MECHANIKA NIEBA WYKŁAD 11 21.05.2008 r

Zagadnienie n ciał Prolog – jeszcze o symulacjach Przykłady rozwiązań numerycznych 3 i więcej ciał: Moving Stars Around Zagadnienie 3 ciał w przypadku dwóch stałych centrów grawitacji Przykłady rozwiązań szczególnych dla 3 i 4 ciał Numeryczne rozwiązania zagadnienia n ciał Zagadnienie n ciał

Zagadnienie n ciał Rozwiązania szczególne Duża część rozwiązań szczególnych jest uogólnieniem znanych rozwiązań dla układu 3 ciał. Znane rozwiązania dla n ciał można podzielić na kilka klas: płaskie – jeśli w zagadnieniu n ciał możemy w każdym momencie zdefiniować płaszczyznę zawierającą wszystkie ciała. Dodatkowo, jeśli płaszczyzna nie zmienia swojego położenia w czasie to mówimy o rozwiązaniach jednopłaszczyznowych współliniowe – w przypadku gdy dla dowolnego momentu czasu wszystkie ciała znajdują się na jednej prostej homograficzne – kształt utworzony przez n ciał względem barycentrum jest zachowany, przykład:

Zagadnienie n ciał Rozwiązania szczególne

Zagadnienie n ciał Rozwiązania szczególne - współliniowe Układ jest współliniowy jeśli w danej chwili t=t0 wszystkie ciała leżą na jednej prostej Można pokazać, że jeżeli istnieje płaszczyzna niezmiennicza dla tego układu to ta linia leży w tej właśnie płaszczyźnie Dla momentu t=t0, każda dowolna para dwóch punktów leży na jednej linii z początkiem układu współrzędnych, czyli:

Zagadnienie n ciał Rozwiązania szczególne - współliniowe Mnożąc skalarnie przez wektor prędkości otrzymujemy: sumując po i: czyli równanie płaszczyzny niezmienniczej (ponieważ c0)

Zagadnienie n ciał Rozwiązania szczególne - homograficzne Rozwiązanie homograficzne układu równań opisującego zagadnienie n ciał odpowiada przypadkowi, w którym jest zachowana konfiguracja ciał. Układ (względem barycentrum) jest podobny do samego siebie. To oznacza, że istnieje taka skalarna funkcja λ=λ(t) oraz ortogonalna macierz (3x3) Ω=Ω(t), że: gdzie λ(t) reprezentuje skrócenie (wydłużenie), a Ω opisuje obrót. Wektor τ opisujący translację układu jest równy 0, ze względu na barycentryczny układ współrzędnych. rko opisuje układ ciał w momencie t0.

Zagadnienie n ciał Rozwiązania szczególne - homograficzne Ω=1 W przypadku homograficznym stosunki wektorów wodzących ciał są stałe λ=1

Zagadnienie n ciał Rozwiązania szczególne - homograficzne Wyprowadzimy teraz równania ruchu homograficznego. W tym celu wprowadzamy do układu (x,y,z) drugi układ (ξ,η,ζ), którego osie mogą zmieniać długość i rotować wokół początku układu. Wektor wodzący ciała k: wtedy w momencie czasu t=t0: a w dowolnej innej chwili:

Zagadnienie n ciał Rozwiązania szczególne - homograficzne Niech będzie prędkością kątową układu (ξ,η,ζ) względem układu barycentrycznego (x,y,z), wtedy: dla λ=const>0 i ω=const0 ruch jest we względnej równowadze dla λ=λ(t)>0 oraz ω=0 mamy do czynienia z ruchem jednokładnym

Zagadnienie n ciał Rozwiązania szczególne - homograficzne Moment bezwładności w chwili t0: Natomiast w układzie (ξ,η,ζ) w dowolnym innym momencie czasu: stąd i z równania: można zauważyć, że:

Zagadnienie n ciał Rozwiązania szczególne - homograficzne Składowe prędkości k-tego ciała w układzie (ξ,η,ζ) są równe: skąd: Natomiast energia kinetyczna:

Zagadnienie n ciał Rozwiązania szczególne - homograficzne Odległość między dwoma masami mj i mk: znów korzystamy z równania możemy napisać: ostatecznie dostajemy dla potencjałów: gdzie (dla układu jednostek, w którym G=1):

Zagadnienie n ciał Rozwiązania szczególne - homograficzne Podstawiając otrzymane wyrażenia do równania Lagrange’a II-go rodzaju: otrzymujemy ostatecznie (11.1): równania ruchu homograficznego dla j-tego ciała. Istnieją trzy szczególne przypadki tego ruchu: a) współliniowy, b) płaski i c) przestrzenny (dla n>=4).

Zagadnienie n ciał Ruch homograficzny współliniowy Z takim rodzajem ruchu mamy do czynienia kiedy wszystkie n ciał znajdują się na jednej linii. Jeśli przyjmiemy, że tą linią jest oś ξ to dla każdego k w momencie t0 mamy: oprócz tego dla dowolnego k w każdym innym momencie czasu:

Zagadnienie n ciał Ruch homograficzny współliniowy Poza tym można tak dobrać oś η w taki sposób, że ω2=0 i wtedy układ 11.1 przyjmuje postać: (11.2)

Zagadnienie n ciał Ruch homograficzny współliniowy Z ostatnich dwóch równań wynika, że: ω3=0 i ω10, lub ω3  0 i ω1=0 1. ω3=0 i ω10. Ponieważ jednocześnie ω2=0, więc oś ξ jest nieruchoma i ruch odbywa się po linii prostej mającej ustalone położenie w przestrzeni. Poza tym całkowity moment pędu znika (ηk=ζk=0 oraz vηk=vζk=0) i ruch jest jednokładny 2. ω3  0 i ω1=0. W tym wypadku λ2ω3=const=α, a oś ξ nie jest nieruchoma tylko rotuje wokół osi ζ, która tym razem jest nieruchoma. Ruch odbywa się w płaszczyźnie ζ=0 i będzie to ruch jednopłaszczyznowy, z płaszczyzną ξη nieruchomą w przestrzeni

Zagadnienie n ciał Ruch homograficzny współliniowy Oba powyższe przypadki można sprowadzić do jednego (bo pierwsze z równań 11.2 nie zawiera ω1) podstawiając za ω3 wyrażenie α/λ2 (wtedy pierwszy przypadek odpowiada α=0): ponieważ λ0, więc możemy powyższe przepisać w postaci: skąd można zauważyć, że prawa strona jest stała (a więc lewa również).

Zagadnienie n ciał Ruch homograficzny współliniowy Wprowadzając w miejsce prawej strony wyrażenie –β2 (minus oznacza, że siła jest przyciągająca) możemy przekształcić otrzymane równania do postaci: mnożąc obustronnie pierwsze równanie przez dλ/dt i całkując dostajemy: gdzie γ jest stałą całkowania. Podstawiając drugie równanie mamy ostatecznie:

Zagadnienie n ciał Ruch homograficzny współliniowy Pamiętając, że: możemy zauważyć, że otrzymane równanie jest tożsame z równaniem energii ruchu keplerowskiego: Jeżeli λ jest stałe to również ω3 jest stałe i orbity keplerowskie są okręgami – n ciał znajduje się na jednej linii rotującej ze stałą prędkością ω3 wokół barycentrum. Dla α=0 (ω3=0), ciała spadają na barycentrum po liniach prostych

Zagadnienie n ciał Ruch homograficzny współliniowy Pamiętając o definicji wprowadzonej wcześniej zmiennej β możemy napisać: wielkości Xj zależą tylko od mas i współrzędnych początkowych, więc powyższe równanie określa n warunków, które muszą być spełnione aby ruch był homograficzny Jednak również jest spełnione dla n czynników Xj, w związku z tym powyższe równanie określa n-1 warunków dla ruchu homograficznego

Zagadnienie n ciał Ruch homograficzny płaski Załóżmy, że początkową płaszczyzną ruchu jest płaszczyzna ζ=0, wtedy dla każdego k współrzędne z i ζ są równe 0. W takim razie układ 11.1 przyjmuje postać: Można pokazać (Boccaletti i Pucacco 2004), że ruch homograficzny płaski jest jednocześnie jednopłaszczyznowy

Zagadnienie n ciał Ruch homograficzny płaski Jeżeli ruch odbywa się w jednej płaszczyźnie niezmiennej z czasem to wygodnie jest opisywać ją jako płaszczyznę zespoloną, na której położenia kolejnych mas są przedstawione liczbami zespolonymi: gdzie ak są zespolonymi stałymi a q jest zespoloną funkcją czasu. Stąd: Równanie ruchu n-ciał w przypadku ruchu jednopłaszczyznowego zapisane w postaci zespolonej:

Zagadnienie n ciał Ruch homograficzny płaski Podstawiając do równania ruchu wyrażenie na pk oraz zakładając q0 dostajemy: a następnie: prawa strona ostatniego równania jest niezależna od czasu.

Zagadnienie n ciał Ruch homograficzny płaski W takim razie rozpatrywane zagadnienie sprowadza się do znalezienia rozwiązania równania różniczkowego: (gdzie b jest stałą niezależną od t, a całe równanie nie zależy od n) uzupełnionego przez układ równań: Równanie 11.3a jest niezależne od n więc, możemy znać jego rozwiązanie jeżeli rozwiążemy je dla przypadku dwóch ciał. (11.3a) (11.3b)

Zagadnienie n ciał Ruch homograficzny płaski W przypadku dwóch ciał (we współrzędnych barycentrycznych): które może być wyrażone w postaci: gdzie a jest pewną liczbą zespoloną. Z układu 11.3b otrzymujemy wtedy: co oznacza, że b jest liczbą rzeczywistą, ujemną. Jeżeli rozwiązaniem układu 11.3a jest q=q(t) - znana funkcja z parametrami b<0 i a0 to wtedy: jest parametrycznym równaniem krzywej stożkowej leżącej w płaszczyźnie xy, której ognisko leży w barycentrum układu. Uogólniając to na n ciał, w ruchu homograficznym płaskim każde z ciał porusza się po krzywej stożkowej, a jednocześnie wielobok utworzony przez nie zachowuje swój kształt. przykład

Zagadnienie n ciał Ruch homograficzny – podsumowanie Każdy ruch homograficzny (w szczególności współliniowy) jest płaski jeśli całkowity moment pędu jest różny od 0 Kiedy całkowity moment pędu znika mamy do czynienia z ruchem jednokładnym Ruch homograficzny z zerowym momentem pędu jest ruchem jednokładnym gdzie każde z ciał porusza się po prostej przechodzącej przez barycentrum

Zagadnienie 3 ciał Zagadnienie trzech ciał (a także każdej innej ich liczby) polega na wyznaczeniu ich ruchu przy znanych warunkach początkowych (położenie i prędkości). Poza tym zakładamy, że ciała działają na siebie tylko siłą grawitacji i poruszają się w pustej przestrzeni W ogólnym przypadku nie jest rozwiązywalne Istnieje kilka rozwiązań szczególnych: 1. współliniowe 2. homograficzne 3. ruch po ósemce

Zagadnienie 3 ciał Rozwiązania Lagrange’a Dla n=3 równania ruchu przyjmują postać: Jest to układ rzędu 18-tego i może być zredukowany do układu rzędu 6-tego, który jest klasycznym problemem 3 ciał. Taki układ ma rozwiązania szczególne (homograficzne) podane przez Lagrange’a.

Zagadnienie 3 ciał Rozwiązania Lagrange’a Zacznijmy od przypadku homograficznego współliniowego. Warunki determinujące ruch homograficzny: w przypadku trzech ciał przyjmują postać: (11.4)

Zagadnienie 3 ciał Rozwiązania Lagrange’a Spośród uzyskanych równań jedynie dwa są niezależne, ponieważ współrzędne xio odnoszą się do barycentrum. Możemy założyć, że: wtedy: Odejmując od siebie pierwsze dwa równania układu (11.4) otrzymujemy: a po odjęciu ostatnich dwóch: (11.5)

Zagadnienie 3 ciał Rozwiązania Lagrange’a Następnie zdefiniujmy: skąd mamy: co pozwala zapisać równania 11.5 w postaci:

Zagadnienie 3 ciał Rozwiązania Lagrange’a Eliminując, z otrzymanych równań, r12o dostajemy wielomian piątego stopnia w postaci: jeśli wszystkie wyrazy zawierające δ zastąpimy przez f(δ) to: co oznacza, że otrzymany wielomian ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty.

Zagadnienie 3 ciał Rozwiązania Lagrange’a Można pokazać, że jest to tylko jeden pierwiastek. Wynika to z reguły Kartezjusza: „liczba dodatnich pierwiastków wielomianu jest równa liczbie zmian znaku pomiędzy kolejnymi niezerowymi współczynnikami lub też mniejsza od niej o wielokrotność liczby 2; liczbę ujemnych pierwiastków można oszacować zamieniając x na − x” Ponieważ są trzy możliwości rozłożenia trzech punktów na linii prostej więc istnieją trzy rozwiązania współliniowe. Dla λ=const wszystkie ciała rotują ze stałą prędkością kątową i mamy przypadek równowagi względnej Gdy λ nie jest stałe to wszystkie ciała zakreślają krzywe stożkowe o wspólnym ognisku

Zagadnienie 3 ciał Rozwiązania Lagrange’a Wróćmy do układu 11.3b i rozpatrzmy przypadek jednopłaszczyznowy: gdzie niewiadomymi są stałe zespolone ak (k=1,2,3), które razem z funkcją q(t) określają położenia mas m1, m2, m3 na płaszczyźnie zespolonej. Dla t=0 możemy unormować funkcję q(t) biorąc część rzeczywistą za równą 1, a część urojoną równą 0 (wtedy q(0)=1). Dodatkowo: Wtedy układ 11.3b uzupełniony o warunek jaki spełniać mają współrzędne barycentryczne, przyjmuje postać:

Zagadnienie 3 ciał Rozwiązania Lagrange’a (11.6) W tym układzie tylko sześć równań jest niezależnych. Równania współrzędnych barycentrycznych mogą być uzyskane po pomnożeniu pozostałych sześciu przez odpowiednie masy i dodaniu do siebie.

Zagadnienie 3 ciał Rozwiązania Lagrange’a Aby uzyskać rozwiązania Lagrange’a załóżmy na początek, że nie mamy do czynienia z przypadkiem równobocznym, czyli: Orientacja osi układu jest dowolna. W takim razie możemy wybrać oś x tak, aby przechodziła przez masę m3. Wtedy y3o=0 i z równania barycentrum mamy: jednocześnie z innego z równań układu 11.6 dostajemy: Powyższe równania są spełnione równocześnie tylko w przypadku (pamietając o tym, że zakładaliśmy nierówne boki):

Zagadnienie 3 ciał Rozwiązania Lagrange’a Powtarzając tą procedurę dla osi x przechodzącej przez pozostałe masy, możemy pokazać, że jedynymi rozwiązaniami układu są: 1) przykład 2) trzy masy leżące na jednej linii ω ω

Zagadnienie 3 ciał Rozwiązania Lagrange’a Rozwiązania Lagrange’a są jedynymi rozwiązaniami homograficznymi zagadnienia trzech ciał. W takim wypadku w układzie 11.6 wstawiamy jedną wartość odległości między ciałami r0 w momencie czasu t=0, wtedy: podobnie dla pozostałych równań. Jeśli sumę mas oznaczymy przez M to:

Zagadnienie 3 ciał Rozwiązania Lagrange’a W przypadku orbit kołowych mamy –b=ω2, gdzie ω jest wspólną prędkością kątową wszystkich trzech ciał. Stąd: W ogólnym przypadku (λconst) orbity są krzywymi stożkowymi. Dla orbit eliptycznych: ω