opracowanie: Agata Idczak Systemy liczbowe opracowanie: Agata Idczak

System liczbowy to inaczej zbiór reguł do jednolitego zapisywania i nazywania liczb. dla każdego systemu liczbowego istnieje zbiór znaków, za pomocą których tworzy się liczby. Znaki te zwane cyframi można zestawiać ze sobą na różne sposoby otrzymując nieskończoną liczbę kombinacji.

Dziesiętny system liczbowy zwany też systemem decymalnym lub arabskim to pozycyjny system liczbowy, w którym podstawą pozycji są kolejne potęgi liczby 10. Do zapisu liczb potrzebne jest więc 10 cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Dziesiętny system liczbowy Jak w każdym pozycyjnym systemie liczbowym, liczby zapisuje się tu jako ciąg cyfr, z których każda jest mnożnikiem kolejnej potęgi liczby stanowiącej podstawę systemu. Część całkowitą i ułamkową oddziela separator dziesiętny Pozycyjny, dziesiętny system liczbowy jest obecnie na świecie podstawowym systemem stosowanym niemal we wszystkich krajach.

Dwójkowy system liczbowy (inaczej binarny) to pozycyjny system liczbowy, w którym podstawą pozycji są kolejne potęgi liczby 2. Do zapisu liczb potrzebne są więc tylko dwa znaki: 0 i 1. powszechnie używany w informatyce.

Dwójkowy system liczbowy System binarny to system, dzięki któremu powstały maszyny cyfrowe w tym i komputery. Komputer składa się z części elektronicznych, gdzie wymiana informacji polega na odpowiednim przesyłaniu sygnałów. Podstawą elektroniki jest prąd elektryczny, który w układach elektronicznych albo płynie albo nie. Komputer rozpoznaje sygnały i interpretuje płynący prąd jako "1", a jego brak jako "0". Operując odpowiednim ustawieniem, kiedy ma płynąc prąd, a kiedy nie ustawia różne wartości zer i jedynek. Procesor konwertuje je na liczby i w ten sposób powstają czytelne dla nas obrazy, teksty, dźwięk itp

Dwójkowy system liczbowy liczba zapisana w dziesiętnym systemie liczbowym jako 10, w systemie dwójkowym przybiera postać 1010, gdyż: 1x23 + 0x22 + 1x21 + 0x20 = 8+2 = 10

Dwójkowy system liczbowy Obliczanie wartości binarnej liczby zapisanej w systemie dziesiętnym zamiana 3010 na liczbę w systemie dwójkowym: 30 ÷ 2 = 15 reszty 0 15 ÷ 2 = 7 reszty 1 7 ÷ 2 = 3 reszty 1 3 ÷ 2 = 1 reszty 1 1 ÷ 2 = 0 reszty 1 Aby obliczyć wartość dwójkową liczby przepisujemy od końca reszty, które nam wyszły. Tak więc 3010 = 111102

Dwójkowy system liczbowy Konwersji (zamiany) liczby w systemie dziesiętnym na system dwójkowy można dokonać poprzez wielokrotne dzielenie przez 2 i spisywanie reszt z dzielenia. Podczas dzielenia można otrzymać reszty 0 albo 1. Przy ilorazie równym zero należy spisać ostatnią resztę i odczytać ciąg utworzony z reszt zaczynając od ostatniej, kończąc na pierwszej. Utworzony w ten sposób ciąg jest reprezentacją binarną liczby dziesiętnej

Obliczanie wartości dziesiętnej liczby zapisanej w systemie dwójkowym Dwójkowy system liczbowy Obliczanie wartości dziesiętnej liczby zapisanej w systemie dwójkowym 111102 =11110= 1x24 + 1x23 + 1x22 + 1x21 + 0x20 = 1 x 16 + 1 x 8 + 1 x 4 + 1 x 2 + 0 x 1 = 16 + 8 + 4 + 2 = 30

Dwójkowy system liczbowy 127 ÷ 2 = 63 reszty 1             19 ÷ 2 = 9 reszty 1 63  ÷ 2 = 31 reszty 1             9 ÷ 2 = 4 reszty 1 31  ÷ 2 = 15 reszty 1             4 ÷ 2 = 2 reszty 0 15  ÷ 2 = 7 reszty 1              2 ÷ 2 = 1 reszty 0 7  ÷ 2 = 3 reszty 1                1 ÷ 2 = 0 reszty 1 3   ÷ 2 = 1 reszty 1 1910 = (10011)2 1   ÷ 2 = 0 reszty 1 12710 = (1111111)2             

Dwójkowy system liczbowy Dodawanie liczb Do wykonywania dodawania niezbędna jest znajomość tabliczki dodawania, czyli wyników sumowania każdej cyfry z każdą inną. W systemie dwójkowym mamy tylko dwie cyfry 0 i 1, zatem tabliczka dodawania jest prosta i składa się tylko z czterech pozycji: 0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 10

Dwójkowy system liczbowy Mnożenie liczb Mnożenie liczb w układzie dwójkowym jest szczególnie proste, gdyż cała tabliczka mnożenia przedstawia się następująco: 0 ∙ 0 = 0 0 ∙ 1 = 0 1 ∙ 0 = 0 1 ∙ 1 = 1

Dwójkowy system liczbowy Odejmowanie można zastąpić dodawaniem, jeżeli utworzy się dopełnienie odejmowanej liczby. Dzielenie w układzie dwójkowym to wielokrotne odejmowanie

Ósemkowy system liczbowy System ósemkowy, zwany też oktogonalnym. Podstawą tego systemu jest liczba 8 i posiada on osiem cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Liczba 8 to trzecia potęga dwójki. Każdym trzem cyfrom systemu binarnego (dwójkowego) odpowiada jedna cyfra systemu ósemkowego. System ten więc jest również wykorzystywany w informatyce.

Ósemkowy system liczbowy Jak w każdym pozycyjnym systemie liczbowym, liczby zapisuje się tu jako ciągi cyfr, z których każda jest mnożnikiem kolejnej potęgi liczby będącej podstawą systemu, np. liczba zapisana w dziesiętnym systemie liczbowym jako 100, w ósemkowym przybiera postać 144, gdyż: 1×82 + 4×81 + 4×80 = 64 + 32 + 4 = 100.

Ósemkowy system liczbowy Przykład zamiany liczby z systemu dziesiętnego na system ósemkowy 100:8 = 12 reszty = 4 12:8 =1 reszty = 4 1:8= 0 reszty = 1 Teraz czytamy od dołu: 144 w systemie oktalnym to 100 w systemie dziesiętnym.

Szesnastkowy system liczbowy system różny od tego, którego używamy na co dzień. Różni się o tyle, że bazuje na liczbie 16, a więc potrzebuje 16 znaków za pomocą, których można zapisać dowolną liczbę. Szesnastkowy system liczbowy jest właściwy komputerom, ponieważ pozwala na zapis większych liczb w mniejszych przestrzeniach pamięci.

Szesnastkowy system liczbowy W systemie szesnastkowym wyróżniamy 16 cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F Często system szesnastkowy jest określany nazwą Hex od słowa stworzonego przez firmę IBM hexadecimal.

Szesnastkowy system liczbowy Jak w każdym pozycyjnym systemie liczbowym, liczby zapisuje się tu jako ciągi znaków, z których każdy jest mnożnikiem kolejnej potęgi liczby stanowiącej podstawę systemu, np. liczba zapisana w dziesiętnym systemie liczbowym jako 1000, w hex przybiera postać 3E8, gdyż: 3×162 + 14×161 + 8×160 = = 768 + 224 + 8 = 1000.

Szesnastkowy system liczbowy Hex jest powszechnie używany w informatyce, ponieważ wartość pojedynczego bajtu można opisać używając tylko dwóch cyfr szesnastkowych. W ten sposób można kolejne bajty łatwo przedstawić w postaci ciągu liczb hex. Jednocześnie zapis 4 bitów można łatwo przełożyć na jedną cyfrę hex.

Szesnastkowy system liczbowy Dla przykładu: 216 = 65.536dec = 1.0000hex 224 = 16.777.216dec = 100.0000hex 232 = 4.294.967.296dec = 1.0000.0000hex 216-1 = 65.535dec = FFFFhex 224-1 = 16.777.215dec = FF.FFFFhex 232-1 = 4.294.967.295dec = FFFF.FFFFhex FFFFhex, FF.FFFFhex i FFFF.FFFFhex są krótsze i łatwiejsze do zapamiętania.

Dziesiętny system liczbowy Konwersji (zamiany) liczby w systemie dziesiętnym na system heksadecymalny można dokonać poprzez wielokrotne dzielenie przez 16 i spisywanie reszt z dzielenia. Przy ilorazie równym zero należy spisać ostatnią resztę i odczytać ciąg utworzony z reszt zaczynając od ostatniej, kończąc na pierwszej. Utworzony w ten sposób ciąg jest reprezentacją szesnastkową liczby dziesiętnej.