Równania różniczkowe - przegląd METODY NUMERYCZNE Wykład 7 Równania różniczkowe - przegląd dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.AGH, Katedra Elektroniki, AGH e-mail: zak@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~zak Met.Numer. wykład

Równania różniczkowe - wprowadzenie Równania różniczkowe są popularnie spotykane we wszystkich dziedzinach nauk ścisłych i przyrodniczych a szczególnie w: Fizyce (np. równania Maxwell’a) Mechanice (np. równania ruchu harmonicznego) Elektronice (np. stany nieustalone w obwodach elektrycznych) Automatyce (np. warunki sterowalności układu) i wielu innych dziedzinach nauki i techniki Met.Numer. wykład

Równania różniczkowe zwyczajne Równania różniczkowe zwyczajne – jest to równanie w którym występują stałe oraz funkcje niewiadome i pochodne funkcji niewiadomych zależne od jednej zmiennej niezależnej. M Przykład: Met.Numer. wykład

Cząstkowe równania różniczkowe Cząstkowe równanie różniczkowe – jest to równanie zawierające funkcję niewiadomą dwóch lub więcej zmiennych oraz niektóre z jej pochodnych cząstkowych. Jednym z najprostszych równań różniczkowych cząstkowych jest równanie transportu: Met.Numer. wykład

Cząstkowe równania różniczkowe Zauważamy, że pochodna kierunkowa funkcji u w kierunku wektora v=(1,b) є Rn+1 znika. Zatem ustalając dowolny punkt (t,x) є R+ x Rn i kładąc dla s є R dostajemy: Zatem z(s) jest funkcją stałą. Ustalając wartość rozwiązania na każdej prostej równoległej do wektora (1,b) dostajemy rozwiązanie zadania. Met.Numer. wykład

Cząstkowe równania różniczkowe – zagadnienia początkowe Zagadnienia początkowe, zakładamy, że w chwili t=0 zadana jest wartość funkcji u(0,x). Wówczas zagadnienie początkowe: ma rozwiązanie: Jeśli funkcja g jest klasy C1 to rozwiązanie równania jest rozwiązaniem klasycznym oraz jest ono jednoznaczne Met.Numer. wykład

Rozwiązywanie zagadnień początkowych Wprowadzimy teraz kilka oznaczeń, niech: Y(x) – oznacza dokładne rozwiązanie y(x) – oznacza rozwiązanie przybliżone są punktami, w których wyznaczamy przybliżone rozwiązania Met.Numer. wykład 6

Gdzie stała , to liczbę p będziemy nazywać rzędem metody przybliżonej Błąd metody Wielkość Tn nazywamy błędem metody powstałym przy przejściu od xn do xn+1 h – krok całkowania Błąd metody możemy wyrazić jako funkcję zmiennej h i przedstawić w postaci: Gdzie stała , to liczbę p będziemy nazywać rzędem metody przybliżonej Met.Numer. wykład 6

Cząstkowe równania różniczkowe – zagadnienia niejednorodne W celu rozwiązania zagadnienia niejednorodnego: podstawmy: wówczas: Met.Numer. wykład

Cząstkowe równania różniczkowe – zagadnienia niejednorodne Zatem: Rozwiązaniem zagadnienia jest więc: Met.Numer. wykład

Całka zupełna dla równań rzędu 1 Ogólne równanie różniczkowe cząstkowe rzędu 1 można zapisać w postaci: gdzie: Met.Numer. wykład

Całka zupełna dla równań rzędu 1 – zagadnienia brzegowe Ogólne równanie różniczkowe cząstkowe rzędu 1 można zapisać w postaci, spróbujemy rozwiązać warunki brzegowe (zagadnienie Cauchy’ego) Zakładamy, że funkcje F i g oraz powierzchnia Г są dostatecznie gładkie. Met.Numer. wykład

Całka zupełna dla równań rzędu 1 – zagadnienia brzegowe Staramy się połączyć punkt xєΩ z pewnym punktem x0єГ pewną krzywą ɣ w taki sposób, aby można było policzyć wartości rozwiązania u wzdłuż tej krzywej: Chcemy dobrać krzywą x(s) tak, aby można było policzyć z(s) i p(s). W tym celu policzymy dp(s)/d(s): Met.Numer. wykład

Całka zupełna dla równań rzędu 1 – zagadnienia brzegowe Z drugiej strony różniczkując równanie ogólne względem xi: Zakładamy, że: Met.Numer. wykład

Całka zupełna dla równań rzędu 1 – zagadnienia brzegowe Otrzymujemy wtedy: Ostatecznie otrzymujemy: Met.Numer. wykład

Całka zupełna dla równań rzędu 1 – zagadnienia brzegowe Stosując zapis wektorowy otrzymujemy układ (2n+1) równań różniczkowych zwyczajnych zwany układem charakterystyk całki zupełnej. Met.Numer. wykład

Całka zupełna dla równań rzędu 1 – zagadnienia brzegowe - przykład Rozpatrzmy układ: Wówczas równania charakterystyk mają postać: Met.Numer. wykład

Całka zupełna dla równań rzędu 1 – zagadnienia brzegowe - przykład Rozwiązując ten układ równań z uwzględnieniem warunku brzegowego dostajemy Ostatecznie rugując parametr s dostajemy rozwiązanie: Met.Numer. wykład

Równanie liniowe rzędu 2 Ogólne równanie różniczkowe cząstkowe liniowe rzędu 2 określone w obszarze Ω ↄ Rn ma postać: Ogólne równanie cząstkowe drugiego rzędu dwóch zmiennych niezależnych liniowe możemy zapisać: A,B,C są określone w pewnym obszarze Ω ↄ R2 a F jest określona na Ω ↄ R3 Met.Numer. wykład

Transformacja Laplace’a Całką Laplace’a funkcji f nazywamy całkę niewłaściwą postaci: Przy czym o funkcji f(t) zakładamy że jest funkcją rzeczywistą zmiennej rzeczywistej t określoną dla każdej wartości t > 0 i przedziałami ciągłą. Ponieważ całka jest całką niewłaściwą to nie dla wszystkich funkcji f(t) spełniających podane warunki jest ona zbieżna. Met.Numer. wykład

Transformacja Laplace’a c.d. Funkcję f(t) dla których istnieje całka Laplace’a nazywamy oryginałami natomiast odpowiadające i funkcje F(s) nazywamy transformatami Laplace’a. Samą transformację Laplace’a zwaną także przekształceniem Laplace’a w środowisku inżynierskim często zapisujemy jako: Met.Numer. wykład

Transformacja odwrotna Laplace’a Transformacja odwrotna Laplace’a dla klasy funkcji spełniających podane założenia wyraża się wzorem: Met.Numer. wykład

Transformacja Laplace’a – przykładowe funkcje Transformata pochodnej: Transformata całki: Met.Numer. wykład

Własności transformacji Laplace’a Linowość: gdzie a, b, c to współczynniki Przesunięcie w dziedzinie zmiennej zespolonej: Jeśli to Zmiana skali Jeśli to Met.Numer. wykład

Transformacja Laplace’a - przykład Rozwiązywanie równania różniczkowego przy pomocy transformacji Laplace’a: Krok 1: Transformacja obydwu stron równania różniczkowego Uwzględniając warunek początkowy y(0) = 5 otrzymujemy: Met.Numer. wykład

Transformacja Laplace’a – przykład c.d. Krok 2: Wyrażanie Y(s) jako funkcji s Zapisanie Y(s) w postaci ułamków prostych Met.Numer. wykład

Transformacja Laplace’a – przykład c.d. Krok 3: Odwrotna transformacja obydwu stron równania Uwzględniając że: Rozwiązanie równania wynosi: Met.Numer. wykład

Równaniem Poissona nazywamy niejednorodne równanie Laplace’a Równanie Poissona Równaniem Poissona nazywamy niejednorodne równanie Laplace’a Met.Numer. wykład

Równanie Poissona Równanie Poissona możemy podać explicite dla przestrzeni 2 i 3 wymiarowej: Met.Numer. wykład

Rozwiązanie równania Poissona wyrażamy za pomocą funkcji Greena: Równanie Poissona Rozwiązanie równania Poissona wyrażamy za pomocą funkcji Greena: Met.Numer. wykład

Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych – metoda Eulera Metoda Eulera pozwala na numeryczne rozwiązanie równania różniczkowego zwyczajnego rzędu pierwszego postaci: Przykłady: Met.Numer. wykład

Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych – metoda Eulera Dla x = 0 wartość y = y0 przyjmując że x = x0 = 0 y Φ krok h x wartość prawdziwa y1, wartość przewidywana Znając f(x, y) i mając dane wartości x0 i y0 z warunku początkowego y(x0) = y0 można obliczyć nachylenie funkcji f(x, y) do osi X w punkcie (x0, y0) Met.Numer. wykład

Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych – metoda Eulera Po przekształceniu otrzymujemy: Oznaczając x1-x0 jako krok h otrzymujemy: Wykorzystując obliczaną wartość y1 można obliczyć wartość y2 dla x2 jako: Met.Numer. wykład

Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych – metoda Eulera Można zatem wyprowadzić wzór rekurencyjny: y wartość prawdziwa yi+1, wartość przewidywana yi Φ h krok x xi xi+1 Met.Numer. wykład

Metoda Eulera - Przykład Kula nagrzana do temperatury 1200 K schładza się do temperatury 300K. Zakładając że w procesie schładzania ciepło jest oddawane do otoczenia jedynie przez radiację to temperatura kuli opisana jest równaniem: Jaka jest temperatura kuli po 480 sekundach jej schładzania? Met.Numer. wykład

Metoda Eulera – Przykład c.d. Wzór rekurencyjny metody Eulera: Zakładamy krok h = 240 Dla i = 0, t0 = 0, Θ0 = 1200: Met.Numer. wykład

Metoda Eulera – Przykład c.d. Dla i = 1, t1 = 240, Θ0 = 106.09: Po wykonaniu dwóch iteracji metody Eulera otrzymujemy że temperatura kuli po 480 s wyniesie 110.32K Czy to prawda? Met.Numer. wykład

Metoda Eulera – Przykład c.d. Porównanie rozwiązania dokładnego z rozwiązaniem otrzymanym przy użyciu metody Eulera. czas t(s) dokładne rozwiązanie temperatura Θ(K) Met.Numer. wykład

Metoda Eulera – Przykład c.d. Dobór odpowiedniego kroku h jest kluczowy dla odpowiedniej dokładności rozwiązania stosując metodę Eulera czas t(s) temperatura Θ(K) dokładne rozwiązanie rozmiar kroku h 480 240 120 60 30 -987.81 110.32 546.77 614.97 632.77 252.54 82.964 15.566 5.0352 2.2864 Met.Numer. wykład

Widać że metoda Eulera jest metodą Rngego-Kutty pierwszego rzędu Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych – metoda Rungego - Kutty Metoda Rungego-Kutty pozwala na numeryczne rozwiązanie równania różniczkowego zwyczajnego pierwszego rzędu postaci: Korzystając z rozwinięcie w szereg Taylora: Widać że metoda Eulera jest metodą Rngego-Kutty pierwszego rzędu Met.Numer. wykład

dla metody czwartego rzędu: Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych – metoda Rungego - Kutty Wzór dla metody Rungego-Kutty drugiego rzędu będzie wyglądał następująco: dla metody czwartego rzędu: Jak wyznaczyć pochodne f’ metody stopnia drugiego i f’, f’’, f’’’ dla metody stopnia czwartego? Met.Numer. wykład

Dla metody Rungego-Kutty drugiego rzędu wzór: Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych – metoda Rungego - Kutty Dla metody Rungego-Kutty drugiego rzędu wzór: można zapisać jako: gdzie: aby wyznaczyć współczynniki a1, a2, p1, q11 należy rozwiązać kład równań: zazwyczaj wartość a2 wybiera się aby rozwiązać pozostałe Met.Numer. wykład

Zazwyczaj a2 przyjmuje jedną z trzech wartości: ½, 1, 2/3 Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych – metoda Rungego - Kutty Zazwyczaj a2 przyjmuje jedną z trzech wartości: ½, 1, 2/3 Metoda Heun’a Metoda midpoint Metoda Raltson’a Met.Numer. wykład

Metoda Rungego - Kutty - Przykład Kula nagrzana do temperatury 1200 K i schładza się do temperatury 300K. Zakładając że w procesie schładzania ciepło jest oddawane do otoczenia jedynie przez radiację to temperatura kuli opisana jest równaniem: Jaka jest temperatura kuli po 480 sekundach jej schładzania? Met.Numer. wykład

Metoda Rungego - Kutty – Przykład c.d. Dla metody Heun’a: Dla i = 0, t0 = 0, Θ0 = Θ(0) = 1200: Met.Numer. wykład

Metoda Rungego - Kutty – Przykład c.d. Dla i = 1, t1 = t0 + h= 240, Θ1 = 655,16: Po wykonaniu dwóch iteracji metody Heun’a otrzymujemy że temperatura kuli po 480 s wyniesie 110.32K Met.Numer. wykład K

Metoda Rungego - Kutty – Przykład c.d. Dobór odpowiedniego kroku h jest kluczowy dla odpowiedniej dokładności rozwiązania stosując metodę Heun’a czas t(s) temperatura Θ(K) dokładne rozwiązanie rozmiar kroku h 480 240 120 60 30 -393.87 584.27 651.35 649.91 648.21 160.82 9.78 0.58 0.36 0.10 Met.Numer. wykład

Metoda Rungego - Kutty – Przykład c.d. Porównanie dotychczas przedstawionych metod: czas t(s) temperatura Θ(K) dokładne rozwiązanie Dokładna wartość rozwiązania obliczona analitycznie wynosi: Rozmiar kroku h Θ(480) Euler Heun Midpoint Ralston 480 240 120 60 30 -987.84 110.32 546.77 614.97 632.77 -393.87 584.27 651.35 649.91 648.21 1208.4 976.87 690.20 654.85 649.02 449.78 690.01 667.71 652.25 648.61 Met.Numer. wykład

Dla metody Rungego-Kutty czwartego rzędu wzór: Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych – metoda Rungego - Kutty Dla metody Rungego-Kutty czwartego rzędu wzór: można zapisać jako: gdzie najczęściej przyjmuje się że: Met.Numer. wykład

Metoda Rungego - Kutty - Przykład Kula nagrzana do temperatury 1200 K i schładza się do temperatury 300K. Zakładając że w procesie schładzania ciepło jest oddawane do otoczenia jedynie przez radiację to temperatura kuli opisana jest równaniem: Jaka jest temperatura kuli po 480 sekundach jej schładzania? Met.Numer. wykład

Metoda Rungego - Kutty – Przykład c.d. Dla metody Rungego - Kutty czwartego rzędu: Dla i = 0, t0 = 0, Θ0 = 1200: Met.Numer. wykład

Metoda Rungego - Kutty – Przykład c.d. Met.Numer. wykład

Metoda Rungego - Kutty – Przykład c.d. Dla i = 1, t1 = 240, Θ1 = 675,65: Met.Numer. wykład

Metoda Rungego - Kutty – Przykład c.d. Dobór odpowiedniego kroku h jest kluczowy dla odpowiedniej dokładności rozwiązania stosując metodę Rungego - Kutty czwartego rzędu. czas t(s) temperatura Θ(K) dokładne rozwiązanie rozmiar kroku h 480 240 120 60 30 -90.278 594.91 646.16 647.54 647.57 113.94 8.1319 0.21807 0.0051926 0.00013419 Met.Numer. wykład

Metoda Rungego – Kutty dla równań różniczkowych wyższych rzędów Dla równania różniczkowego zwyczajnego wyższego rzędu albo dla równania cząstkowego można dokonać podstawienia: Met.Numer. wykład

Metoda Rungego – Kutty dla równań różniczkowych wyższych rzędów Otrzymane równania tworzą w efekcie układ n równań: Każde z n równań może być rozwiązane z użyciem opisanych wcześniej metod rozwiązywania układów równań różniczkowych zwyczajnych stopnia pierwszego Met.Numer. wykład

Po podstawieniu równanie przybiera postać: Przykład Rozwiąż równanie: oraz oblicz y(0.75) Podstawiając: Po podstawieniu równanie przybiera postać: Met.Numer. wykład

W efekcie należy rozwiązać następujący układ równań: Przykład c.d. W efekcie należy rozwiązać następujący układ równań: Stosując metodę Eulera: Met.Numer. wykład

Przykład c.d. Krok 1: Met.Numer. wykład

Przykład c.d. Krok 2: Met.Numer. wykład

Przykład c.d. Krok 3: Met.Numer. wykład

Otrzymane rozwiązanie to: Przykład c.d. Otrzymane rozwiązanie to: Wartość dokładna to: Błąd względny otrzymanego rozwiązania wynosi: Met.Numer. wykład

Warunki początkowe i brzegowe Zależność przemieszczenia v belki od długości x oraz obciążenia q: q υ L x q υ L x Aby rozwiązać równanie potrzebne są dwa warunki brzegowe punkach x = 0 oraz x = L Aby rozwiązać równanie potrzebne są dwa warunki początkowe w punkcie x = 0 Met.Numer. wykład

Metoda różnicowa dla zagadnień brzegowych równań różniczkowych zwyczajnych. Zastosowanie tej metody zostanie omówione na przykładzie równań różniczkowych drugiego rzędu które mają narzucone warunki brzegowe. Warunki brzegowe: Met.Numer. wykład

Odkształcenie belki wzdłuż osi Y opisuje równanie: Metoda różnicowa dla zagadnień brzegowych równań różniczkowych zwyczajnych. Odkształcenie belki wzdłuż osi Y opisuje równanie: Oblicz wartość odkształcenia belki w punkcie x = 50: Met.Numer. wykład

Aproksymujemy w punkcie i: Metoda różnicowa dla zagadnień brzegowych równań różniczkowych zwyczajnych. Aproksymujemy w punkcie i: Met.Numer. wykład

Po podstawieniu wartości: Metoda różnicowa dla zagadnień brzegowych równań różniczkowych zwyczajnych. Po podstawieniu wartości: Ponieważ Δx = 25 będą rozpatrywane 4 węzły: Met.Numer. wykład

Węzeł pierwszy (i = 1): Węzeł drugi (i = 2): Metoda różnicowa dla zagadnień brzegowych równań różniczkowych zwyczajnych. Węzeł pierwszy (i = 1): Węzeł drugi (i = 2): Met.Numer. wykład

Węzeł trzeci (i = 3): Węzeł czwarty (i = 4): Metoda różnicowa dla zagadnień brzegowych równań różniczkowych zwyczajnych. Węzeł trzeci (i = 3): Węzeł czwarty (i = 4): Met.Numer. wykład

Otrzymane równania dla wszystkich 4 węzłów można zapisać jako: Metoda różnicowa dla zagadnień brzegowych równań różniczkowych zwyczajnych. Otrzymane równania dla wszystkich 4 węzłów można zapisać jako: Rozwiązanie powyższego kładu równań daje: Met.Numer. wykład

Ostatecznie wartość przemieszczenia y w punkcie x = 50 wynosi: Metoda różnicowa dla zagadnień brzegowych równań różniczkowych zwyczajnych. Ostatecznie wartość przemieszczenia y w punkcie x = 50 wynosi: Rozwiązanie analityczne daje: Błąd rozwiązania wyznaczonego metodą różnicową: Met.Numer. wykład

Mikro- i nanobelki w sensorach Met.Numer. wykład

Zagadnienie problemowe – równanie przewodnictwa cieplnego Równanie przewodnictwa cieplnego zwane jest także jako równanie dyfuzji. W celu wyprowadzenia tego równania rozważamy podobszar V obszaru Ω, o gładkim brzegu ∂V. Niech F oznacza gęstość strumienia przepływu w obszarze Ω, wówczas tempo w jakim zmienia się ilość substancji wypełniającej V jest równe całkowitemu przepływowi substancji przez brzeg ∂V: η – wektor normalny do ∂V, dS - miara na powierzchni ∂V Met.Numer. wykład

Równanie przewodnictwa cieplnego – rozwiązanie podstawowe Równanie ciepła ma bardziej skomplikowaną strukturę do równania Laplace’a – poszukiwanie rozwiązań w postaci tzw. funkcji samopodobnej tzn.: Podstawiając do równania cieplnego otrzymujemy: Met.Numer. wykład

Równanie przewodnictwa cieplnego – rozwiązanie podstawowe Jeżeli β=1/2 nasze równanie ulega uproszczeniu: Stosując kolejne uproszczenie i operator Laplace’a: Met.Numer. wykład

Równanie przewodnictwa cieplnego – rozwiązanie podstawowe Jeżeli przyjmiemy, że: α=n/2 to otrzymamy równanie: Stosując pewne techniki mnożenia i dzielenia rn-1 otrzymujemy: Met.Numer. wykład

Równanie przewodnictwa cieplnego – rozwiązanie podstawowe I ostatecznie uwzględniając wszystkie założenia: Otrzymujemy funkcję, która jest rozwiązaniem równania ciepła: Met.Numer. wykład

Równanie przewodnictwa cieplnego – rozwiązanie podstawowe Rozwiązaniem podstawowym operatora przewodnictwa cieplnego nazywamy funkcję: Met.Numer. wykład

Rozkład temperatury w czujnikach Met.Numer. wykład

Zagadnienie początkowe dla równania struny. Wzór d’Alamberta Badanie równania falowego zaczniemy od przypadku jednowymiarowego czyli od tzw. Równania struny. Skoncentrujemy się na równaniu struny nieograniczonej. Naszym celem jest rozwiązanie zagadnienia: Met.Numer. wykład

Zagadnienie początkowe dla równania struny. Wzór d’Alamberta Rozwiązanie ogólne równania wyraża się wzorem: Gdzie F i G są funkcjami klasy C2(R). Korzystając z warunków początkowym dostajemy: Met.Numer. wykład

Zagadnienie początkowe dla równania struny. Wzór d’Alamberta Całkując drugie równanie mamy: Zatem rozwiązaniem powyższego układu równań jest para funkcji: Met.Numer. wykład

Zagadnienie początkowe dla równania struny. Wzór d’Alamberta Stąd rozwiązanie problemu struny wyraża się wzorem d’Alamberta: Jeśli gєC2(R), hєC1(R), to rozwiązanie zagadnienia struny wyraża się wzorem d’Alamberta Zadanie domowe: wymuszone drgania struny Met.Numer. wykład

Rezonans struny Met.Numer. wykład

Określenie stabilności wg Łapunowa Rozważmy układ macierzowy równań różniczkowych w postaci: Pytanie: Jaki punkt jest stabilny dla układu liniowego? Met.Numer. wykład

Określenie stabilności wg Łapunowa Rozważmy: λ – wartości własne macierzy Met.Numer. wykład

Określenie stabilności wg Łapunowa Otrzymujemy: x – jest to punkt asymptotycznie stabilny Met.Numer. wykład

Określenie stabilności wg Łapunowa Jeżeli wartości własne macierzy A są mniejsze od zera wówczas możemy powiedzieć, że: x – jest to punktem stabilnym wg Łapunowa i asymptotycznie stabilnym Met.Numer. wykład

Określenie stabilności wg Łapunowa Punkt nazywamy stabilnym wg Łapunowa jeżeli spełnione są warunki (3): Met.Numer. wykład

Określenie stabilności wg Łapunowa Sens definicji Łapunowa ilustruje rysunek: Met.Numer. wykład

Określenie stabilności wg Łapunowa Lokalna asymptotyczna stabilność wg Łapanowa Met.Numer. wykład

Stabilność rozwiązań równań różniczkowych Punkt x0 nazywamy punktem stacjonarnym (położeniem równowagi) równania: Stabilność w sensie Łapunowa – jeśli startując z warunku początkowego x0 blisko rozwiązania stacjonarnego, pozostajemy w pobliżu tego rozwiązania wraz z upływem czasu. Asymptotycznie stabilne – jeśli jest stabilne i dla warunku początkowego x0 dostatecznie blisko x=const., rozwiązanie x(t) z tym warunkiem początkowym zbiega do x przy t->∞. Niestabilne r.r. – jeśli znajdzie się taki punkt początkowy dowolnie blisko x=const., dla którego rozwiązanie ucieka wraz z upływem czasu. Met.Numer. wykład

Stabilność rozwiązań równań różniczkowych Twierdzenie Hartmana-Grobmana Jeżeli f(p)=0 i wśród wartości własnych Df(p) nie ma wartości własnych czysto urojonych to równanie nieliniowe x’=f(x) i liniowe x’=df(p) są topologicznie sprzężone w otoczeniu p. Tw. Łapunowa Asymptotycznie stabilny pkt. równowagi Stabilny punkt równowagi Niestabilny punkt Met.Numer. wykład

Stabilność rozwiązań równań różniczkowych - przykład Rozważmy układ równań: Szukamy punktów równowagi: Met.Numer. wykład

Stabilność rozwiązań równań różniczkowych - przykład Macierz linearyzacji: Obliczamy macierz linearyzacji w podanym punkcie (0,0): Wartości własne to: -1;1. Nie ma wartości czysto urojonych więc punkt (0,0) jest niestabilny. Met.Numer. wykład

Metoda różnic skończonych Metoda różnic skończonych opiera się na zastąpieniu pochodnych cząstkowych w punktach (xi,yi) ich przybliżeniami numerycznymi. Otrzymujemy odpowiednio dla zmiennej x i y: Met.Numer. wykład

Metoda różnic skończonych dla równania Poissona Podstawienie FEM do równania Poissona otrzymujemy: Warunki brzegowe: Met.Numer. wykład

Metoda różnic skończonych dla równania Poissona Pomijając reszty otrzymujemy układ (n-1) x (m-1) równań liniowych z niewiadomymi, które są przybliżeniami u(xi,yj). Układ równań możemy rozwiązać metodami bezpośrednimi bądź iteracyjnymi. W celu wyznaczenia przybliżenia w punkcie (xi,yj), potrzebne są wartości przybliżenia rozwiązania w czterech sąsiednich punktach: Met.Numer. wykład

Metoda różnic skończonych przykład Wyznaczyć rozkład temperatury w stanie ustalonym dla cienkiej kwadratowej metalowej płytki o wymiarach 0,5m na 0,5m. Na brzegu płytki znajdują się źródła ciepła utrzymujące temperaturę na poziomie 0oC dla boku dolnego i prawego, natomiast temperatura boku górnego i lewego zmienia się liniowo od 0oC do 100oC. Problem rozwiązać układając układ równań liniowych (postać macierzowa) dla wewnętrznych węzłów siatki 5 x 5 – układ równań rozwiązać metodą Gaussa-Siedla. Met.Numer. wykład

Metoda różnic skończonych przykład Met.Numer. wykład

Metoda różnic skończonych przykład Problem ten opisuje równanie Laplace’a Z warunkami brzegowymi: Met.Numer. wykład

Metoda różnic skończonych przykład Postać macierzowa układu: [zadanie domowe – obliczyć temperatury] Met.Numer. wykład

Metoda różnic skończonych – równania paraboliczne Przypomnijmy równanie paraboliczne: Z warunkami brzegowymi i początkowymi: Met.Numer. wykład

Metoda różnic skończonych – równania paraboliczne Dla danego m definiujemy krok h=(b-a)/m. Ustalamy wartość kroku czasowego k. Stąd węzły siatki (xi,tj): Met.Numer. wykład

Metoda różnic skończonych – równania paraboliczne Otrzymujemy: Po uwzględnieniu warunku brzegowego: Met.Numer. wykład

Metoda różnic skończonych – równania paraboliczne Schemat jawny Warunek zbieżności schematu jawnego Met.Numer. wykład

Metoda różnic skończonych – równania paraboliczne Schemat niejawny: Schemat niejawny jest zawsze zbieżny, niezależnie od wielkości kroku całkowania Met.Numer. wykład