Dane INFORMACYJNE Nazwa szkoły: Gimnazjum nr 2 im. Mikołaja Kopernika w Gryficach ID grupy: 98/18_MF_G2 Opiekun: Alina Zielnica Kompetencja: Matematyczno- fizyczna Temat projektowy: Liczby wymierne są ok. Semestr/rok szkolny: III / 2010/2011

-3 7 0 LICZBY WYMIERNE SĄ OK ! -1 107

„ Liczby rządzą światem ” Pitagoras Pitagoras (ok. 572-497 p.n.e), filozof grecki. Pochodził z wyspy Samos, Samos, czyli wschodniej kolonii jońskiej. W roku 529 p.n.e., założył w Krotonie szkołę pitagorejczyków, drug drugą po założonej wcześniej na Samos. Pitagorejczycy szczególne znaczenie przypisywali liczbom. Zajmowali się liczbami doskonałymi, to jest takimi, których suma - dzielników od niej mniejszych jest równa danej liczbie. - Takimi liczbami są np. 6, 28, 496, 8128. Szukali także par liczb zaprzyjaźnionych, tj. takich, których suma dzielników jednej z nich jest równa drugiej np. 220 i 284.

Systemy liczbowe - sposoby zapisywania i nazywania liczb. Pozycyjny system liczbowy Addytywny system liczbowy Liczbę przedstawia się jako ciąg cyfr, a wartość poszczególnych znaków cyfrowych zależy od ich położenia względem sąsiednich znaków cyfrowych. np. dziesiątkowy system liczbowy, dwójkowy system liczbowy (binarny) Wartość przedstawionej liczby jest sumą wartości jej znaków cyfrowych. np. rzymski system liczbowy, hieroglificzny system liczbowy

Liczby wymierne To podstawowe pojęcie matematyczne, które powstało i ukształtowało się w wyniku praktycznej działalności człowieka, głównie dzięki mierzeniu i stąd nazwa „ LICZBY WYMIERNE ”. Zostały one zdefiniowane na przełomie XIX i XX wieku. Zbiór liczb wymiernych oznacza się symbolem W. Zbiór liczb wymiernych jest zbiorem nieskończonym, ponadto nie ma w nim liczby najmniejszej, ani największej. Podzbiorem zbioru liczb wymiernych jest zbiór liczb całkowitych.

p i q są liczbami całkowitymi oraz q jest różne od zera Liczbą wymierną nazywamy taką liczbę, którą można przedstawić w postaci nieskracalnego ułamka . p i q są liczbami całkowitymi oraz q jest różne od zera Przykłady: ; ; - ; ; - ; 7,34 ; 0,572 Zbiór liczb wymiernych oznaczamy przez W. Każda liczba naturalna jest liczbą wymierną. Każda liczba całkowita jest liczbą wymierną.

Ułamki zwykłe Ułamki zwykłe dzielimy na: kreska ułamkowa licznik mianownik Ułamki zwykłe dzielimy na: - właściwe, gdy licznik jest mniejszy od mianownika np: ; ; - niewłaściwe, gdy licznik jest większy od mianownika np: ; ; Ułamki niewłaściwe możemy zapisać w postaci liczby mieszanej np: = 3 = 7

Ciekawostki historyczne Ogólne pojęcie stosunku dwóch liczb zostało wprowadzone przez pitagorejczyków w VI w. p.n.e. Poprzedzający ich Babilończycy i Egipcjanie używali jedynie ułamków z licznikiem 1. Słowo ułamek pochodzi od wywodzącego się z łaciny fractio, przekładu z arabskiego kasr - złamany, a zatem ułamki to liczby złamane. Współczesny sposób zapisu ułamków pochodzi od matematyków hinduskich, zapisywali oni licznik i mianownik, nie używając jednak kreski rozdzielającej. Dodanie kreski rozdzielającej zawdzięczamy Arabom tłumaczącym dzieła Hindusów. W Europie jako pierwszy w swoich pracach znane do dziś oznaczenie ułamków publikuje włoski matematyk Fibonacci.

Zasady działań na ułamkach zwykłych Dodawanie : dla b 0 i d 0 Odejmowanie : dla b 0 i d 0 Mnożenie : dla b 0 i d 0 Dzielenie : dla b 0 i c 0 i d 0

Ułamki dziesiętne Ułamki o mianownikach 10,100,1000,… nazywamy ułamkami dziesiętnymi. Ułamki te zapisujemy również w postaci dziesiętnej, oddzielając przecinkiem ich część całkowitą od części ułamkowej, np: Ułamek zwykły możemy zamienić na ułamek dziesiętny, dzieląc jego licznik przez mianownik, np: rozwinięcie dziesiętne skończone rozwinięcie dziesiętne nieskończone okresowe rozwinięcie dziesiętne nieskończone okresowe

MAJĄ ROZWINIĘCIA DZIESIĘTNE NIESKOŃCZONE OKRESOWE LICZBY WYMIERNE MAJĄ ROZWINIĘCIA DZIESIĘTNE SKOŃCZONE LUB NIESKOŃCZONE OKRESOWE

Zadanie Pierwszy złoty medal na igrzyskach olimpijskich zdobyła dla Polski Halina Konopacka. W 1928 roku na igrzyskach w Amsterdamie ustanowiła rekord świata w rzucie dyskiem. Oblicz wartość wyrażenia, a dowiesz się, jaki uzyskała wówczas wynik: 24,5 + [3• (0,8 + 1,4) + 2,25 ] : 0,5- 2,58 = ? ROZWIĄZANIE : 24,5 + [3•2,2 + 2,25 ] : 0,5- 2,58= =24,5 + [6,6 + 2,25] : 0,5 – 2,58= =24,5 + 8,85 : 0,5 – 2,58= =24,5 + 17,7 – 2,58= =42,2 – 2,58 = 39,62 Odp: Halina Konopacka uzyskała wynik 39,62 m.

zadanie „Czy żyje wielki Baublis, w którego ogromie wiekami wydrążonym, jakby w dobrym domie, Dwunastu ludzi mogło wieczerzać za stołem?” Baublis, o którym wspomina Adam Mickiewicz w IV księdze Pana Tadeusza, to stary dąb na Żmudzi, ścięty w 1812 r. Było to pierwsze drzewo opisane w Polsce jako pomnik przyrody. Obliczając wartość wyrażenia, dowiesz się, jaki obwód (w metrach) miał pień Baublisa. 2,505:0,3+3,6∙1,2-1,17=?

rozwiązanie - Jako pierwsze działania wykonujemy dzielenie i mnożenie 2,505 : 0,3 = 25,05 : 3 = 8,35 3,6 ∙ 1,2 = 4,32 - Teraz wyrażenie ma postać 8,35 + 4,32 – 1,17= - Wykonujemy działania po kolei od lewej strony 12,67 – 1,17 = 11,5 Odp: Pień Baublisa miał obwód 11,5 metra.

zadanie Każda liczba w „cegle” piramidy jest różnicą dwóch liczb położonych bezpośrednio pod nią. Wynik obliczeń to rok powstania we Włoszech Legionów Dąbrowskiego. Uzupełnij piramidę. Rozwiązanie: Odp: Legiony Dąbrowskiego powstały we Włoszech w 1797r. 1797 285 -1512 56 -229 1283 -304 -360 -131 -1414 500 804 1164 1295 2709

Algorytm zamiany ułamków okresowych na ułamki zwykłe PRZYKŁAD 1 0,(7)=0,777… x to szukany ułamek zwykły x=0,777… mnożymy stronami przez 10 10x=7,777… mnożymy stronami przez -1 -x=-0,777… odejmujemy stronami 10x-x=7,777…-0,777… rozwiązujemy równanie 9x=7 to x= otrzymujemy 0,(7) =

PRZYKŁAD 2 0,(23)=0,2323… x to szukany ułamek zwykły x=0,232323… mnożymy stronami przez 100 100x=23,232323… mnożymy stronami przez -1 -x= - 0,232323… odejmujemy stronami 100x-x=23,2323…- 0,2323… rozwiązujemy równanie 99x=23 to x= otrzymujemy 0,(23) =

PRZYKŁAD 3 0,42(6)=0,42666… przekształcamy 0,42666…=0,42+0,00666…= =0,42+0,01∙0,666…=0,42+0,01∙x zapisujemy x=0,666… mnożymy stronami przez 10 10x=6,666… mnożymy stronami przez -1 -x=- 0,666… odejmujemy stronami 10x-x=6,666…-0,666… rozwiązujemy równanie 9x=6 to x= dodajemy 0,42+0,01∙x otrzymujemy 0,42(6)=

Zadanie - ciekawostka Która z liczb: 1 czy 0.999... jest większa? Aby to sprawdzić zamieńmy ułamek okresowy 0.(9) na ułamek zwykły. Niech x = 0.999... Obie strony tego równania mnożymy przez 10. Otrzymujemy 10x = 9.999... Mamy zatem prosty układ równań: 10x = 9.999... i x = 0.999... Kiedy odejmiemy od pierwszego równania drugie, otrzymamy: 9x = 9.000..., czyli 9x = 9. Dzieląc obie strony równania przez 9 otrzymujemy wynik: x = 1. Ale przecież na początku zapisaliśmy, że x = 0.999... ! Wnioskujemy więc że liczby te są równe!: 1 = 0.999... Oczywiście nie mamy tutaj do czynienia z żadnym przybliżeniem. Każdy ułamek dziesiętny, mający okres 9 można zastąpić ułamkiem dziesiętnym skończonym. A więc dla przykładu: 0.8(9) = 0.9 1.999... = 2 0.1(9) = 0.2 1 i 0.999... to po prostu różny sposób zapisu tej samej liczby.

Rozwiązywanie zadań nie zawsze było łatwe

F I B O N A C C I Leonardo z Pizy czyli Fibonacci, często mylony ze swoim synem Filiusem, był włoskim matematykiem żyjącym w okresie około 1175–1250 r. n.e.   Podczas swoich częstych podróży, mógł poznać wiele wynalazków kultur azjatyckich i egipskich. Był wybitnym matematykiem również dlatego, że swą naukę zaczął jako dziecko. Napisał szereg prac z których większość zaginęła. Do naszych czasów zachowały się takie dzieła jak: - Liber Abaci gdzie wyłożył podstawy arytmetyki - Practica Geometriae czyli polaczenie algebry i geometrii - Filos - Liber Quadratorum Leonardo opisał wiele matematycznych problemów. W Liber Abaci opisał sławny Ciąg Fibonacciego oraz bardzo ważne zasady zaokrąglania liczb którym warto poświęcić więcej uwagi.

Zaokrąglanie liczb Liczby często zaokrąglamy, to znaczy odrzucamy część cyfr końcowych (lub zastępujemy zerami).      Zaokrągleń używamy w życiu codziennym. Dla przykładu jeżeli cena towaru wynosi 12 zł 02 gr, często powiemy, że coś kosztuje po prostu 12 złotych, uznając 2 grosze za mało istotne. Zaokrąglenia stosujemy w księgowości, kiedy musimy prawidłowo wyrazić kwotę w pełnych złotych, lub złotych i groszach, a kalkulator wynik działania podaje z dokładnością do więcej niż dwóch miejsc po przecinku.   Zaokrąglenia są bardzo istotne w pomiarach różnych wielkości fizycznych i chemicznych. Stosujemy ściśle określone metody zaokrąglania liczb. Jeżeli odrzucaną cyfrą (zastępowaną zerem) jest 0,1,2,3,4, to ostatnia zachowana cyfra nie zmienia się. Jeżeli odrzucaną cyfrą (zastępowaną zerem) jest 5,6,7,8,9, to ostatnia zachowana cyfra jest zwiększana o 1. Przy zaokrąglaniu znak równości zmienia się na znak zaokrąglenia "≈"

Przykłady zaokrągleń 482,45 ≈ 482,5 ≈ 483 ≈ 480 ≈ 500 12,8992 ≈ 12,899 ≈ 12,9 ≈ 13 ≈ 10 178,9899 ≈ 178,99 ≈ 179 ≈ 180 ≈ 200 Zaokrąglania nie stosujemy, kiedy liczba posiada już tylko jedną cyfrę znaczącą. Cyfra znacząca jest to cyfra 1,2,3,...,9 i 0 w przypadku, gdy znajduje się pomiędzy wymienionymi wcześniej cyframi lub na końcu, gdy oznacza brak jednostek odpowiedniego rzędu. Zer początkowych, ani zer końcowych napisanych w wyniku zaokrąglenia lub w celu zapełnienia miejsca nie zaliczamy do cyfr znaczących.

Przykłady zaokrągleń - cyfry znaczące Liczba 534,21 ma 5 cyfr znaczących. Liczba 5001 ma 4 cyfry znaczące. Liczba 5001,00 ma 4 cyfry znaczące Liczba 0,231 ma 3 cyfry znaczące. Liczba 0,001 ma 1 cyfrę znaczącą. Zaokrąglenie do n cyfr znaczących polega na takim zaokrągleniu liczby, aby w efekcie miała n cyfr znaczących. np: zaokrąglenie do 5 cyfr znaczących 4005,826 ≈ 4005,8.

Rząd zaokrągleń Możemy zaokrąglić liczbę określając jej rząd. Jeżeli mówimy, że chcemy zaokrąglić liczbę do części: - dziesiątych, to pozostawiamy tylko jedną cyfrę po przecinku (po zaokrągleniu) - setnych, to pozostawiamy 2 cyfry po przecinku - tysięcznych, to pozostawiamy 3 cyfry po przecinku i tak dalej. Jeżeli chcemy zaokrąglić do pełnych dziesiątek, setek, tysięcy i tak dalej, to zaokrąglamy tak, aby otrzymać liczby całkowite o minimum 1, 2, 3, ... zerach "na końcu" po zaokrągleniu.

Przykłady zaokrągleń – rząd zaokrągleń Zaokrąglenia do tysięcy: 1234 ≈ 1000 8999 ≈ 9000 127635 ≈ 128000 78896 ≈ 79000 Zaokrąglenia do setnych części: 246,445 ≈ 246,45 0,(64) = 0,646464 ... ≈ 0,65 154,4305 ≈ 154,43 0,0191 ≈ 0,02

Szacowanie wartości Opisując liczbowo pewne zjawiska, często nie posługujemy się dokładnymi wartościami, a jedynie pewnymi przybliżeniami. Np. mówi się, że koncert obejrzało około dwa tysiące osób, czasami musimy umieć ocenić, czy 50zł wystarczy na zrobienie zaplanowanych zakupów itp. Warto umieć szacować różne wielkości, gdyż jest to bardzo wygodne i praktyczne.

zadanie Kotka Oli zjada codziennie 75g suchej karmy, którą Ola odmierza specjalną miarką. Czy zapas 590g wystarczy jej jeszcze na tydzień? Rozwiązanie: a) Można pomnożyć 7∙75 i wtedy odpowiedzieć na pytanie b) Można zauważyć, że 75 to mniej niż 80, a 7∙80 obliczone w pamięci to 560 Wynik ten, otrzymany z oszacowania z nadmiarem, jest mniejszy od 590. Odp: Zapas karmy dla kotki wystarczy na cały kolejny tydzień.

System rzymski zapisu liczb Rzymski system zapisywania liczb powstał ponad dwa tysiące lat temu. Używano go powszechnie jeszcze w piętnastym wieku. Obecnie cyfry rzymskie stosuje się rzadko. Służą do zapisywania dat, oznaczania numerów pięter, rzędów w kinie itp. Przy zapisie liczby w systemie rzymskim, jej wartość określa się na podstawie sumy wartości jej znaków cyfrowych. Wyjątkiem od tej zasady są liczby 4, 9, 40, 90, 400, 900, do ich zapisu używa się odejmowania.

Reguły zapisu liczb w systemie rzymskim 1. Podczas zapisywania liczb w systemie rzymskim należy zawsze dążyć do tego, aby używać jak najmniejszej liczby znaków. 2. Obok siebie nie mogą stać dwa jednakowe znaki spośród V, L, D 3. Obok siebie mogą stać co najwyżej trzy jednakowe znaki spośród I, X, C, M 4. Bezpośrednio przed znakiem oznaczającym liczbę większą może stać tylko jeden znak symbolizujący liczbę mniejszą. Tym znakiem może być jedynie I, X, C

1842 2000+400+80+9=2489 przykłady MMCDLXXXIX 10-1 50+3∙10 1842=1000+500+3∙100+4∙10+2∙1= =1000+500+3∙100+(50-10)+2∙1 MDCCCXLII 2∙1000 500-100 2000+400+80+9=2489

Wydarzenia z historii polski Zapis rzymski Wydarzenie Zapis arabski CMLXVI Chrzest Polski 966 MCDX Bitwa pod Grunwaldem 1410 MDXCVI Przeniesienie stolicy z Krakowa do Warszawy 1596 MDCCXCI Uchwalenie Konstytucji 3 Maja 1791 MCMXVIII Odzyskanie przez Polskę niepodległości 1918 MCMXXXIX Wybuch II wojny światowej 1939 MCMLXXVIII Wybór Kardynała Karola Wojtyły na papieża 1978 MCMXCI Pierwsze wolne wybory w Polsce 1991

Każdą liczbę wymierną można zaznaczyć na osi liczbowej.

OŚ LICZBOWA OŚ LICZBOWA jest to prosta, na której wyróżniono kierunek, punkt zerowy oraz jednostkę. Początkiem osi liczbowej jest punkt 0. Półprostą dodatnią osi liczbowej jest zbiór liczb nieujemnych, półprostą ujemną- zbiór liczb niedodatnich. Na osi liczbowej każdemu punktowi jest przyporządkowana tylko jedna liczba i każdej liczbie jest przyporządkowany tylko jeden punkt.

Oś liczbowa – przedziały liczbowe Nawiasy przy zawsze są okrągłe Nx X > 2 Rozwiązaniem tej nierówności jest każda liczba większa od 2 Liczba 2 zaznaczona na osi pustym kółkiem nie spełnia tej nierówności X < 4 Rozwiązaniem tej nierówności jest każda liczba mniejsza od 4 Liczba 4 zaznaczona na osi pustym kółkiem nie spełnia tej nierówności

X - 3 Rozwiązaniem tej nierówności jest każda liczba większa od – 3 lub równa – 3 Liczba – 3 zaznaczona na osi zamalowanym kółkiem spełnia tę nierówność X - 1 Rozwiązaniem tej nierówności jest każda liczba mniejsza od – 1 lub równa – 1 Liczba – 1 zaznaczona na osi zamalowanym kółkiem spełnia tę nierówność

Niedziesiątkowe systemy liczbowe System dwójkowy (BINARNY) System trójkowy System piątkowy Cyframi są wtedy tylko 0 i 1 np. liczba 5 zapisana w tym systemie ma postać (101) bo: (101) = 1∙2°+0∙2¹+1∙2²= 1+0+4 = 5 Cyframi są wtedy tylko 0 , 1 i 2 np. liczba 47 zapisana w tym systemie ma postać (1202)₃ bo: (1202)₃ = 2∙3°+0∙3¹+2∙3²+1∙3 = 2+0+18+27=47 Cyframi są wtedy tylko 0, 1, 2, 3, 4 np. liczba 204 zapisana w tym systemie ma postać (1304)₅ bo: (1304)₅ = 4∙5°+0∙5¹+3∙5²+1∙5³= 4+0+75+125=204

Nasz świat fizyczny jest n i e w y m i e r n y ale w naszym codziennym życiu używamy przede wszystkim liczb wymiernych i dlatego k a ż d y człowiek powinien mieć odpowiednią wiedzę na ten temat.

Źródła z których korzystaliśmy : - INTERNET - ENCYKLOPEDIA MATEMATYKI - PODRĘCZNIK DO MATEMATYKI - SŁOWNIK MATEMATYCZNY

DZIĘKUJEMY ZA UWAGĘ