyling dzielił się na 12 pensów). Od średniowiecza aż do XIX w. (a w krajach anglosaskich, zwłaszcza USA - do chwili obecnej) mierzono długość w stopach, calach, liniach i punktach, gdzie stopa = 12 cali, cal = 12 linii, linia = 12 punktów. Do dziś w Polsce używa się takich wywodzących się z systemu dwunastkowego pojęć jak tuzin (12 sztuk) i gros (12 tuzinów - 144 sztuki) oraz kopa (5 tuzinów - 60 sztuk). W niektórych językach istnieje także pojęcie "wielki gros" określające liczbę 1728 stanowiącą 12 grosów (tuzin do potęgi trzeciej). System dwunastkowy w innych dziedzinach nauki Również używane w niektórych dziedzinach nauki (m.in. w geografii, kartografii, nawigacji i astronomii) pojęcia stopień, minuta, sekunda i tercja opierają się na systemie dwunastkowym.

Siódemkowy system liczbowy

Siódemkowy system liczbowy to pozycyjny system liczbowy o podstawie 7 Siódemkowy system liczbowy to pozycyjny system liczbowy o podstawie 7. System siódemkowy jest czasem nazywany septymalnym. Do zapisu liczb używa się w nim siedmiu cyfr, od 0 do 6. Jak w każdym pozycyjnym systemie liczbowym, liczby zapisuje się tu, jako ciągi cyfr, z których każda jest mnożnikiem kolejnej potęgi liczby będącej podstawą systemu. W matematyce liczby w systemach niedziesiętnych oznacza się czasami indeksem dolnym zapisanym w systemie dziesiętnym, a oznaczającym podstawę systemu, np. 10007 = 34310. Ułamki wyrażone w systemie siódemkowym będą ułamkami okresowymi, chyba, że mianownik jest potęgą siedmiu

Konwersacja Aby zamienić zwykłą liczbę na system siódemkowy wystarczy dzielić przez 7. Pierwsze dzielenie : 234:7=33 21 =24 =3 Z tego dzielenia wyszła reszta 3 więc ta liczba w systemie siódemkowy na ostatniej pozycji będzie mieć cyfrę 3 . Drugie dzielenie : 33:7=4 28 =5 Z tego dzielenia wyszła reszta 5 więc ta liczba w systemie siódemkowym na przedostatniej pozycji będzie mieć cyfrę 5 i analogicznie ostatnią uzyskaną cyfrą będzie cyfra 4 ponieważ : 4: 7 = 0 reszty 4 czyli : 234=(453)7

PRZYKŁADY 34=(46)7 49=7²