MECHANIKA NIEBA WYKŁAD 2 12.03.2008 r

Krzywe stożkowe. Elipsa Równanie biegunowe P F2 F1 F2 leży w punkcie początkowym układu (biegunie), a duża półoś pokrywa się z linią początkową (osią biegunową, θ=0o) θ nie jest tym samym kątem co wprowadzony wcześniej ν ! Korzystając z definicji elipsy: można otrzymać: lewa strona to wprowadzony wcześniej parametr elipsy p. Ostatecznie r-nie biegunowe elipsy przyjmuje postać:

Krzywe stożkowe. Elipsa Równanie biegunowe Jeśli wielka półoś jest nachylona pod kątem ω do linii początkowej (osi biegunowej) to: czyli: Różnica między θ oraz ν jest oczywista

Krzywe stożkowe. Parabola Parabola jest krzywą jaką zakreśla punkt poruszający się tak, że jego odległość od tworzącej (NP) jest równa odległości od ogniska (PF). Jeśli N=(-q,0), F(q,0) to z definicji paraboli otrzymamy: Po kilku przekształceniach dostajemy r-nie paraboli: p

Krzywe stożkowe. Parabola Linia równoległa do tworzącej i przechodząca przez ognisko to parametr paraboli p. Przecina on parabolę w dwóch punktach: Stąd możemy otrzymać równania parametryczne paraboli: Wniosek: Ciało, które porusza się ze stałą prędkością w jednym kierunku i ze stałym przyspieszeniem w drugim kierunku – porusza się po paraboli. p

Krzywe stożkowe. Parabola Styczne do paraboli Postępujemy podobnie jak w przypadku elipsy. Wychodząc od równania na punkty wspólne prostej i paraboli, szukamy przypadku z jednym rozwiązaniem (punkt styczności). Styczna (przy zadanym współczynniku kierunkowym, m) do paraboli :

Krzywe stożkowe. Parabola Styczne do paraboli Styczną w punkcie znajdujemy także analogicznie jak w przypadku elipsy. Wybieramy dwa dowolne punkty: Wyznaczając prostą między nimi i przechodząc do granicy t2-t1->0 otrzymujemy:

Krzywe stożkowe. Parabola Równanie biegunowe Z definicji: FP=PN=r a także FO=OM=q FM=2q=p oraz rcosθ+r=2q=p ostatecznie:

Krzywe stożkowe. Hiperbola Hiperbola to linia, po której porusza się punkt tak, że różnica jego odległości od ognisk jest stała: Odległość między ogniskami: gdzie e jest mimośrodem hiperboli. Z definicji hiperboli:

Krzywe stożkowe. Hiperbola otrzymujemy: po uwzględnieniu: dostajemy ostatecznie: b a

Krzywe stożkowe. Hiperbola hiperbola sprzężona: asymptoty: co można zapisać jako: b a

Krzywe stożkowe. Hiperbola Parametr zderzenia Poruszająca się szybko cząstka pod wpływem siły ~ 1/r2 zakreśla hiperbolę. Odległość K2F2 w jakiej cząstka minęłaby F2 w przypadku braku siły jest nazywana parametrem zderzenia. Parametr zderzenia jest równy b (z r-nia hiperboli).

Krzywe stożkowe. Hiperbola Styczne do hiperboli Wyznaczamy je identycznie jak w przypadku elipsy (ćwiczenia): dla stycznej o zadanym współczynniku kierunkowym oraz: dla stycznej w punkcie (x1,y1):

Krzywe stożkowe. Hiperbola Równanie biegunowe Postępujemy podobnie jak w przypadku elipsy. Z definicji: Stosując wzór cosinusów do trójkąta F1F2P i łącząc z powyższym dostajemy: gdzie: jest parametrem hiperboli r s θ Dla drugiej hiperboli postępujemy podobnie i otrzymujemy:

Krzywe stożkowe. Równanie biegunowe P F2 F1 Można zauważyć, że krzywa każdego typu ma podobne równanie biegunowe: Odpowiednie krzywe różnią się tylko wartością mimośrodu, e: elipsa e<1 parabola e=1 hiperbola e>1

Krzywe stożkowe. Ogólna postać Równanie: przedstawia elipsę, której wielka półoś leży na osi 0X, a środek znajduje się w początku układu współrzędnych Co się stanie w przypadku odsunięcia elipsy od początku układu współrzędnych i skręcenia wielkiej półosi względem osi układu?

Krzywe stożkowe. Ogólna postać Przesunięcie środka do punktu (p,q) powoduje zmianę współrzędnych do (x-p,y-q). Nachylenie osi wielkiej pod kątem θ do osi 0X powoduje, że: x -> xcosθ +ysinθ y -> -xsinθ +ycosθ Uwzględniając to w równaniu elipsy otrzymamy równanie zawierające czynniki x2,y2,xy,x,y oraz stałą. Podobnie będzie w przypadku hiperboli i paraboli. W takim razie, każdą krzywą stożkową można przedstawić za pomocą równania:

Krzywe stożkowe. Ogólna postać Czy takie równanie zawsze przedstawia parabolę, hiperbolę lub elipsę? Otóż, nie zawsze. Np.: Jest spełnione tylko przez jeden punkt. Potrzebny jest niezmiennik ogólnego równania, który pozwoli określić postać rozwiązań

Krzywe stożkowe. Ogólna postać Niezmiennikiem tego równania jest wyznacznik: gdzie:

Krzywe stożkowe. Ogólna postać Współrzędne środka dowolnej krzywej stożkowej: a kąt jaki tworzy wielka półoś z osią 0X: Wartości współczynników równania i niezmienników pozwalają jednoznacznie określić z jakim przypadkiem mamy do czynienia:

Krzywe stożkowe. Ogólna postać punkt dwie nierównoległe linie proste prosta dwie proste równoległe prostopadłe nieprostopadłe i nierównoległe tu zaczynamy następna strona

Krzywe stożkowe. Ogólna postać parabola nic okrąg elipsa w pozostałych i hiperbola prostokątna hiperbola (nieprostokątna)

Krzywe stożkowe. Ogólna postać Weźmy równanie: pięć punktów potrzeba i wystarcza, aby jednoznacznie dopasować do nich krzywą stożkową. Jeżeli przynajmniej trzy z nich leżą na jednej prostej to dostajemy krzywą stożkową niewłaściwą Najprostszy sposób polega na podstawieniu do niego współrzędnych kolejnych punktów i rozwiązanie otrzymanego układu równań w celu uzyskania współczynników. A(1,8), B(4,9), C(5,2), D(7,6), E(8,4)

Krzywe stożkowe. Ogólna postać Można to zrobić nieco inaczej (w prostszy sposób?) Piszemy równania prostych α=0, β=0, γ=0 i δ=0: Wtedy r-nie αβ=0 opisuje proste AB i CD, natomiast γδ=0 zawiera pozostałe dwie proste:

Krzywe stożkowe. Ogólna postać Ostatecznie, równanie opisujące całą rodzinę krzywych stożkowych przechodzących przez A, B, C, D przyjmuje postać αβ+λγδ =0 (gdzie λ jest stałą): Podstawiając x=8, y=4 wyznaczamy takie λ, dla którego dana krzywa stożkowa przechodzi przez punkt E. Otrzymujemy λ=76/13 i ostatecznie szukane równanie krzywej stożkowej przechodzącej przez zadane pięć punktów: Mając współczynniki równania możemy określić (z tabeli krzywych stożkowych), że otrzymaliśmy elipsę, której środek znajduje się w punkcie (4.619, 5.425) nachylonej do osi OX po kątem 128o51’

Pole grawitacyjne i potencjał Prawo powszechnego ciążenia Każda cząstka we Wszechświecie działa na każdą inną cząstkę z siłą, która jest wprost proporcjonalna do iloczynu mas tych cząstek i odwrotnie proporcjonalna do kwadratu ich odległości: gdzie G jest uniwersalną (obowiązuje wszędzie(?) we Wszechświecie) stałą (niezmienną w czasie) grawitacji równą:

Pole grawitacyjne i potencjał Natężenie pola grawitacyjnego M m Natężenie pola grawitacyjnego pochodzącego od masy M: czyli iloraz siły grawitacyjnej działającej na ciało próbne m i jego masy.

Pole grawitacyjne i potencjał Dwa punkty materialne Dane są dwa punkty P i Q o masach równych m0 i m1 odległych o r: Załóżmy, że P jest przyciągany przez Q, wtedy składowe siły: z y x Q(x1,y1,z1) P(x0,y0,z0)

Pole grawitacyjne i potencjał Dwa punkty materialne Odpowiednie cosinusy kierunkowe są równe: a więc: z y x Q(x1,y1,z1) P(x0,y0,z0)

Pole grawitacyjne i potencjał n punktów Siła przyciągania punktu P przez dowolny punkt Qi: dodając odpowiednie składowe do siebie otrzymamy składowe całkowitej siły działającej na P: z y x P(x0,y0,z0) Qi(xi,yi,zi)

Pole grawitacyjne i potencjał n punktów Ostatecznie: z y x P(x0,y0,z0) Qi(xi,yi,zi)

Pole grawitacyjne i potencjał n punktów W mechanice nieba zazwyczaj mamy do czynienia z ciałami o symetrycznym rozkładzie masy co pozwala uprościć problem wyznaczania siły działającej od układu punktów. copyright: http://www.robgendlerastropics.com/ W obiektach nieregularnych, odległości (zwykle) między poszczególnymi centrami grawitacji są na tyle duże, że można zaniedbać wpływ innych obiektów niż najbliższe. copyright: Hubble Heritage Team

Pole grawitacyjne i potencjał Pole na osi pierścienia δγr δγo δγ Wkład od elementu masy δM do całego natężenia: który można rozłożyć na składowe:

Pole grawitacyjne i potencjał Pole na osi pierścienia Całkując po wszystkich przyczynkach otrzymujemy: natężenie skierowane do środka pierścienia. Powyższa funkcja zeruje się w środku pierścienia i w nieskończoności osiągając po drodze maksimum (ćwiczenia). δγr δγo δγ

Pole grawitacyjne i potencjał Pole na osi jednorodnego dysku Punkt P leży na osi dysku o gęstości powierzchniowej σ, w odległości z od środka. Masa elementarnego pierścienia: jego wkład do całkowitego natężenia:

Pole grawitacyjne i potencjał Pole na osi jednorodnego dysku Sumaryczne natężenie znajdujemy licząc całkę: Możemy wyrazić tę zależność w funkcji kąta α:

Pole grawitacyjne i potencjał Pole na osi jednorodnego dysku Jeśli masa całego dysku wynosi: to: W ogólnym przypadku gęstość zależy od r i wtedy natężenie pola grawitacyjnego:

Pole grawitacyjne i potencjał Pole na osi dowolnego dysku Zakładając różne postaci rozkładu gęstości można przybliżać natężenia pola grawitacyjnego pochodzącego od rzeczywistych obiektów (ćwiczenia)

Pole grawitacyjne i potencjał Pole na zewnątrz sfery Zał.: sfera ma masę M rozłożoną równomiernie na całej powierzchni grubość t jest mała w porównaniu z promieniem r Rozpatrujemy cienki pasek o szerokości rdθ: objętość masa Wykorzystując uzyskane wcześniej wyrażenie dla pierścienia możemy zapisać: rcosθ xcosα copyright: Resnick, Halliday

Pole grawitacyjne i potencjał Pole na zewnątrz sfery Po uwzględnieniu wyrażenia na dM: z rys.: oraz z tw. cosinusów: Łącząc te trzy czynniki dostajemy: rcosθ xcosα copyright: Resnick, Halliday

Pole grawitacyjne i potencjał Pole na zewnątrz sfery Siłę pochodzącą od całej sfery wyznaczamy licząc całkę: To oznacza, że pole grawitacyjne na zewnątrz sfery jest takie jakby cała masa była skupiona w punkcie. Identyczny wynik otrzymujemy dla kuli (całkujemy cienkie sfery od 0 do R) rcosθ xcosα copyright: Resnick, Halliday

Pole grawitacyjne i potencjał Pole wewnątrz sfery Podobnie postępujemy w przypadku gdy punkt materialny umieścimy wewnątrz kuli. Wyrażenie na dF jest identyczne. Zmianie ulegają granice całkowania. W wyniku otrzymujemy, że: Oczywiście to jest prawda tylko w przypadku gdy nie ma innych mas (sfera nie tworzy „ekranu grawitacyjnego”!) copyright: Resnick, Halliday